수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

서강대 2025학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2025mo_2/jayeon_1

배점미공개
예상 소요 시간50분

문제

[가] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 열린구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능하면f(b)−f(a)b−a=f′(c)\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)인 c\displaystyle c가 a\displaystyle a와 b\displaystyle b 사이에 적어도 하나 존재한다.

[나] 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)의 한 부정적분을 F(x)\displaystyle F(x)라고 하면∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

[다] 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때1. ∫abkf(x) dx=k∫abf(x) dx\displaystyle \int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx (단, k\displaystyle k는 상수)2. ∫ab{f(x)+g(x)} dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\displaystyle \int_a^b\{f(x)+g(x)\}\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx3. ∫ab{f(x)−g(x)} dx=∫abf(x) dx−∫abg(x) dx\displaystyle \int_a^b\{f(x)-g(x)\}\,dx=\int_a^b f(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx

[라] 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)의 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 a=g(α),b=g(β)\displaystyle a=g(\alpha),b=g(\beta)일 때 α,β\displaystyle \alpha,\beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt

[마] 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 실수 a\displaystyle a를 포함하는 구간에서 연속이면 이 구간에 속하는 임의의 x\displaystyle x에 대하여ddx∫axf(t) dt=f(x)\displaystyle \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)

[바] 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 미분가능할 때1. {kf(x)}′=kf′(x)\displaystyle \{kf(x)\}^{\prime}=kf^{\prime}(x) (단, k\displaystyle k는 상수)2. {f(x)+g(x)}′=f′(x)+g′(x)\displaystyle \{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)3. {f(x)−g(x)}′=f′(x)−g′(x)\displaystyle \{f(x)-g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x)4. {f(x)g(x)}′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)

제시문 [가]~[다]를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

【1-1】 두 함수 g(x),h(x)\displaystyle g(x),h(x)가 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 모든 x∈(a,b)\displaystyle x\in(a,b)에 대하여 g(x)≤h(x)\displaystyle g(x)\le h(x)일 때 ∫abg(x) dx≤∫abh(x) dx\displaystyle \int_a^b g(x)\,dx\le\int_a^b h(x)\,dx임을 보이시오.

실수 전체의 집합에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)를 아래와 같이 정의하자.f(x)=x−12∫0xt2cos⁡3(x−t) dt\displaystyle f(x)=x-\frac12\int_0^x t^2\cos^3(x-t)\,dt

제시문 [다]~[바]와 문항 【1-1】의 결과를 참고하여 다음 물음에 답하시오.

【1-2】 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 f(x)+f(−x)=0\displaystyle f(x)+f(-x)=0임을 보이시오.

【1-3】 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 ∣f(x)−x∣≤16∣x∣3\displaystyle |f(x)-x|\le\frac16|x|^3임을 보이시오.

【1-4】 f′′′(0)\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(0)의 값을 구하시오.

해설강의 준비중

서강대 2025학년도 모의 2차 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/sogang/2025mo_2/jayeon_1

· 제시문 [가]와 [나]를 활용하여 음이 아닌 함수의 정적분 값이 음이 아님을 보일 수 있다.

【1-1】 f(x)=h(x)−g(x)\displaystyle f(x)=h(x)-g(x)라 할 때, f(x)\displaystyle f(x)의 한 부정적분을 F(x)\displaystyle F(x)라 하면 모든 x∈(a,b)\displaystyle x\in(a,b)에 대하여 F′(x)=f(x)≥0\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)\ge0이므로 제시문 [가]에 의하여 어떤 c∈(a,b)\displaystyle c\in(a,b)에 대하여F(b)−F(a)=f(c)(b−a)≥0\displaystyle F(b)-F(a)=f(c)(b-a)\ge0

· 제시문 [다]를 활용하여 정적분의 대소관계를 올바르게 파악할 수 있다.

이다. 따라서 제시문 [나]와 [다]에 의하여∫abh(x) dx−∫abg(x) dx=∫abf(x) dx=F(b)−F(a)≥0\displaystyle \int_a^b h(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\ge0

· 간단한 치환적분법을 활용하여 정적분으로 정의된 함수의 대칭성을 파악할 수 있다.

【1-2】 u=−t\displaystyle u=-t로 놓으면, 제시문 [라]에 의하여f(−x)=(−x)−12∫0−xt2cos⁡3(−x−t) dt=−x−12∫0x(−u)2cos⁡3(−x+u)(−1) du=−x+12∫0xu2cos⁡3(x−u) du=−f(x)\displaystyle \begin{aligned}f(-x)&=(-x)-\frac12\int_0^{-x}t^2\cos^3(-x-t)\,dt\\&=-x-\frac12\int_0^x(-u)^2\cos^3(-x+u)(-1)\,du\\&=-x+\frac12\int_0^x u^2\cos^3(x-u)\,du=-f(x)\end{aligned}

· 문항 【1-1】에서 얻은 결과를 이용하여 정적분으로 정의된 함수에 대한 부등식을 변수 가 양의 실수일 때 유도할 수 있다.

【1-3】 x\displaystyle x가 양의 실수라고 하자. 모든 실수 t\displaystyle t에 대하여 −1≤cos⁡3(x−t)≤1\displaystyle -1\le\cos^3(x-t)\le1이므로 문항 【1-1】의 결과를 이용하면−13x3=∫0x(−t2) dt≤∫0xt2cos⁡3(x−t) dt≤∫0xt2 dt=13x3\displaystyle -\frac13x^3=\int_0^x(-t^2)\,dt\le\int_0^x t^2\cos^3(x-t)\,dt\le\int_0^x t^2\,dt=\frac13x^3이므로∣∫0xt2cos⁡3(x−t) dt∣≤13x3\displaystyle \left|\int_0^x t^2\cos^3(x-t)\,dt\right|\le\frac13x^3이다. 따라서 임의의 양의 실수 x\displaystyle x에 대하여∣f(x)−x∣=∣−12∫0xt2cos⁡3(x−t) dt∣≤16x3\displaystyle |f(x)-x|=\left|-\frac12\int_0^x t^2\cos^3(x-t)\,dt\right|\le\frac16x^3

· 문항 【1-2】에서 얻은 함수의 대칭성을 이용하여 그 부등식이 가 음의 실수일 때도 성립한다는 것을 보일 수 있다.

이다. x\displaystyle x가 음의 실수이면 t=−x\displaystyle t=-x가 양의 실수이므로 문항 【1-2】의 결과에 의하여∣f(x)−x∣=∣f(−t)−(−t)∣=∣f(t)−t∣≤16t3=16∣x∣3\displaystyle |f(x)-x|=|f(-t)-(-t)|=|f(t)-t|\le\frac16t^3=\frac16|x|^3이다. 마지막으로 x=0\displaystyle x=0일 때는∣f(x)−x∣=∣0−0∣=0=16∣x∣3\displaystyle |f(x)-x|=|0-0|=0=\frac16|x|^3

· 정적분과 미분의 관계를 이용하여 정적분으로 정의된 함수의 도함수를 올바르게 구할 수 있다.

【1-4】 t=x−u\displaystyle t=x-u로 놓으면,f(x)=x−12∫0xu2cos⁡3(x−u) du=x−12∫0x(x−t)2cos⁡3t dt\displaystyle f(x)=x-\frac12\int_0^x u^2\cos^3(x-u)\,du=x-\frac12\int_0^x(x-t)^2\cos^3t\,dt이므로, 제시문 [다]에 의하여f(x)=x−12x2∫0xcos⁡3t dt+x∫0xtcos⁡3t dt−12∫0xt2cos⁡3t dt\displaystyle f(x)=x-\frac12x^2\int_0^x\cos^3t\,dt+x\int_0^x t\cos^3t\,dt-\frac12\int_0^x t^2\cos^3t\,dt따라서 제시문 [마]와 [바]에 의하여f′(x)=1−x∫0xcos⁡3t dt−12x2cos⁡3x+∫0xtcos⁡3t dt+x2cos⁡3x−12x2cos⁡3x=1−x∫0xcos⁡3t dt+∫0xtcos⁡3t dt\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1-x\int_0^x\cos^3t\,dt-\frac12x^2\cos^3x+\int_0^x t\cos^3t\,dt+x^2\cos^3x-\frac12x^2\cos^3x\\&=1-x\int_0^x\cos^3t\,dt+\int_0^x t\cos^3t\,dt\end{aligned}이고f′′(x)=−∫0xcos⁡3t dt−xcos⁡3x+xcos⁡3x=−∫0xcos⁡3t dt\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\int_0^x\cos^3t\,dt-x\cos^3x+x\cos^3x=-\int_0^x\cos^3t\,dt이다. 그러므로f′′′(0)=−cos⁡30=−1\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(0)=-\cos^30=-1

문항 【1-1】의 풀이에서 정적분의 정의와 평균값 정리를 정확하게 이용하지 않으면 감점한다.

문항 【1-3】의 풀이에서 변수 가 양의 실수, 음의 실수, 의 경우를 모두 고려하여야 하며, 그렇지 않을 때는 감점한다.Correction. 채점기준에서 변수 x\displaystyle x와 x=0\displaystyle x=0인 경우의 표기가 빠졌다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.