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자연계열 2-2번

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숙명여대 2018학년도 모의 자연계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2018mo/jayeon_2_2

배점31점
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문제

<나>생산자는 어떤 제품을 만들 때, 생산원가를 가능하면 낮추기를 원한다. 탄산음료를 담는 원기둥 모양의 알루미늄 깡통을 제작한다고 가정하자. 깡통을 만드는 데 사용되는 알루미늄의 비용은 그 깡통의 겉넓이에 비례한다. 여기서, 사용되는 알루미늄의 두께는 모두 일정하다고 가정하여 무시하기로 한다. 즉, 일정한 부피 V\displaystyle V를 갖는 원기둥 모양의 깡통을 만드는 데 들어가는 비용을 최소화하기 위해서는 원기둥의 겉넓이 A\displaystyle A(두 밑면과 옆면의 넓이의 합)를 최소화해야 한다. 원기둥의 높이를 h\displaystyle h, 밑면인 원의 반지름을 r\displaystyle r이라 하면V=πr2h,A=2πr2+2πrh\displaystyle V=\pi r^2h,\quad A=2\pi r^2+2\pi rh이다. h=Vπr2\displaystyle h=\frac V{\pi r^2}이므로 겉넓이 A\displaystyle A는 변수 r\displaystyle r의 함수가 되고, 미분을 이용하면 겉넓이 A\displaystyle A를 최소화하기 위한 조건이 h=2r\displaystyle h=2r임을 보일 수 있다. 즉, 원기둥의 높이가 밑면의 지름과 같을 때 비용이 최소로 든다.

그런데 실제로 원기둥 모양의 탄산음료수 깡통을 보면 일반적으로 깡통의 높이가 뚜껑의 지름보다 크다는 것을 알 수 있다. 이와 같은 차이가 생기는 이유는 위의 계산과정에서는 깡통의 제작공정에서 버려지는 재료를 무시하고 깡통에 사용되는 재료만을 고려하여 식을 세웠기 때문이다. 예를 들어, 원기둥 모양의 깡통의 밑면을 정사각형 모양의 알루미늄 판으로부터 만든다고 하면 <그림 2>에서의 어두운 부분은 원판을 만들고 버려지므로 최소화해야 할 재료의 넓이 B\displaystyle B는 원의 넓이가 아니라 정사각형의 넓이를 이용하여B=2(2r)2+2πrh\displaystyle B=2(2r)^2+2\pi rh가 된다. 이때 B\displaystyle B가 최소화되는 반지름 r\displaystyle r과 높이 h\displaystyle h의 관계식은 h=8πr\displaystyle h=\frac8\pi r이다.

그림 2: 원판을 자르고 버려지는 정사각형의 부분

2-2. 직사각형 모양의 알루미늄 판을 세로로 잘라 한 조각은 깡통의 옆면으로 사용하고, 다른 한 조각은 다시 두 원 모양으로 잘라 깡통의 두 밑면으로 사용하여 부피가 1인 깡통을 만들려고 한다. 다음의 질문에 답하시오.

2-2(a). 다음 그림과 같이 알루미늄 판의 가로부분을 깡통의 높이로 사용하는 경우 판의 넓이가 최소가 되는 밑면의 반지름 r\displaystyle r을 구하시오.

2-2(a): 가로부분을 깡통의 높이로 사용하는 배치

2-2(b). 다음 그림과 같이 알루미늄판의 세로부분을 깡통의 높이로 사용하는 경우 판의 넓이가 최소가 되는 밑면의 반지름 r\displaystyle r을 구하시오.

2-2(b): 세로부분을 깡통의 높이로 사용하는 배치

2-2(c). 2-2(a)와 2-2(b)에서 밑면의 반지름을 구한 두 방법을 비교할 때, 어떤 방법이 더 적은 비용으로 깡통을 제작할 수 있는지를 설명하시오.

해설강의 준비중

숙명여대 2018학년도 모의 자연계열 2-2번 · mathesis.kr/archive/sookmyung/2018mo/jayeon_2_2

+3점 · 2-2(a) ① 직사각형의 넓이 A\displaystyle A를 r\displaystyle r의 함수로 나타낸다.

■ 2-2(a)사용되는 직사각형의 넓이를 A\displaystyle A라 하면, A=2πr(2r+h)\displaystyle A=2\pi r(2r+h)이고, 부피가 1\displaystyle 1이므로 1=πr2h\displaystyle 1=\pi r^2h이다. 따라서 A=4πr2+2πr(1πr2)=4πr2+2r\displaystyle A=4\pi r^2+2\pi r\left(\frac1{\pi r^2}\right)=4\pi r^2+\frac2r이다. 즉, A\displaystyle A는 변수 r\displaystyle r의 함수이다. A(r)=4πr2+2r\displaystyle A(r)=4\pi r^2+\frac2r라하고 미분을 이용하여 A(r)\displaystyle A(r)이 최소가 되는 r\displaystyle r의 값을 구하자.

+3점 · 2-2(a) ② A′(r)\displaystyle A^{\prime}(r)과 A′′(r)\displaystyle A^{\prime\prime}(r)을 구한다.

A′(r)=8πr−2r2=8πr3−2r2=8πr−2r2,A′′(r)=8π+4r3\displaystyle A^{\prime}(r)=8\pi r-\frac2{r^2}=\frac{8\pi r^3-2}{r^2}=8\pi r-\frac2{r^2},\quad A^{\prime\prime}(r)=8\pi+\frac4{r^3}

+5점 · 2-2(a) ③ ‘이계도함수를 이용한 극대와 극소의 판정’에 의하여, 넓이 A\displaystyle A가 최소가 되는 r\displaystyle r을 구한다.

이므로, A′(r)=0\displaystyle A^{\prime}(r)=0이 되는 양수 r\displaystyle r을 구하면r=14π3\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}이고, A′′(14π3)=8π+4(4π)=24π>0\displaystyle A^{\prime\prime}\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)=8\pi+4(4\pi)=24\pi>0이다. 따라서 ‘이계도함수를 이용한 극대와 극소의 판정’에 의하여, 넓이 A\displaystyle A는 r=14π3\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}일 때 최소가 된다.(답) 14π3\displaystyle \sqrt[3]{\frac1{4\pi}}

+3점 · 2-2(b) ① 직사각형의 넓이 B\displaystyle B를 r\displaystyle r의 함수로 나타낸다.

■ 2-2(b)사용되는 직사각형의 넓이를 B\displaystyle B라 하면, B=(2πr+2r)h\displaystyle B=(2\pi r+2r)h이고, 부피가 1이므로 1=πr2h\displaystyle 1=\pi r^2h이다. 따라서 B=2πr+2rπr2=2π+2πr\displaystyle B=\frac{2\pi r+2r}{\pi r^2}=\frac{2\pi+2}{\pi r}이다.

+3점 · 2-2(b) ② 원기둥의 높이와 밑면의 반지름과의 관계 h≥4r\displaystyle h\ge4r를 파악한다.

한편 문제의 조건으로부터 h≥4r\displaystyle h\ge4r이다. 그런데 h=1πr2\displaystyle h=\frac1{\pi r^2}이므로 r3≤14hr2=141πr2r2=14π\displaystyle r^3\le\frac14hr^2=\frac14\frac1{\pi r^2}r^2=\frac1{4\pi}이다.

+5점 · 2-2(b) ③ B\displaystyle B를 r\displaystyle r의 감소함수임을 이용하여 넓이 B\displaystyle B가 최소가 되는 r\displaystyle r을 구한다.

이제 B\displaystyle B는 r\displaystyle r의 감소함수이므로 r=14π3\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}일 때, 넓이 B\displaystyle B는 최소가 된다.(답) 14π3\displaystyle \sqrt[3]{\frac1{4\pi}}

+3점 · 2-2(c) ① 2-2.a에서 구한 넓이 A(r)\displaystyle A(r)에서 A(14π3)=3(4π3)\displaystyle A\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)=3(\sqrt[3]{4\pi})을 구한다.

■ 2-2(c)2-2.a에서 구한 넓이는 A(r)=4πr2+2r\displaystyle A(r)=4\pi r^2+\frac2r이므로 A(14π3)=3(4π3)\displaystyle A\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)=3(\sqrt[3]{4\pi})이다.

+3점 · 2-2(c) ② 2-2.b에서 구한 넓이 B(r)\displaystyle B(r)에서 B(14π3)=2π+2π4π3\displaystyle B\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)=\frac{2\pi+2}\pi\sqrt[3]{4\pi}을 구한다.

2-2.b에서 구한 넓이는 B(r)=2π+2πr\displaystyle B(r)=\frac{2\pi+2}{\pi r}이므로 B(14π3)=2π+2π4π3\displaystyle B\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)=\frac{2\pi+2}\pi\sqrt[3]{4\pi}이다.

+3점 · 2-2(c) ③ A(14π3)\displaystyle A\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)과 B(14π3)\displaystyle B\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)을 비교하여 2-2.b에서의 방법이 더 적은 비용으로 깡통을 제작할 수 있음을 파악한다.

A(14π3)>B(14π3)\displaystyle A\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)>B\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)이므로 2-2.b에서의 방법이 더 적은 비용으로 깡통을 제작할 수 있다.

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