자연계열 2-2번

■ 논제 2-2(1) 답안 구성 요소

○ 문항 (2-2.a)

문제 2-2.a에 대한 풀이에는 아래의 두 과정 1)과 2)가 논리적으로 기술되어야 하며 한다. 2)의 경우는 3단계로 구분할 수 있다.

1) 선분의 전체 길이를 $\displaystyle 1$이라고 하면 긴 부분의 길이를 $\displaystyle x$라 하면 짧은 부분의 길이는 $\displaystyle 1-x$이고 $\displaystyle 1:x=x:1-x$가 성립한다. 이 식으로부터 $\displaystyle x^2=1-x$이므로 $\displaystyle x=\frac{\sqrt5-1}2$에서 황금비는 $\displaystyle \frac1x=\frac{1+\sqrt5}2$임을 알 수 있다.

(다른 풀이: 선분을 둘로 나누었을 때 긴 부분의 길이를 $\displaystyle a$, 짧은 부분의 길이를 $\displaystyle b$라 하면 문제의 조건에서 $\displaystyle a:b=a+b:a$가 성립한다. 이 식으로부터 $\displaystyle a^2=b(a+b)=ab+b^2$임을 알 수 있다.$\displaystyle a$와 $\displaystyle b$의 비를 구하기 위하여 위 식을 $\displaystyle b$로 나누면 $\displaystyle \left(\frac ab\right)^2=\frac ab+1$이므로 $\displaystyle \left(\frac ab\right)=\frac{1+\sqrt5}2$. 즉 황금비는 $\displaystyle \frac{1+\sqrt5}2$임을 알 수 있다.)Correction. 2-2 (a) 다른 풀이의 “위 식을 $\displaystyle b$로 나누면”은 “위 식을 $\displaystyle b^2$으로 나누면”의 오기이다.$\displaystyle a^2=ab+b^2$의 양변을 $\displaystyle b^2$으로 나누면$\displaystyle \left(\frac ab\right)^2=\frac ab+1$을 얻는다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

2-1) 제시문 <가>에서 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 $\displaystyle a_{n+1}=a_{n-1}+a_n$의 성질을 가진다고 했으므로 연속하는 수열의 비는 다음과 같이 쓸 수 있음을 보여야 한다.$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{a_{n-1}+a_n}{a_n}=1+\frac{a_{n-1}}{a_n}$

2-2) 연속된 두 수의 비 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$이 수렴한다고 했으므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=r$이라 두면 다음과 같은 식으로 표시할 수 있음을 보여야 한다.$\displaystyle r=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{a_{n-1}}{a_n}\right)=1+\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n-1}}{a_n}=1+\frac1r$

2-3) 이 식 $\displaystyle r=1+\frac1r$은 $\displaystyle r^2=r+1$이고 이 식에서 근의 공식을 이용하여 $\displaystyle r$을 구하면 $\displaystyle r=\frac{1+\sqrt5}2$이다.따라서 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 연속된 두 항의 비는 황금비 $\displaystyle \frac{1+\sqrt5}2$에 수렴한다.

◯ 문항 (2-2.b)

문항 2-2.b의 풀이에서는 다음과 같이 두 부분이 내용이 논리적으로 언급되어 있어야 한다.

1) 처음 이야기를 들은 한 사람을 $\displaystyle b_1=1$이라 하고 $\displaystyle n$번째 날에 새로 소문을 들은 사람의 수를 $\displaystyle b_n$이라 하자.$\displaystyle n=1$부터 차례로 구해보면$\displaystyle b_1=1,\ b_2=2a,\ b_3=2a\times2a+a,\ b_4=2a(4a^2+a)+a\times2a$임을 알 수 있고 제시문 (가)에서와 같이 $\displaystyle b_n$ 사이의 관계를 알아보면 소문을 들은 사람은 다음날에는 $\displaystyle 2a$명에게, 또 그 다음날에는 $\displaystyle a$명에게 소문을 전한다고 했으므로 이를 $\displaystyle b_n$으로 표시하면$\displaystyle b_n=2a\times b_{n-1}+a\times b_{n-2}$와 같이 나타낼 수 있음을 보다.

2) 4번째 날에 새로 소문을 들은 사람의 수가 $\displaystyle 80$명이므로 $\displaystyle b_4=80$이고 이를 $\displaystyle a$의 식으로 표시하면$\displaystyle b_4=8a^3+4a^2=80$이 된다. 즉, $\displaystyle 2a^3+a^2-20=0$이 되고 이를 인수분해하면$\displaystyle (a-2)(2a^2+5a+10)=0$가 되어 $\displaystyle a=2$이거나 $\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{25-80}}4$되는데 뒤의 값은 허수이므로 답이 될 수 없으며 $\displaystyle a$는 사람의 수이므로 자연수가 되어야 하기 때문에 $\displaystyle a=2$가 됨을 알 수 있다.