자연계열 1번

【1-1】 $\displaystyle f(x)=x-\sqrt{x}$라고 하면 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$이다.$\displaystyle f^{\prime}(x)=1-\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}}$이므로 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=\frac14$이다.함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내고 그래프로 그리면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccc}x&0&\cdots&\frac14&\cdots\\\hline f^{\prime}(x)&&-&0&+\\\hline f(x)&0&\searrow&-\frac14&\nearrow\end{array}$

$\displaystyle g(x)=\sin\left(\frac\pi2 x+\frac\pi2\right)=\cos\left(\frac\pi2 x\right)$라고 하면$\displaystyle g(x)$의 주기는 $\displaystyle 4$이고, 치역은 $\displaystyle \{y\mid-1\le y\le1\}$이다.

제시문 [가]에 의하여, 구하는 넓이는 $\displaystyle \int_0^4|f(x)-g(x)|\,dx$이다.위의 그래프로부터, 닫힌구간 $\displaystyle [0,1]$에서는 $\displaystyle f(x)\le g(x)$이고, 닫힌구간 $\displaystyle [1,3]$에서는 $\displaystyle f(x)\ge g(x)$임을 알 수 있다. 또한, 닫힌구간 $\displaystyle [3,4]$에서는 $\displaystyle f(x)$가 증가하므로 $\displaystyle f(x)\ge f(3)=3-\sqrt3>1\ge g(x)$이다.

따라서 구하는 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle \begin{aligned}S&=\int_0^1\{g(x)-f(x)\}\,dx+\int_1^4\{f(x)-g(x)\}\,dx\\&=\int_0^1\left\{\cos\left(\frac\pi2 x\right)-x+\sqrt{x}\right\}\,dx+\int_1^4\left\{x-\sqrt{x}-\cos\left(\frac\pi2 x\right)\right\}\,dx\\&=\Biggl[\frac2\pi\sin\left(\frac\pi2 x\right)-\frac12 x^2+\frac23 x^{\frac32}\Biggr]_0^1+\Biggl[\frac12 x^2-\frac23 x^{\frac32}-\frac2\pi\sin\left(\frac\pi2 x\right)\Biggr]_1^4\\&=\frac4\pi+3\end{aligned}$

【1-2】 구하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle 100$이하의 자연수 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle 0\le b\le a-\sqrt a$를 만족하는 정수 $\displaystyle b$의 개수를 모두 구해서 더한 것과 같다.(a) $\displaystyle a=1$인 경우: $\displaystyle b=0$만 가능하므로 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle 1$개다.(b) $\displaystyle n=1,2,\cdots,9$에 대하여, $\displaystyle a$가 $\displaystyle n^2<a\le(n+1)^2$인 정수인 경우:$\displaystyle n<\sqrt a\le n+1$이므로 $\displaystyle a-n-1\le a-\sqrt a<a-n$이다. 따라서 $\displaystyle b=0,1,\cdots,a-n-1$이므로 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$의 개수는 $\displaystyle (a-n)$개이다.

그러므로 구하는 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$의 개수는$\displaystyle \begin{aligned}&1+\sum_{k=1^2+1}^{2^2}(k-1)+\sum_{k=2^2+1}^{3^2}(k-2)+\cdots+\sum_{k=9^2+1}^{10^2}(k-9)\\&=\sum_{k=1}^{100}k-\{(2^2-1^2)+2\times(3^2-2^2)+\cdots+9\times(10^2-9^2)\}\\&=\frac{100\times101}{2}-\sum_{n=1}^9 n\{(n+1)^2-n^2\}\\&=5050-\sum_{n=1}^9(2n^2+n)\\&=5050-2\times\frac{9\times10\times19}{6}-\frac{9\times10}{2}\\&=4435\end{aligned}$

【1-3】 $\displaystyle f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$라고 하면,$\displaystyle \begin{aligned}f^{\prime}(x)&=4x^3+3ax^2+2bx+c\\f^{\prime\prime}(x)&=12x^2+6ax+2b\end{aligned}$조건 (가)에 의해 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=12x(x+3)$이므로 $\displaystyle a=6$, $\displaystyle b=0$이므로 $\displaystyle f(x)=x^4+6x^3+cx+d$이다.한편, $\displaystyle g(x_0)=0$일 때 함수 $\displaystyle g(x)$가 $\displaystyle x=x_0$에서 미분가능할 필요충분조건은 $\displaystyle f^{\prime}(x_0)=0$이다.따라서 조건 (나)는 다음 조건 ㉠과 필요충분조건이다.

이제 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$, 즉 $\displaystyle -4x^3-18x^2=c$의 서로 다른 실근의 개수에 따라 경우를 나누어서 생각하자. $\displaystyle h(x)=-4x^3-18x^2$이라고 하면$\displaystyle h^{\prime}(x)=-12x^2-36x=-12x(x+3)$이므로 방정식 $\displaystyle h^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=-3$이다. 함수 $\displaystyle h(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내고 그래프로 그리면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&\cdots&-3&\cdots&0&\cdots\\\hline h^{\prime}(x)&-&0&+&0&-\\\hline h(x)&\searrow&-54&\nearrow&0&\searrow\end{array}$

(a) $\displaystyle -54<c<0$인 경우: 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$은 서로 다른 세 실근 $\displaystyle \alpha<\beta<\gamma$를 가지므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$, $\displaystyle x=\gamma$에서 극소이고 $\displaystyle x=\beta$에서 극대이다. $\displaystyle f(\alpha)$와 $\displaystyle f(\gamma)$의 최솟값을 $\displaystyle p$, $\displaystyle f(\alpha)$와 $\displaystyle f(\gamma)$의 최댓값을 $\displaystyle q$라고 하면, 다음 $\displaystyle 4$가지 경우가 가능하다.① $\displaystyle p\ge0$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 0$개② $\displaystyle p<0\le q$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 2$개③ $\displaystyle q<0<f(\beta)$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 4$개④ $\displaystyle f(\beta)\le0$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 2$개어느 경우에도 조건 ㉠을 만족하지 않는다.

(b) $\displaystyle c=-54$인 경우: $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+18x^2-54=2(x+3)^2(2x-3)$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\frac32$에서 극소를 갖는다.① $\displaystyle f\left(\frac32\right)\ge0$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 0$개② $\displaystyle f\left(\frac32\right)<0<f(-3)$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 2$개③ $\displaystyle f(-3)=0$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 1$개이고, 이때 $\displaystyle m>0$이다.④ $\displaystyle f(-3)<0$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 2$개③의 경우에만 조건 ㉠을 만족한다.

(c) $\displaystyle c=0$인 경우: $\displaystyle f^{\prime}(x)=4x^3+18x^2=2x^2(2x+9)$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-\frac92$에서 극소를 갖는다.① $\displaystyle f\left(-\frac92\right)\ge0$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 0$개② $\displaystyle f\left(-\frac92\right)<0<f(0)$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 2$개③ $\displaystyle f(0)=0$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 1$개이고, 이때 $\displaystyle m<0$이다.④ $\displaystyle f(0)<0$: $\displaystyle f(m)=0$, $\displaystyle f^{\prime}(m)\ne0$을 만족하는 실수 $\displaystyle m$의 개수는 $\displaystyle 2$개어느 경우에도 조건 ㉠을 만족하지 않는다.

(d) $\displaystyle c<-54$ 또는 $\displaystyle c>0$인 경우: 방정식 $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$이 오직 하나의 실근 $\displaystyle \alpha$를 갖는다. 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 극소이므로, 이 경우는 조건 ㉠을 만족하지 않는다.

따라서 (b)의 ③인 경우에만 조건 ㉠을 만족하며, 이 경우 $\displaystyle f(-3)=0$이므로 $\displaystyle d=-81$이다.그러므로 $\displaystyle f(x)=x^4+6x^3-54x-81=(x+3)^3(x-3)$이고 $\displaystyle m=3$이다.

【1-4】 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=kx+f(0)$의 교점의 개수는 방정식$\displaystyle x^4+6x^3-54x=kx$의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 이 방정식은 $\displaystyle x=0$을 실근으로 갖는다. 이제 $\displaystyle 0$이 아닌 실근을 찾기 위해 방정식$\displaystyle x^3+6x^2-54=k$의 $\displaystyle 0$이 아닌 서로 다른 실근의 개수를 조사하자. $\displaystyle g(x)=x^3+6x^2-54$이라고 하면$\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^2+12x=3x(x+4)$이므로 방정식 $\displaystyle g^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle x=-4$이다. 함수 $\displaystyle g(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내고 그래프로 그리면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc}x&\cdots&-4&\cdots&0&\cdots\\\hline g^{\prime}(x)&+&0&-&0&+\\\hline g(x)&\nearrow&-22&\searrow&-54&\nearrow\end{array}$

그러므로 $\displaystyle 0$이 아닌 서로 다른 실근의 개수는 $\displaystyle k\le-54$이거나 $\displaystyle k>-22$이면 $\displaystyle 1$개, $\displaystyle -54<k<-22$이면 $\displaystyle 3$개, $\displaystyle k=-22$이면 $\displaystyle 2$개이다.따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=kx+f(0)$의 교점의 개수는(ⅰ) $\displaystyle k\le-54$이거나 $\displaystyle k>-22$이면 $\displaystyle 2$개(ⅱ) $\displaystyle -54<k<-22$이면 $\displaystyle 4$개(ⅲ) $\displaystyle k=-22$이면 $\displaystyle 3$개