자연계열 2-2번

■ 2-2(a)사용되는 직사각형의 넓이를 $\displaystyle A$라 하면, $\displaystyle A=2\pi r(2r+h)$이고, 부피가 $\displaystyle 1$이므로 $\displaystyle 1=\pi r^2h$이다. 따라서 $\displaystyle A=4\pi r^2+2\pi r\left(\frac1{\pi r^2}\right)=4\pi r^2+\frac2r$이다. 즉, $\displaystyle A$는 변수 $\displaystyle r$의 함수이다. $\displaystyle A(r)=4\pi r^2+\frac2r$라하고 미분을 이용하여 $\displaystyle A(r)$이 최소가 되는 $\displaystyle r$의 값을 구하자.

$\displaystyle A^{\prime}(r)=8\pi r-\frac2{r^2}=\frac{8\pi r^3-2}{r^2}=8\pi r-\frac2{r^2},\quad A^{\prime\prime}(r)=8\pi+\frac4{r^3}$

이므로, $\displaystyle A^{\prime}(r)=0$이 되는 양수 $\displaystyle r$을 구하면$\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}$이고, $\displaystyle A^{\prime\prime}\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)=8\pi+4(4\pi)=24\pi>0$이다. 따라서 ‘이계도함수를 이용한 극대와 극소의 판정’에 의하여, 넓이 $\displaystyle A$는 $\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}$일 때 최소가 된다.(답) $\displaystyle \sqrt[3]{\frac1{4\pi}}$

■ 2-2(b)사용되는 직사각형의 넓이를 $\displaystyle B$라 하면, $\displaystyle B=(2\pi r+2r)h$이고, 부피가 1이므로 $\displaystyle 1=\pi r^2h$이다. 따라서 $\displaystyle B=\frac{2\pi r+2r}{\pi r^2}=\frac{2\pi+2}{\pi r}$이다.

한편 문제의 조건으로부터 $\displaystyle h\ge4r$이다. 그런데 $\displaystyle h=\frac1{\pi r^2}$이므로 $\displaystyle r^3\le\frac14hr^2=\frac14\frac1{\pi r^2}r^2=\frac1{4\pi}$이다.

이제 $\displaystyle B$는 $\displaystyle r$의 감소함수이므로 $\displaystyle r=\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}$일 때, 넓이 $\displaystyle B$는 최소가 된다.(답) $\displaystyle \sqrt[3]{\frac1{4\pi}}$

■ 2-2(c)2-2.a에서 구한 넓이는 $\displaystyle A(r)=4\pi r^2+\frac2r$이므로 $\displaystyle A\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)=3(\sqrt[3]{4\pi})$이다.

2-2.b에서 구한 넓이는 $\displaystyle B(r)=\frac{2\pi+2}{\pi r}$이므로 $\displaystyle B\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)=\frac{2\pi+2}\pi\sqrt[3]{4\pi}$이다.

$\displaystyle A\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)>B\left(\sqrt[3]{\frac1{4\pi}}\right)$이므로 2-2.b에서의 방법이 더 적은 비용으로 깡통을 제작할 수 있다.