자연계열 1번

【1-1】 $\displaystyle n=4$일 인사를 하는 방법은 4가지 경우가 있고, 각각의 경우 인사에 성공한 쌍의 수는 다음과 같다.

따라서 인사에 성공한 쌍의 수의 기댓값은 $\displaystyle \frac{2+3+3+2}4=\frac52$이다.

【1-2】 $\displaystyle n\ge3$인 일반적인 경우에 인접한 두 사람이 인사에 성공하는 경우는 인접한 두 사람의 ‘하나!’에서의 인사 방향이 서로 반대인 경우(R L 또는 L R)이다. $\displaystyle n$명의 사람일 때 총 $\displaystyle n-1$개의 “인사 쌍”이 있다. 1번째와 $\displaystyle n-1$번째의 인사 쌍에서는 항상 1회 인사가 성공한다. 2번째부터 $\displaystyle n-2$번째 까지 인사 쌍에서의 인사 성공 여부를 조사하면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle i$번째 인사 쌍에서는 인사가 실패하거나 1회 성공하고, 성공할 확률은 $\displaystyle \frac12$이다. 따라서 인사에 성공한 쌍의 개수의 기댓값은 $\displaystyle 2+\sum_{i=2}^{n-2}1\cdot\frac12=2+\frac{n-3}2=\frac{n+1}2$이다.

【1-3】 모든 사람이 서로 인사하려면 모든 인사 쌍에서 인사가 성공해야 한다. 각각의 인사 쌍에서 인사에 성공하는 사건은 독립이므로, 각각의 인사 쌍에서 인사에 성공할 확률을 모두 곱하면 $\displaystyle \left(\frac12\right)^{n-3}$이다.Comment. $\displaystyle n=2$이면 두 사람이 항상 마주 보므로 모든 쌍이 인사에 성공할 확률은 $\displaystyle 1$이다. 대학 예시답안의 $\displaystyle (1/2)^{n-3}$은 $\displaystyle n\ge3$일 때의 값이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

【1-4】 모든 인사 쌍에서 인사가 성공하면 인사에 성공한 쌍의 수가 최대가 되므로 $\displaystyle m=n-1$이다. 1번째 와 $\displaystyle n-1$번째 인사 쌍에서 인사는 항상 성공하므로, 2번째부터 $\displaystyle n-2$번째 쌍에서 $\displaystyle k-2$번 인사가 성공하면 된다. 각각의 인사 쌍에서 인사가 성공할 확률이 $\displaystyle \frac12$로 동일하므로 이항분포를 따른다. 따라서 제시문 나에 의해 2번째부터 $\displaystyle n-2$번째 인사 쌍에서 $\displaystyle k-2$번 인사가 성공할 확률은 $\displaystyle {}_{n-3}\mathrm{C}_{k-2}\left(\frac12\right)^{n-3}$이다.