자연계열 1번

서강대 2023학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2023mo_2/jayeon_1

[가] 독립두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에 대하여 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 아무런 영향을 주지 않을 때, 즉 $\displaystyle P(B\mid A)=P(B)$ 일 때, 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 는 서로 독립이라 한다.

[나] 이항분포 $\displaystyle 1$ 회의 시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어날 확률이 $\displaystyle p$ 일 때, $\displaystyle n$ 회의 독립시행에서 사건 $\displaystyle A$ 가 일어나는 횟수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 하자. 확률변수 $\displaystyle X$ 가 가지는 값은 $\displaystyle 0,1,\cdots,n$ 이며, 그 확률질량함수는 $\displaystyle x=0$ 일 때, $\displaystyle P(X=0)=(1-p)^n$ , $\displaystyle x=1,\cdots,n-1$ 일 때, $\displaystyle P(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}p^x(1-p)^{n-x}$ $\displaystyle x=n$ 일 때, $\displaystyle P(X=n)=p^n$ 이다.

[다] 기댓값이산확률 변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포가 아래 표와 같을 때, $\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}X&x_1&x_2&\cdots&x_n&\text{합계}\\\hline P(X=x_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n&1\end{array}$ $\displaystyle x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n$ 을 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값 또는 평균이라 하고, 이것을 기호로 $\displaystyle E(X)$ 와 같이 나타낸다.

제시문 [가]-[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

$\displaystyle n$ 명의 사람이 옆으로 일렬로 앉아서 레크리에이션 강사를 보고 있다. ( $\displaystyle n\ge2$ ) 강사는 사람들을 서로 인사시키기 위해 말한다. "양 옆 사람에게 한 번씩 인사하세요. 제가 하나! 하면 왼쪽 또는 오른쪽으로 인사하고 둘! 하면 처음과 반대쪽으로 인사하세요." 사람들은 왼쪽 또는 오른쪽 중 임의의 방향으로 인사를 시작한다. 이 때, 양 끝의 두 사람(사람 1과 사람 $\displaystyle n$ )은 사람이 있는 한쪽 방향으로만 인사를 두 번 반복한다.인접한 두 사람이 마주보고 인사를 하게 되면 ‘인사가 성공했다’라고 인사에 성공한 쌍이라 한다. 예를 들어, $\displaystyle n=3$ 일 때 인사를 하는 방법은 아래와 같이 두 가지 경우가 있고, 각각의 경우에 인사에 성공한 쌍의 수는 $\displaystyle 2$ 이다.

	하나!	둘!	인사에 성공한 쌍의 수
경우 1	R L L	R R L	2
경우 2	R R L	R L L	2

(R은 오른쪽으로 인사를, L은 왼쪽으로 인사를 나타내고, 인접한 두 사람이 R L로 표시될 때 두 사람은 인사가 성공하는 쌍이 된다.)

【1-1】 $\displaystyle n=4$ 일 때, 인사에 성공한 쌍의 수의 기댓값을 구하시오.

【1-2】 $\displaystyle n\ge3$ 일 때, 인사에 성공한 쌍의 수의 기댓값을 구하시오.

【1-3】 모든 쌍이 인사에 성공할 확률을 구하시오.

【1-4】 $\displaystyle n\ge4$ 일 때, 인사에 성공한 쌍의 수의 최댓값 $\displaystyle m$ 과 인사에 성공한 쌍의 수가 $\displaystyle k$ 일 확률을 구하시오. (단, $\displaystyle 2\le k\le m$ )

해설강의 준비중

서강대 2023학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2023mo_2/jayeon_1

+2점 · 인사할 때 생기는 4가지 경우의 수에 대해, 각각 인사에 성공한 쌍의 수를 정확히 기술하면 0.5점씩 총 2점을 부여한다.

【1-1】 $\displaystyle n=4$ 일 인사를 하는 방법은 4가지 경우가 있고, 각각의 경우 인사에 성공한 쌍의 수는 다음과 같다.

	하나!	둘!	인사에 성공한 쌍의 수
경우 1	R L L L	R R R L	2
경우 2	R L R L	R R L L	3
경우 3	R R L L	R L R L	3
경우 4	R R R L	R L L L	2

따라서 인사에 성공한 쌍의 수의 기댓값은 $\displaystyle \frac{2+3+3+2}4=\frac52$ 이다.

+3점 ·

\displaystyle i

번째 인사 쌍과

\displaystyle i+1

번째 인사 쌍으로 나누어서 총 4가지 경우로 구분하면 1점, 각각의 경우에 대해서 실패 또는 1회 성공을 맞추면 0.5점씩 부여하여, 총 3점을 부여한다.

【1-2】 $\displaystyle n\ge3$ 인 일반적인 경우에 인접한 두 사람이 인사에 성공하는 경우는 인접한 두 사람의 ‘하나!’에서의 인사 방향이 서로 반대인 경우(R L 또는 L R)이다. $\displaystyle n$ 명의 사람일 때 총 $\displaystyle n-1$ 개의 “인사 쌍”이 있다. 1번째와 $\displaystyle n-1$ 번째의 인사 쌍에서는 항상 1회 인사가 성공한다. 2번째부터 $\displaystyle n-2$ 번째 까지 인사 쌍에서의 인사 성공 여부를 조사하면 다음과 같다.

$(i=2,\cdots,n-2)$	하나!		둘!		$i$ 번째 인사 쌍에서 인사 성공여부
$(i=2,\cdots,n-2)$	사람 $i$	사람 $i+1$	사람 $i$	사람 $i+1$	$i$ 번째 인사 쌍에서 인사 성공여부
경우 1	R	R	L	L	실패
경우 2	R	L	L	R	1회 성공
경우 3	L	R	R	L	1회 성공
경우 4	L	L	R	R	실패

따라서 $\displaystyle i$ 번째 인사 쌍에서는 인사가 실패하거나 1회 성공하고, 성공할 확률은 $\displaystyle \frac12$ 이다. 따라서 인사에 성공한 쌍의 개수의 기댓값은 $\displaystyle 2+\sum_{i=2}^{n-2}1\cdot\frac12=2+\frac{n-3}2=\frac{n+1}2$ 이다.

+1점 ·

\displaystyle n-3

개의 인사 쌍에 대해서 인사 성공 여부가 독립사건임을 적용하여

\displaystyle \left(\frac12\right)^{n-3}

을 구하면 1점을 부여한다.

【1-3】 모든 사람이 서로 인사하려면 모든 인사 쌍에서 인사가 성공해야 한다. 각각의 인사 쌍에서 인사에 성공하는 사건은 독립이므로, 각각의 인사 쌍에서 인사에 성공할 확률을 모두 곱하면 $\displaystyle \left(\frac12\right)^{n-3}$ 이다.Caution. 일반식을 구한 뒤에는 적용 범위와 작은 경우의 예외를 확인해야 한다: $\displaystyle n=2$ 이면 두 사람이 항상 마주 보므로 모든 쌍이 인사에 성공할 확률은 $\displaystyle 1$ 이다. 대학 예시답안의 $\displaystyle (1/2)^{n-3}$ 은 $\displaystyle n\ge3$ 일 때의 값이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

+2점 · 인사에 성공한 쌍의 수의 최댓값

\displaystyle m=n-1

을 구하면 0.5점,

\displaystyle 2\le k\le m

인

\displaystyle k

에 대하여 이항정리를 이용하여 답을 도출하면 1.5점을 부여하여, 총 2점을 부여한다.

【1-4】 모든 인사 쌍에서 인사가 성공하면 인사에 성공한 쌍의 수가 최대가 되므로 $\displaystyle m=n-1$ 이다. 1번째 와 $\displaystyle n-1$ 번째 인사 쌍에서 인사는 항상 성공하므로, 2번째부터 $\displaystyle n-2$ 번째 쌍에서 $\displaystyle k-2$ 번 인사가 성공하면 된다. 각각의 인사 쌍에서 인사가 성공할 확률이 $\displaystyle \frac12$ 로 동일하므로 이항분포를 따른다. 따라서 제시문 나에 의해 2번째부터 $\displaystyle n-2$ 번째 인사 쌍에서 $\displaystyle k-2$ 번 인사가 성공할 확률은 $\displaystyle {}_{n-3}\mathrm{C}_{k-2}\left(\frac12\right)^{n-3}$ 이다.

문항당 2점(총점 8점)으로 하며 세부 점수는 다음과 같다.Correction. ‘문항당 2점’이라는 설명과 달리, 세부 채점기준의 배점은 차례로 $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ 점이다. 총점은 $\displaystyle 8$ 점으로 같다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

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