자연계열 1번

【1-1】 주어진 조건에서 하루에 총 2번의 열차 운행을 하고, 열차는 $\displaystyle A$역과 $\displaystyle B$역을 오가며 반드시 $\displaystyle B$역을 거쳐서 도착해야 한다고 가정한다. 이때, $\displaystyle A$역에서 출발하는 열차의 횟수를 $\displaystyle k$번으로 정하면, $\displaystyle B$역에서 출발하는 열차의 횟수는 $\displaystyle (2-k)$번이 된다.

우리는 0부터 2까지의 정수 $\displaystyle k$에 대해 $\displaystyle A$역에서 출발하는 열차가 $\displaystyle k$번, $\displaystyle B$역에서 출발하는 열차가 $\displaystyle (2-k)$번인 출발표를 구하면 된다. 가능한 모든 경우를 나열해보면 다음과 같다.1. A역에서 출발하는 열차 0번, B역에서 출발하는 열차 2번인 시각표: BB2. A역에서 출발하는 열차 1번, B역에서 출발하는 열차 1번인 시각표:　 AB (A에서 먼저 출발 후, B출발), BA (B에서 먼저 출발 후, A출발)3. A역에서 출발하는 열차 2번, B역에서 출발하는 열차 0번인 시각표: AA따라서 가능한 모든 출발시각표는 1+2+1=4가지가 된다.

【1-2】 A역에서 출발하는 열차의 횟수를 $\displaystyle k$번, B역에서 출발하는 열차의 횟수를 $\displaystyle \ell$번, C역에서 출발하는 열차의 횟수를 $\displaystyle m$번으로 정하면, 다음 조건을 만족해야 한다.1. A역에서 출발하는 열차: $\displaystyle k$번, 도착: B역2. B역에서 출발하는 열차: $\displaystyle \ell$번, 도착: A역 또는 C역3. C역에서 출발하는 열차: $\displaystyle m$번, 도착: B역

이때, 우리는 3번의 열차 운행 중에서 각 역에서 출발하는 열차의 횟수를 선택할 수 있다. 즉, 가능한 모든 경우를 구하기 위해서는 0부터 3까지의 정수 $\displaystyle k$, $\displaystyle \ell$, $\displaystyle m$에 대해 위의 조건을 만족하는 값을 찾으면 된다. 가능한 모든 경우를 나열해보면 다음과 같다. B역을 출발하는 경우는 도착역이 A역 또는 C역이 가능하므로 각각 B(A), B(C)로 표기한다.1. A역에서 출발하는 열차 0번, B역에서 출발하는 열차 1번, C역에서 출발하는 열차 2번인 시각표:　 B(A)CC의 순열 3가지, B(C)CC의 순열 3가지2. A역에서 출발하는 열차 0번, B역에서 출발하는 열차 2번, C역에서 출발하는 열차 1번인 시각표:　 B(A)B(A)C의 순열 3가지, B(C)B(C)C의 순열 3가지, B(A)B(C)C의 순열 6가지3. A역에서 출발하는 열차 1번, B역에서 출발하는 열차 0번, C역에서 출발하는 열차 2번인 시각표:　 ACC의 순열 3가지4. A역에서 출발하는 열차 1번, B역에서 출발하는 열차 2번, C역에서 출발하는 열차 0번인 시각표:　 AB(A)B(A)의 순열 3가지, AB(C)B(C)의 순열 3가지, AB(A)B(C)의 순열 6가지5. A역에서 출발하는 열차 2번, B역에서 출발하는 열차 0번, C역에서 출발하는 열차 1번인 시각표:　 AAC의 순열 3가지6. A역에서 출발하는 열차 2번, B역에서 출발하는 열차 1번, C역에서 출발하는 열차 0번인 시각표:　 AAB(A)의 순열 3가지, AAB(C)의 순열 3가지7. A역에서 출발하는 열차 3번 출발하는 경우; AAA의 순열 1가지8. B역에서 출발하는 열차 3번 출발하는 경우;　 B(A)B(A)B(A)의 순열 1가지, B(A)B(A)B(C)의 순열 3가지, B(A)B(C)B(C)의 순열 3가지, B(C)B(C)B(C)의 순열 1가지9. C역에서 출발하는 열차 3번 출발하는 경우; CCC의 순열 1가지10. 각 역에서 한 번씩 출발하는 경우: A, B(A), B(C), C에서 각각 출발하므로　 AB(A)C의 순열 6가지, AB(C)C의 순열 6가지

따라서 가능한 모든 시각표는총 (3+3)+(3+3+6)+3+(3+3+6)+3+(3+3)+1+(1+3+3+1)+1+(6+6)=64가지이다.

【1-3】 실수 $\displaystyle x$에 대해 $\displaystyle f^{(n)}(x+1)=f^{(n)}(x)$을 보이면 된다. 그런데 정의에 의해 $\displaystyle f(x+1)=f(x)$이므로 $\displaystyle f^{(n)}(x+1)=f^{(n-1)}(f(x+1))=f^{(n-1)}(f(x))=f^{(n)}(x)$이다. 따라서 $\displaystyle f^{(n)}(x)$는 주기 1인 함수이다.

$\displaystyle \begin{array}{c|ccc}&0\le x<1/3&1/3\le x<2/3&2/3\le x<1\\\hline f(x)&2/3&1&4/3\\\hline f^{(2)}(x)&4/3&2/3&1\\\hline f^{(3)}(x)&1&4/3&2/3\\\hline f^{(4)}(x)&2/3&1&4/3\\\hline\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\end{array}$따라서 $\displaystyle f^{(n)}(1/2)=1$이 되는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 1,4,7,10,\cdots$이다. 즉 $\displaystyle 3$로 나눈 나머지가 $\displaystyle 1$인 자연수 즉, $\displaystyle 3m+1$ 여기서 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 0,1,2,3,\cdots$.

【1-4】 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 구간 $\displaystyle [n+1/3,n+2/3]$에서 $\displaystyle f^{(2n+1)}(x)$는 항상 $\displaystyle 1$이다. 따라서Correction. $\displaystyle f^{(2n+1)}(x)$는 $\displaystyle f^{(3n+1)}(x)$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Comment. $\displaystyle f^{(3n+1)}(x)$의 값이 $\displaystyle 1$인 구간은 $\displaystyle [n+1/3,n+2/3)$이며, 오른쪽 끝점에서는 $\displaystyle 4/3$이다. 끝점 하나의 값은 적분값에 영향을 주지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}a_{3n+1}&=\int_{n+1/3}^{n+2/3}(n+1)f^{(3n+1)}(x)(x-n)^n\,dx\\&=(2/3)^{n+1}-(1/3)^{n+1}\end{aligned}$

이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}a_1+a_3+\cdots+a_{2n+1}+\cdots&=\sum_{n=0}^{\infty}2/3^{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty}(1/3)^{n+1}\\&=\frac{2/3}{1-2/3}-\frac{1/3}{1-1/3}\\&=2-1/2\\&=3/2.\end{aligned}$Correction. 급수의 첨자를 적은 $\displaystyle a_1+a_3+\cdots+a_{2n+1}+\cdots$는 $\displaystyle a_1+a_4+\cdots+a_{3n+1}+\cdots$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution. 괄호로 연산의 범위를 분명히 하라: 첫 번째 급수의 일반항은 $\displaystyle (2/3)^{n+1}$이다. $\displaystyle 2/3^{n+1}$로 쓰면 거듭제곱이 분모의 $\displaystyle 3$에만 적용되므로 분수 전체를 괄호로 묶어야 한다. 대학 예시답안은 앞에서 일반항을 정확히 구하고 뒤에서도 공비를 $\displaystyle 2/3$으로 계산했으므로 최종 답 $\displaystyle 3/2$는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.