자연계열 2-1번

1-1) $\displaystyle t_e$(일)를 $\displaystyle I_o$, $\displaystyle M_o$, $\displaystyle k_I$, 그리고 $\displaystyle k_M$을 이용하여 표시 :$\displaystyle {}^{131}\mathrm{I}$와 M의 방사성 붕괴식은 각각 $\displaystyle I(t)=I_o e^{-k_I t}$ 및 $\displaystyle M(t)=M_o e^{-k_M t}$이 된다. 시간 $\displaystyle t_e$를 두 방사성 물질의 핵입자 수가 같아지는 때라고 가정했으므로 $\displaystyle I(t_e)=M(t_e)$이라는 식이 성립된다. 따라서 $\displaystyle I_o e^{-k_I t_e}=M_o e^{-k_m t_e}$가 된다. 이 식의 양변을 등호의 오른쪽 식으로 나누어 주면, $\displaystyle \frac{I_o e^{-k_I t_e}}{M_o e^{-k_M t_e}}=1$이 되고, 양변에 자연로그(ln)을 취하면, $\displaystyle \mathrm{In}\left(\frac{I_o}{M_o}\right)-(k_I-k_M)t_e=0$이 된다.이 식을 $\displaystyle t_e$에 대하여 정리하면 $\displaystyle t_e=\frac{\mathrm{In}\left(\frac{I_o}{M_o}\right)}{(k_I-k_M)}$이 된다.

이제 또 다른 주어진 식 $\displaystyle \mathrm{In}\left(\frac{I_o}{I(t)}\right)=k_I t$에서 반감기($\displaystyle t_{1/2}$)의 식을 구하면,$\displaystyle I(t_{1/2})=0.5\cdot I_o$이므로, $\displaystyle \mathrm{In}\left(\frac{I_o}{0.5\cdot I_o}\right)=k_I t_{1/2}$이 되며, 이를 정리하면 $\displaystyle t_{1/2}=\frac{\mathrm{In}2}{k_I}$가 된다.M에 대해서도 마찬가지로 $\displaystyle t_{1/2}=\frac{\mathrm{In}2}{k_M}$을 얻을 수 있다. (또는 반감기의 식을 암기된 것으로 제시하여 사용할 수 있음)반감기의 식을 각각 $\displaystyle k_I$와 $\displaystyle k_M$의 식으로 변형하면, $\displaystyle k_I=\frac{\mathrm{In}2}{t_{1/2}}$ 및 $\displaystyle k_M=\frac{\mathrm{In}2}{t_{1/2}}$가 되고,두 물질의 반감기가 각각 8일 및 80일로 주어졌으므로, $\displaystyle k_I=\frac{\mathrm{In}2}{8}$ 및 $\displaystyle k_M=\frac{\mathrm{In}2}{80}$가 된다.

이들을 $\displaystyle t_e$의 식에 대입하면,$\displaystyle t_e=\frac{\mathrm{In}\frac{I_o}{0.5\cdot I_o}}{(k_I-k_M)}=\frac{\mathrm{In}2}{(k_I-k_M)}=\frac{\mathrm{In}2}{\frac{\mathrm{In}2}{8}-\frac{\mathrm{In}2}{80}}=\frac{\mathrm{In}2}{\mathrm{In}2\cdot\frac9{80}}=\frac{80}{9}$ (일)이 된다.