자연계열 1번

【1-1】 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2(1+\cos2x)$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-4\sin2x$이므로, 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이고 $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$일 때 위로 볼록, $\displaystyle \frac\pi2<x<\pi$일 때 아래로 볼록이다.함수 $\displaystyle f(x)$의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

【1-2】 점 $\displaystyle (t,\tan t)$에서 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\sec^2t(x-t)+\tan t$이다.$\displaystyle \mathrm{B}=(t-\sin t\cos t,0)$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\frac\pi2+\sin t\cos t-t$이다. 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$는 각 $\displaystyle \mathrm{A}$가 직각인 직각삼각형이고 접선의 기울기가 $\displaystyle \sec^2t$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sec^2t\times\overline{\mathrm{AB}}$이다. 따라서Correction. $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}=\sec^2t\cdot\overline{\mathrm{AB}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BC}}$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle S(t)=\frac12\sec^2t\left(\frac\pi2+\sin t\cos t-t\right)^2,\quad 0\le t<\frac\pi2$

$\displaystyle p(t)=\sec t\left(\frac\pi2+\sin t\cos t-t\right)$라 하면$\displaystyle p^{\prime}(t)=\sin t\sec^2t\left(\frac\pi2-\sin t\cos t-t\right)=\frac12\sin t\sec^2t(\pi-\sin2t-2t)$이다. 문항 【1-1】에 의해, 모든 $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$에서 $\displaystyle p^{\prime}(t)>0$임고 $\displaystyle p(t)$는 $\displaystyle 0\le t<\frac\pi2$에서 증가함수이다.$\displaystyle S(t)=\frac12\{p(t)\}^2$이므로, $\displaystyle S(t)$도 $\displaystyle 0\le t<\frac\pi2$에서 증가함수이다. 따라서 $\displaystyle S(t)$의 최솟값은 $\displaystyle S(0)=\frac{\pi^2}{8}$이고, 최댓값은 존재하지 않는다.

【1-3】 사각형 $\displaystyle \mathrm{ABCD}$의 넓이를 점 $\displaystyle \mathrm{B}$의 좌표 $\displaystyle t$로 표현하면 $\displaystyle S(t)=(a-t)\tan t$이다.$\displaystyle S^{\prime}(t)=\sec^2t(a-t-\sin t\cos t)=\frac12\sec^2t(2a-2t-\sin2t)$이므로, 문항 【1-1】에 의해 함수 $\displaystyle f(x)=2a-2x-\sin2x$는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$의 오직 한 점에서만 $\displaystyle 0$이 된다. 따라서 $\displaystyle S^{\prime}(t)$는 구간 $\displaystyle \left(0,\frac\pi2\right)$의 오직 한 점 $\displaystyle t=t_0$에서 $\displaystyle 0$이고, $\displaystyle t=t_0$일 때 $\displaystyle S(t)$의 값이 최대가 된다.

$\displaystyle S^{\prime}(t_0)=0$으로부터 $\displaystyle a-t_0=\frac12\sin2t_0=\cos t_0\sin t_0$이므로 $\displaystyle g(a)=S(t_0)=\sin^2t_0$이다. 따라서$\displaystyle g(a)=\frac12$이면 $\displaystyle t_0=\frac\pi4$이고 $\displaystyle a=t_0+\sin t_0\cos t_0=\frac\pi4+\frac12$이다.

【1-4】 문제 3의 풀이에 의해 $\displaystyle g(a)=\sin^2t_0$이고 $\displaystyle h(a)=\int_0^{t_0}\tan x\,dx=-\ln(\cos t_0)$이다.$\displaystyle 0<t_0<a$이므로$\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{h(a)}{g(a)}=\lim_{t_0\to0^+}\frac{-\ln(\cos t_0)}{\sin^2t_0}=\lim_{t_0\to0^+}\frac{\ln(\cos t_0)}{(1+\cos t_0)(\cos t_0-1)}$

$\displaystyle \cos t_0-1=k$로 놓으면, $\displaystyle t_0\to0^+$일 때 $\displaystyle k\to0^-$이므로$\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{h(a)}{g(a)}=\lim_{k\to0^-}\frac{\ln(1+k)}{(2+k)k}$제시문 [다]에 의해 $\displaystyle \lim_{k\to0^-}\frac{\ln(1+k)}k=1$이므로, $\displaystyle \lim_{a\to0^+}\frac{h(a)}{g(a)}=\frac12$이다.