자연계열 2-1번

숙명여대 2015학년도 수시 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2015su/jayeon_2_1

<가>1825년 독일의 생리학자 베버(Weber)는 여러 가지 물리적인 자극에 대한 인간의 반응은 절대적인 물리량의 변화가 아니라 변화의 비율에 대응한다는 이론을 발표하였다. 이후 페히너(Fechner)는 베버의 이론을 발전시켜 자극의 변화와 그것에 대응하는 감각의 변화를 식으로 나타냈다.

베버-페히너 이론을 소리의 세기와 청각에 적용하면 다음과 같다. 어떤 소리의 세기를 $\displaystyle I$ 라 하고, 기준이 되는 소리의 세기를 $\displaystyle I_0$ (소리의 세기가 이보다 더 작으면 사람이 그 소리를 들을 수 없다고 알려진 값)이라고 할 때, 사람이 느끼는 소리의 세기 레벨 $\displaystyle L$ 은 다음과 같이 정의된다. $\displaystyle L=10\log_{10}\frac I{I_0}$ 여기서 $\displaystyle L$ 의 단위는 dB(데시벨)이고 $\displaystyle I$ 의 단위는 $\displaystyle W/m^2$ 이다. 사람이 겨우 알아들을 수 있는 소리의 세기 레벨은 0 dB이고 일상적인 대화 소리는 65 dB, 열차 소리는 100 dB, 제트기 엔진음은 130 dB이다. 일반적으로 소리의 세기 레벨이 120 dB을 넘어가면 사람은 고통을 느낀다고 한다.

세기가 $\displaystyle I_1$ 인 소리의 세기 레벨을 $\displaystyle L_1$ 이라 하고, 세기가 $\displaystyle I_2$ 인 소리의 세기 레벨을 $\displaystyle L_2$ 라 하자. 이 두 소리가 동시에 나는 경우 사람이 느끼는 소리의 세기 레벨은 $\displaystyle L_1+L_2$ 가 아니라 소리의 세기의 합 $\displaystyle I_1+I_2$ 에 대응하는 소리의 세기 레벨이다.

2-1(a). 일정한 음이 발생하는 장치에서 나는 소리의 세기 레벨을 측정하였더니 70 dB이었다. 동일한 장치를 추가로 설치하여 소리의 세기 레벨을 90 dB로 높이려고 한다. 이 장치를 몇 개 추가해야 하는지 풀이 과정과 답을 쓰시오.

2-1(b). 소리의 세기가 $\displaystyle I_1$ , $\displaystyle I_2$ 인 소리의 세기 레벨을 각각 $\displaystyle L_1$ , $\displaystyle L_2$ 라 하자. 이 두 소리가 동시에 나는 경우 사람이 느끼는 소리의 세기 레벨을 $\displaystyle L_2+\alpha$ 라 할 때, $\displaystyle \alpha$ 를 $\displaystyle L_1$ 과 $\displaystyle L_2$ 의 식으로 나타내고, $\displaystyle L_1$ 과 $\displaystyle L_2$ 의 차이가 클수록 $\displaystyle \alpha$ 의 값이 작아짐을 보이시오. (단, $\displaystyle I_1\le I_2$ )

해설강의 준비중

숙명여대 2015학년도 수시 자연계열 2-1번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2015su/jayeon_2_1

2-1.a 1단계 · ① 제시문 <가>의 내용에서 소리의 세기가

\displaystyle I_1,I_2

인 두 소리가 동시에 나면 그 소리의 세기 레벨은

\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1+I_2}{I_0}

가 된다.

2-1.a소리의 세기가 $\displaystyle I_1,I_2$ 인 두 소리가 동시에 나면 그 소리의 세기 레벨은 $\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1+I_2}{I_0}$ 가 된다.

2-1.a 2단계 · ②

\displaystyle I_1

을 장치 하나의 소리의 세기라고 하고 추가되는 장치의 개수를

\displaystyle k

라 하면, 추가된 소리의 세기

\displaystyle I_2

는

\displaystyle I_2=kI_1

이 되고, 추가된 후의 전체 소리의 세기는

\displaystyle 10\log_{10}\left(\frac{I_1+I_2}{I_0}\right)=10\log_{10}\frac{(1+k)I_1}{I_0}=10\log_{10}(1+k)+10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}=90

……㉠이 된다.

$\displaystyle I_1$ 을 장치 하나의 소리의 세기라고 하고 추가되는 장치의 개수를 $\displaystyle k$ 라 하면, 추가된 소리의 세기는 $\displaystyle I_2=kI_1$ 가 되고, 추가된 후의 전체 소리의 세기는 $\displaystyle 10\log_{10}\left(\frac{I_1+I_2}{I_0}\right)=10\log_{10}\frac{I_1(1+k)}{I_0}=10\log_{10}(1+k)+10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}=90$ ……㉠이 된다.

2-1.a 3단계 · ③

\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}=70

……㉡이므로 ㉠, ㉡에서

\displaystyle 20=10\log_{10}(1+k)

가 되며 이를 풀면

\displaystyle 2=\log_{10}(1+k)\Rightarrow10^2=1+k\\\Rightarrow k=10^2-1=99

가 된다.

$\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}=70$ ……㉡이므로 ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 20=10\log_{10}(1+k)$ 가 되며, 이를 풀면 $\displaystyle 2=\log_{10}(1+k)\Rightarrow10^2=1+k\Rightarrow k=10^2-1=99$ 가 된다.∴ 정답: 99 개

2-1.b 1단계 · ① 소리의 세기 레벨 정의에 의해

\displaystyle L_1=10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}

\displaystyle L_2=10\log_{10}\frac{I_2}{I_0}

이므로

\displaystyle \frac{I_1}{I_0}=10^{\frac{L_1}{10}}

이고

\displaystyle \frac{I_2}{I_0}=10^{\frac{L_2}{10}}

의 관계를 제시하고, 이를 이용하여 두 소리가 동시에 나는 경우 소리의 세기 레벨을 기술

\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1+I_2}{I_0}=10\log_{10}\left(\frac{I_1}{I_0}+\frac{I_2}{I_0}\right)=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_1}{10}}+10^{\frac{L_2}{10}}\right)

……㉣

2-1.b소리의 세기 레벨 정의에 의해 $\displaystyle L_1=10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}$ , $\displaystyle L_2=10\log_{10}\frac{I_2}{I_0}$ 이므로 $\displaystyle \frac{I_1}{I_0}=10^{\frac{L_1}{10}}$ 이고 $\displaystyle \frac{I_2}{I_0}=10^{\frac{L_2}{10}}$ 이다.두 소리가 동시에 나는 경우 소리의 세기 레벨을 $\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1+I_2}{I_0}=10\log_{10}\left(\frac{I_1}{I_0}+\frac{I_2}{I_0}\right)=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_1}{10}}+10^{\frac{L_2}{10}}\right)$ 로 표시할 수 있다.

2-1.b 2단계 · ② ㉣을

\displaystyle L_2+\alpha

의 형태로 나타내기 위해 다음과 같은 과정을 설명하고,

\displaystyle \alpha

를

\displaystyle L_1

과

\displaystyle L_2

의 식으로 나타낸다.

\displaystyle \begin{aligned}L_2+\alpha&=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_2}{10}}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\right)=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_2}{10}}\right)+10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\\&=L_2+10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\end{aligned}

\displaystyle \Rightarrow\alpha=10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)

이를 $\displaystyle L_2+\alpha$ 의 형태로 나타내면 $\displaystyle \begin{aligned}L_2+\alpha&=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_2}{10}}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\right)=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_2}{10}}\right)+10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\\&=L_2+10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\end{aligned}$ 이다.따라서 $\displaystyle \alpha=10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)$

2-1.b 3단계 · ③ 로그는 증가함수이기 때문에

\displaystyle I_1\le I_2

이면

\displaystyle L_1\le L_2

이고,

\displaystyle \alpha=10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)

에서

\displaystyle L_1

과

\displaystyle L_2

의 차이가 클수록

\displaystyle 10^{\frac{L_1-L_2}{10}}

이 작아지므로

\displaystyle \alpha

의 값이 작아진다는 것을 기술

로그는 증가함수이기 때문에 $\displaystyle I_1\le I_2$ 이면 $\displaystyle L_1\le L_2$ 이고, $\displaystyle \alpha=10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)$ 는 $\displaystyle L_1$ 과 $\displaystyle L_2$ 의 차이가 클수록 작아진다.

① 제시 문항에 대한 풀이 과정의 적절성과 논리적 전개

② 채점 기준: 제시된 문항 2개에 대해 옳은 풀이 과정과 답을 제시하였는지를 평가한다.

○ 문항 (2-1.a)

문항 (2-1.a)는 크게 두 가지 풀이가 가능하며 각 풀이 과정에서 다음과 같은 세 단계의 내용을 논리적으로 기술했는지를 평가한다.

◯ 문항 (2-1.b)

아래의 세 단계의 내용을 논리적으로 기술했는지를 평가한다.

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