자연계열 1번

【1-1】 $\displaystyle f(x)=h(x)-g(x)$라 할 때, $\displaystyle f(x)$의 한 부정적분을 $\displaystyle F(x)$라 하면 모든 $\displaystyle x\in(a,b)$에 대하여 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)\ge0$이므로 제시문 [가]에 의하여 어떤 $\displaystyle c\in(a,b)$에 대하여$\displaystyle F(b)-F(a)=f(c)(b-a)\ge0$

이다. 따라서 제시문 [나]와 [다]에 의하여$\displaystyle \int_a^b h(x)\,dx-\int_a^b g(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)\ge0$

【1-2】 $\displaystyle u=-t$로 놓으면, 제시문 [라]에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}f(-x)&=(-x)-\frac12\int_0^{-x}t^2\cos^3(-x-t)\,dt\\&=-x-\frac12\int_0^x(-u)^2\cos^3(-x+u)(-1)\,du\\&=-x+\frac12\int_0^x u^2\cos^3(x-u)\,du=-f(x)\end{aligned}$

【1-3】 $\displaystyle x$가 양의 실수라고 하자. 모든 실수 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle -1\le\cos^3(x-t)\le1$이므로 문항 【1-1】의 결과를 이용하면$\displaystyle -\frac13x^3=\int_0^x(-t^2)\,dt\le\int_0^x t^2\cos^3(x-t)\,dt\le\int_0^x t^2\,dt=\frac13x^3$이므로$\displaystyle \left|\int_0^x t^2\cos^3(x-t)\,dt\right|\le\frac13x^3$이다. 따라서 임의의 양의 실수 $\displaystyle x$에 대하여$\displaystyle |f(x)-x|=\left|-\frac12\int_0^x t^2\cos^3(x-t)\,dt\right|\le\frac16x^3$

이다. $\displaystyle x$가 음의 실수이면 $\displaystyle t=-x$가 양의 실수이므로 문항 【1-2】의 결과에 의하여$\displaystyle |f(x)-x|=|f(-t)-(-t)|=|f(t)-t|\le\frac16t^3=\frac16|x|^3$이다. 마지막으로 $\displaystyle x=0$일 때는$\displaystyle |f(x)-x|=|0-0|=0=\frac16|x|^3$

【1-4】 $\displaystyle t=x-u$로 놓으면,$\displaystyle f(x)=x-\frac12\int_0^x u^2\cos^3(x-u)\,du=x-\frac12\int_0^x(x-t)^2\cos^3t\,dt$이므로, 제시문 [다]에 의하여$\displaystyle f(x)=x-\frac12x^2\int_0^x\cos^3t\,dt+x\int_0^x t\cos^3t\,dt-\frac12\int_0^x t^2\cos^3t\,dt$따라서 제시문 [마]와 [바]에 의하여$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=1-x\int_0^x\cos^3t\,dt-\frac12x^2\cos^3x+\int_0^x t\cos^3t\,dt+x^2\cos^3x-\frac12x^2\cos^3x\\&=1-x\int_0^x\cos^3t\,dt+\int_0^x t\cos^3t\,dt\end{aligned}$이고$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-\int_0^x\cos^3t\,dt-x\cos^3x+x\cos^3x=-\int_0^x\cos^3t\,dt$이다. 그러므로$\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(0)=-\cos^30=-1$