자연계열 2번

(1) 효용이 1200일 때 무차별곡선은 $\displaystyle 1200=\frac{xy}{10}$, 즉 $\displaystyle y=\frac{12000}{x}$이다.예산선은 $\displaystyle 10000\times x+40000\times y=4000000$, 즉 $\displaystyle x+4y=400$이다.

- $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$는 0 이상이므로 좌표평면의 1사분면에 그래프가 표시된다.

- $\displaystyle y=\frac{12000}{x}$와 $\displaystyle x+4y=400$이 어느 점에서 서로 만나는지 알아보기 위해 두 방정식을 연립하면, $\displaystyle xy=12000$에 $\displaystyle x=400-4y$를 대입하여 $\displaystyle (400-4y)y=12000$, 즉 $\displaystyle y^2-100y+3000=0$을 얻는다.

- 이차방정식의 판별식 $\displaystyle D=100^2-4\times1\times3000=-2000<0$이므로 허근을 갖는다. 그러므로 예산선과 무차별곡선은 서로 만나지 않으며, 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

- 위 그래프에서 보는 것처럼 예산선과 무차별곡선이 만나지 않는다. 따라서 주어진 예산한도 내에서는 1200이라는 효용을 달성할 수 없다.

(2) (1)에서 확인한 것처럼 1200의 효용을 달성할 수 없으므로 주어진 예산 한도 내에서는 1200보다 낮은 수준으로 무차별곡선을 이동해서 예산선과 무차별곡선이 만나도록 해야 한다. 무차별곡선을 점점 아래로 이동해 가다가 무차별곡선과 예산선이 접하는 경우에 효용이 극대화된다. 접하는 경우보다 큰 효용은 달성할 수 없고, 더 아래로 이동할 이유는 없기 때문이다(접하는 경우보다 더 낮은 효용을 얻음).무차별곡선과 예산선이 접하는 조건의 $\displaystyle x$, $\displaystyle y$ 값과 그 때의 효용을 구하면 된다.

방법 1) - 판별식 이용효용이 $\displaystyle U$일 때의 무차별곡선 $\displaystyle U=\frac{xy}{10}$에 $\displaystyle x=400-4y$를 대입하면 $\displaystyle (400-4y)y=10U$, 즉 $\displaystyle 2y^2-200y+5U=0$이 된다.위 이차방정식의 판별식 $\displaystyle D=200^2-4\times2\times5U=0$$\displaystyle 40000-40U=0$$\displaystyle U=1000$이때 $\displaystyle y=\frac{200}4=50$이고, $\displaystyle x=200$이다.다시 말해 주어진 예산한도 내에서 국내여행에 보낸 시간이 200이고 해외여행에 보낸 시간이 50일 때 효용이 1000으로 극대화 된다.