자연계열 1번

【1-1】 로그함수의 정의로부터 $\displaystyle f(x)=a\log_3(x-1)+b\log_5(5-x)$는 구간 $\displaystyle 1<x<5$에서 정의되고 최댓값을 갖기 위해서는 위로 볼록한 그래프이다. 따라서 $\displaystyle a>0$, $\displaystyle b>0$이어야 한다. $\displaystyle f$는 미분가능하므로 도함수를 이용한 최댓값-최솟값을 계산하고자 한다. $\displaystyle (\log_a x)^{\prime}=\frac1{x\ln a}$이므로$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=\frac a{(x-1)\ln3}-\frac b{(5-x)\ln5}\\&=\frac{\alpha(5-x)-\beta(x-1)}{(x-1)(5-x)\ln3\ln5}.\end{aligned}$(단. $\displaystyle \alpha=a\ln5$, $\displaystyle \beta=b\ln3$) 임계값을 구하기 위해 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$을 풀면 $\displaystyle \alpha(5-x)-\beta(x-1)=0$이고 주어진 조건으로부터 $\displaystyle x=\frac{5\alpha+\beta}{\alpha+\beta}=3$에서 $\displaystyle 1=f(3)=a\log_3 2+b\log_5 2$이므로 두 식을 풀면 $\displaystyle \alpha=\beta$, 즉, $\displaystyle a=b\frac{\ln3}{\ln5}=b\log_5 3$ 그리고 $\displaystyle b\log_5 3\log_3 2+b\log_5 2=1$. 따라서

$\displaystyle b=\frac1{\log_5 3\log_3 2+\log_5 2}=\log_4 5,\quad a=\frac{\log_5 3}{\log_5 3\log_3 2+\log_5 2}=\log_4 3.$

【1-2】 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$에서 $\displaystyle a\sin x$와 $\displaystyle \cos x$가 만나는 $\displaystyle x$축의 값은 $\displaystyle \tan^{-1}\frac1a$. 그러므로 면적은$\displaystyle \int_{\tan^{-1}\frac1a}^{\frac\pi2}a\sin x-\cos x\,dx=a\cos\left(\tan^{-1}\frac1a\right)-\left(1-\sin\left(\tan^{-1}\frac1a\right)\right).$

$\displaystyle \tan\theta_a=\frac1a$라 두면,$\displaystyle \sin\theta_a=\frac1{\sqrt{a^2+1}}$, $\displaystyle \cos\theta_a=\frac a{\sqrt{a^2+1}}$이므로 적분값은 $\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{a^2+1}}+\frac1{\sqrt{a^2+1}}-1$이다.그런데 이 값은 폐구간 $\displaystyle [0,10]$ 안에 있어야 하므로 $\displaystyle 1\le\sqrt{a^2+1}\le11$ ($\displaystyle 1\le a^2+1\le121$).따라서 가능한 자연수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle 1,2,3,\cdots,10$.

【1-3】 실수 $\displaystyle t$에 대하여 점 $\displaystyle (t,(10t-1)e^t)$에서 접선은 직선은 $\displaystyle y=(10e^t+(10t-1)e^t)(x-t)+(10t-1)e^t$이다. 이 직선은 $\displaystyle (a,0)$을 지나므로 $\displaystyle 0=(10e^t+(10t-1)e^t)(a-t)+(10t-1)e^t$을 만족한다. $\displaystyle e^t>0$이므로 정리하면 $\displaystyle 10t^2-(10a+1)t-9a+1=0$이다.

모든 $\displaystyle t$에 대해서 서로 다른 두 접선이 존재하지 않기 위한 조건은 판별식 $\displaystyle D=(10a+1)^2+4\cdot10\cdot(9a-1)\le0$ (즉 $\displaystyle 100a^2+380a-39\le0$).$\displaystyle a=\frac{-190\pm\sqrt{190^2+100\cdot39}}{100}\simeq-3.9,\ 0.1$따라서 만족하는 정수 $\displaystyle a$는 $\displaystyle -3,-2,-1,0$

【1-4】 두 말이 만날 수 있는 점은 $\displaystyle (0,3)$, $\displaystyle (1,2)$, $\displaystyle (2,1)$, $\displaystyle (3,0)$이다. 각 점에서 두 말이 만날 수 있는 확률을 계산하여 더하면 된다.

곱의 법칙을 적용하면 $\displaystyle (0,3)$에서 만날 확률은 $\displaystyle \frac1{2^3}\cdot\frac1{2^3}$, $\displaystyle (1,2)$에서 만날 확률은 $\displaystyle \frac3{2^3}\cdot\frac3{2^3}$, $\displaystyle (2,1)$에서 만날 확률은 $\displaystyle \frac3{2^3}\cdot\frac3{2^3}$, $\displaystyle (3,0)$에서 만날 확률은 $\displaystyle \frac1{2^3}\cdot\frac1{2^3}$이다.합의 법칙을 적용하면 $\displaystyle \frac{20}{2^6}=\frac5{2^4}$.