자연계열 1번

【1-1】 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=h$라 하면, $\displaystyle 0<h\le1$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}}=\sqrt{\frac32-h^2}$이 된다. 따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{PHQ}$의 넓이는$\displaystyle \frac h2\sqrt{\frac32-h^2}=\frac12\sqrt{\frac32h^2-h^4}=\frac12\sqrt{\frac9{16}-\left(h^2-\frac34\right)^2}$

이므로 최댓값은 $\displaystyle \frac38$이다.

【1-2】 삼각형 $\displaystyle \mathrm{POQ}$에서 코사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac32=\overline{\mathrm{OQ}}^2+1-2\times\overline{\mathrm{OQ}}\times\cos\theta$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=\cos\theta+\sqrt{\cos^2\theta+\frac12}$이고 제시문 [나]에 의해$\displaystyle f(\theta)=\frac12\left(\cos\theta+\sqrt{\cos^2\theta+\frac12}\right)\sin\theta$

따라서$\displaystyle \int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}f(\theta)\cos\theta\,d\theta=\frac12\left(\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\sin\theta\cos^2\theta\,d\theta+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\sin\theta\cos\theta\sqrt{\cos^2\theta+\frac12}\,d\theta\right)$첫 번째 적분에서 $\displaystyle \cos\theta=u$, 두 번째 적분에서 $\displaystyle \cos^2\theta+\frac12=u$라 두면$\displaystyle \int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}f(\theta)\cos\theta\,d\theta=\frac12\left(\int_{\frac12}^{\frac{\sqrt2}{2}}u^2\,du+\int_{\frac34}^1\frac{\sqrt u}{2}\,du\right)=\frac16\left(\frac{2\sqrt2}{8}-\frac18\right)+\frac16\left(1-\frac{3\sqrt3}{8}\right)=\frac{7+2\sqrt2-3\sqrt3}{48}$

【1-3】 함수 $\displaystyle f(\theta)$는 $\displaystyle \angle\mathrm{POQ}=\theta$일 때, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{POQ}$의 넓이다. $\displaystyle \angle\mathrm{OPQ}=\beta$라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{POQ}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt6}{4}\sin\beta$이고, $\displaystyle \beta=\frac\pi2$일 때 삼각형 $\displaystyle \mathrm{POQ}$의 넓이가 최대가 된다.

이 경우 삼각형 $\displaystyle \mathrm{POQ}$는 $\displaystyle \angle\mathrm{P}=\frac\pi2$, $\displaystyle \angle\mathrm{O}=\alpha$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}}=\frac{\sqrt6}{2}$인 직각삼각형이므로, $\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt{10}}5$이다.

【1-4】 시각 $\displaystyle t$에서 $\displaystyle \angle\mathrm{POQ}=\theta(t)$라 하면 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 위치는 $\displaystyle x=\cos\theta(t)$, $\displaystyle y=\sin\theta(t)$이다. 따라서 제시문 [라]에 의해 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 시각 $\displaystyle t$에서의 속력은 $\displaystyle \sqrt{\{-\theta^{\prime}(t)\sin\theta(t)\}^2+\{\theta^{\prime}(t)\cos\theta(t)\}^2}=|\theta^{\prime}(t)|$이다.

그리고 $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}}=t$이므로 삼각형 $\displaystyle \mathrm{POQ}$에서 코사인법칙에 의해$\displaystyle \frac32=t^2+1-2t\cos\theta(t)\quad\cdots\cdots\ (1)$

$\displaystyle t=a$일 때 $\displaystyle \cos\theta(a)=\frac12$이므로 식 (1)에 대입하면 $\displaystyle a^2-a-\frac12=0$이고 $\displaystyle a=\frac{1+\sqrt3}{2}$이다.식 (1)을 정리하면 $\displaystyle \cos\theta(t)=\frac t2-\frac1{4t}$이고 양변을 $\displaystyle t$로 미분하면 $\displaystyle -\theta^{\prime}(t)\sin\theta(t)=\frac12+\frac1{4t^2}$이 된다.$\displaystyle t=a$일 때, $\displaystyle \sin\theta(a)=\frac{\sqrt3}{2}$이므로$\displaystyle \theta^{\prime}(a)=-\frac1{\sin\theta(a)}\left(\frac12+\frac1{4a^2}\right)=-\frac2{\sqrt3}\left(\frac12+\frac1{4+2\sqrt3}\right)=1-\sqrt3$이다. 따라서, 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 시각 $\displaystyle t=a$에서의 속력은 $\displaystyle \sqrt3-1$이다.