자연계열 2-1번

2-1.a소리의 세기가 $\displaystyle I_1,I_2$인 두 소리가 동시에 나면 그 소리의 세기 레벨은 $\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1+I_2}{I_0}$가 된다.

$\displaystyle I_1$을 장치 하나의 소리의 세기라고 하고 추가되는 장치의 개수를 $\displaystyle k$라 하면, 추가된 소리의 세기는 $\displaystyle I_2=kI_1$가 되고, 추가된 후의 전체 소리의 세기는$\displaystyle 10\log_{10}\left(\frac{I_1+I_2}{I_0}\right)=10\log_{10}\frac{I_1(1+k)}{I_0}=10\log_{10}(1+k)+10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}=90$ ……㉠이 된다.

$\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}=70$ ……㉡이므로 ㉠, ㉡에서 $\displaystyle 20=10\log_{10}(1+k)$가 되며, 이를 풀면$\displaystyle 2=\log_{10}(1+k)\Rightarrow10^2=1+k\Rightarrow k=10^2-1=99$가 된다.∴ 정답: 99 개

2-1.b소리의 세기 레벨 정의에 의해 $\displaystyle L_1=10\log_{10}\frac{I_1}{I_0}$, $\displaystyle L_2=10\log_{10}\frac{I_2}{I_0}$이므로 $\displaystyle \frac{I_1}{I_0}=10^{\frac{L_1}{10}}$이고 $\displaystyle \frac{I_2}{I_0}=10^{\frac{L_2}{10}}$ 이다.두 소리가 동시에 나는 경우 소리의 세기 레벨을$\displaystyle 10\log_{10}\frac{I_1+I_2}{I_0}=10\log_{10}\left(\frac{I_1}{I_0}+\frac{I_2}{I_0}\right)=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_1}{10}}+10^{\frac{L_2}{10}}\right)$로 표시할 수 있다.

이를 $\displaystyle L_2+\alpha$의 형태로 나타내면$\displaystyle \begin{aligned}L_2+\alpha&=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_2}{10}}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\right)=10\log_{10}\left(10^{\frac{L_2}{10}}\right)+10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\\&=L_2+10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)\end{aligned}$ 이다.따라서 $\displaystyle \alpha=10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)$

로그는 증가함수이기 때문에 $\displaystyle I_1\le I_2$이면 $\displaystyle L_1\le L_2$이고, $\displaystyle \alpha=10\log_{10}\left(1+10^{\frac{L_1-L_2}{10}}\right)$는 $\displaystyle L_1$과 $\displaystyle L_2$의 차이가 클수록 작아진다.