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자연계열 2번

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숭실대 2010학년도 수시 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2010su_1/jayeon_2

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문제

문제 2　제시문 (가)와 (나)를 읽고 논제에 답하시오. (30점)

(가) 1931년 미국 텍사스 대학의 레일리(William J. Reilly)는 뉴턴의 만유인력의 법칙에서 영감을 받아, 한 도시의 소매 고객 흡인력은 그 도시의 인구에 비례하고 고객의 거주지와 그 도시까지 거리의 제곱에 반비례한다는 ‘소매 인력(引力)의 법칙’을 주장했다.서로 경쟁하는 두 상점의 고객 흡인력을 산정하는 데 이러한 소매 인력의 법칙을 적용할 수 있다. 만일 상점 A와 B의 좌표가 각각 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1), (x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)이고 두 상점의 경쟁력이 각각 α\displaystyle \alpha, β\displaystyle \beta라면, 점 (x,y)\displaystyle (x,y)에 위치한 고객 P에 대한 상점 A와 B의 흡인력은 다음과 같이 나타낼 수 있다.상점 A의 흡인력 =αPA‾2\displaystyle =\frac\alpha{\overline{\mathrm{PA}}^2},　상점 B의 흡인력 =βPB‾2\displaystyle =\frac\beta{\overline{\mathrm{PB}}^2}위 식에서 PA‾\displaystyle \overline{\mathrm{PA}}는 고객 P에서 상점 A까지의 거리, PB‾\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}는 고객 P에서 상점 B까지의 거리를 나타낸다. 고객은 두 상점 가운데 흡인력이 더 큰 상점을 이용한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.상점 A를 이용하는 고객의 집합 ={P(x,y)|αPA‾2≥βPB‾2}\displaystyle =\left\{\mathrm P(x,y)\middle|\frac\alpha{\overline{\mathrm{PA}}^2}\ge\frac\beta{\overline{\mathrm{PB}}^2}\right\}상점 B를 이용하는 고객의 집합 ={P(x,y)|αPA‾2≤βPB‾2}\displaystyle =\left\{\mathrm P(x,y)\middle|\frac\alpha{\overline{\mathrm{PA}}^2}\le\frac\beta{\overline{\mathrm{PB}}^2}\right\}소매 인력의 법칙은 경제학 및 경영학 분야에서 널리 응용되고 있다. 이 법칙은 경쟁하는 두 상점이 있을 때 두 상점의 비교요소(자본력, 서비스의 질, 가격 경쟁력 등)와 상점까지의 거리를 이용해 각 상점의 고객 점유영역을 나타내거나, 여러 상점들이 주어져 있을 때 새로운 상점을 개설할 최적의 입지를 선택하는 문제 등에 쓰인다.

(나) 평면의 한 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 다른 점 Q(u,v)\displaystyle \mathrm Q(u,v)까지 거리는 (x−u)2+(y−v)2\displaystyle \sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2}이다. 그러면 평면의 한 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 도형 Γ\displaystyle \Gamma까지의 거리는 어떻게 정의할까? 가장 널리 쓰이는 정의는 다음과 같다.점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 도형 Γ\displaystyle \Gamma까지의 거리 =min⁡(u,v)∈Γ(x−u)2+(y−v)2\displaystyle =\min_{(u,v)\in\Gamma}\sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2}즉, 도형 Γ\displaystyle \Gamma에 포함된 점 (u,v)\displaystyle (u,v) 중에서 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)와 가장 가까운 점까지의 거리가 바로 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 도형 Γ\displaystyle \Gamma까지 거리인 것이다. 예를 들어, 점 (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0)에서 직선 ℓ:ax+by+c=0\displaystyle \ell:ax+by+c=0까지 거리는 점 (x0,y0)\displaystyle (x_0,y_0)에서 직선 ℓ\displaystyle \ell에 내린 수선의 발까지의 거리, 즉 ∣ax0+by0+c∣a2+b2\displaystyle \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}이 된다.그러면 한 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}까지의 거리는 어떻게 구할 수 있을까? 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)와 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}의 위치관계에 따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나누어 구할 수 있으며, 이를 그림으로 표현하면 <그림 1>과 같다. 여기서 직선 AB↔\displaystyle \overleftrightarrow{\mathrm{AB}}의 방정식은 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0이다.

distance

<그림 1> 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}까지의 거리

(i) 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)가 그림의 직선 ℓA\displaystyle \ell_{\mathrm A}의 아래쪽에 위치하여 점 P에서 가장 가까운 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}의 점이 A(x1,y1)\displaystyle \mathrm A(x_1,y_1)인 경우:점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}까지의 거리 =(x−x1)2+(y−y1)2\displaystyle =\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2}

(ii) 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)가 그림의 직선 ℓA\displaystyle \ell_{\mathrm A}와 직선 ℓB\displaystyle \ell_{\mathrm B} 사이에 위치하여 점 P에서 가장 가까운 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}의 점이 선분의 내부에 있는 경우:점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}까지의 거리 =∣ax+by+c∣a2+b2\displaystyle =\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

(iii) 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)가 그림의 직선 ℓB\displaystyle \ell_{\mathrm B}의 위쪽에 위치하여 점 P에서 가장 가까운 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}의 점이 B(x2,y2)\displaystyle \mathrm B(x_2,y_2)인 경우:점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 선분 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}까지의 거리 =(x−x2)2+(y−y2)2\displaystyle =\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2}

[논제] 다음 질문에 답하시오.

(1) xy\displaystyle xy평면에 경쟁력 2인 상점 A(1,3)\displaystyle \mathrm A(1,3)와 경쟁력 3인 상점 B(3,1)\displaystyle \mathrm B(3,1)가 있다(<그림 2>). 제시문 (가)에서 설명한 소매 인력의 법칙에 따라 상점 A를 이용하는 고객의 집합과 상점 B를 이용하는 고객의 집합을 xy\displaystyle xy평면에 그리시오. (상점 A와 상점 B의 위치도 함께 표시할 것)

stores

<그림 2>

mall

<그림 3>

(2) 상점 C[좌표 (1,2)\displaystyle (1,2), 경쟁력 1]와 선분으로 이루어진 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} [D의 좌표 (0,0)\displaystyle (0,0), E의 좌표 (2,0)\displaystyle (2,0), 경쟁력 2]가 있다. 고객으로부터 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}까지의 거리는 제시문 (나)에서 설명한 ‘점에서 선분까지의 거리’로 정의된다고 하자. 그러면 고객으로부터 쇼핑몰까지의 거리는 제시문 (나)에서와 같이 경우 (i), (ii), (iii)의 세 가지로 나누어 구할 수 있다. (i)은 고객이 위치한 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)가 직선 x=0\displaystyle x=0의 왼쪽에 있는 경우(즉 x≤0\displaystyle x\le0인 경우)에 해당한다. 이 때 고객에 대한 상점 C의 흡인력은 1(x−1)2+(y−2)2\displaystyle \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}이고, 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}의 흡인력은 2x2+y2\displaystyle \frac2{x^2+y^2}이다. 따라서상점 C를 이용하는 고객의 집합 ={(x,y)|x≤0, 1(x−1)2+(y−2)2≥2x2+y2}\displaystyle =\left\{(x,y)\middle|x\le0,\ \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}\ge\frac2{x^2+y^2}\right\}　(식 1)이 되며, <그림 3>에서 회색으로 나타낸 영역으로 표시된다.

(2-1) 제시문 (나)의 (ii)와 (iii)의 경우에 대하여 상점 C를 이용하는 고객의 집합을 (식 1)과 같이 표현하시오.

(2-2) 다음 표는 세 학생의 좌표를 나타낸다. 소매 인력의 법칙에 따르면, 세 학생이 각각 상점 C와 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}} 중에서 어느 곳을 이용할 것으로 예상되는지 설명하시오.

학생좌표
학생 1(1,8)\displaystyle (1,8)
학생 2(1,1.5)\displaystyle (1,1.5)
학생 3(4,2)\displaystyle (4,2)

해설강의 준비중

숭실대 2010학년도 수시 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ssu/2010su_1/jayeon_2

(1) 고객 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에 대한 상점 A의 흡인력은 2(x−1)2+(y−3)2\displaystyle \frac2{(x-1)^2+(y-3)^2}이고 상점 B의 흡인력은 3(x−3)2+(y−1)2\displaystyle \frac3{(x-3)^2+(y-1)^2}이다. 따라서, 상점 A를 이용하는 고객 집합은{(x,y)|2(x−1)2+(y−3)2≥3(x−3)2+(y−1)2}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|\frac2{(x-1)^2+(y-3)^2}\ge\frac3{(x-3)^2+(y-1)^2}\right\} 또는 {(x,y)∣(x+3)2+(y−7)2≤48}\displaystyle \{(x,y)\mid(x+3)^2+(y-7)^2\le48\}이 된다. 즉, 상점 A를 이용하는 고객 집합은 중심이 (−3,7)\displaystyle (−3,7)이며 반지름이 43\displaystyle 4\sqrt3 (48≐6.93\displaystyle \sqrt{48}\doteq6.93)인 원의 내부이다. 상점 A(1,3)\displaystyle \mathrm A(1,3)는 이 원의 내부에 있다.반대로 상점 B를 이용하는 고객 집합은 {(x,y)|2(x−1)2+(y−3)2≤3(x−3)2+(y−1)2}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|\frac2{(x-1)^2+(y-3)^2}\le\frac3{(x-3)^2+(y-1)^2}\right\}이므로 위에서 구한 원의 외부이며 상점 B(3,1)\displaystyle \mathrm B(3,1)을 포함한다.이를 xy\displaystyle xy평면에 다음과 같이 그릴 수 있다.

answer

그림에서 회색 영역은 상점 A를 이용하는 고객의 집합을 나타내며, 그 외의 영역은 상점 B를 이용하는 고객의 집합을 나타낸다.

(2-1)경우 (ii): 고객 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)가 직선 x=0\displaystyle x=0과 x=2\displaystyle x=2 사이에 있는 경우에 해당한다.고객 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에 대한 상점 C의 흡인력은 1(x−1)2+(y−2)2\displaystyle \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}이며 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}의 흡인력은 2y2\displaystyle \frac2{y^2}이다 (점 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에서 선분 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}에 대한 거리는 ∣y∣\displaystyle |y|이므로). 따라서, 상점 C를 이용하는 고객 집합은{(x,y)|0≤x≤2, 1(x−1)2+(y−2)2≥2y2}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|0\le x\le2,\ \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}\ge\frac2{y^2}\right\}또는 {(x,y)∣0≤x≤2, 2(x−1)2+(y−4)2≤8}\displaystyle \{(x,y)\mid0\le x\le2,\ 2(x-1)^2+(y-4)^2\le8\}또는 {(x,y)|0≤x≤2, (x−1)222+(y−4)2(22)2≤1}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|0\le x\le2,\ \frac{(x-1)^2}{2^2}+\frac{(y-4)^2}{(2\sqrt2)^2}\le1\right\}이다.경우 (iii): 고객 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)가 직선 x=2\displaystyle x=2의 오른쪽에 있는 경우 (즉 x≥2\displaystyle x\ge2인 경우)에 해당한다.고객 P(x,y)\displaystyle \mathrm P(x,y)에 대한 상점 C의 흡인력은 1(x−1)2+(y−2)2\displaystyle \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}이고, 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}의 흡인력은 2(x−2)2+y2\displaystyle \frac2{(x-2)^2+y^2}이다. 따라서, 상점 C를 이용하는 고객 집합은{(x,y)|x≥2, 1(x−1)2+(y−2)2≥2(x−2)2+y2}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|x\ge2,\ \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}\ge\frac2{(x-2)^2+y^2}\right\}또는 {(x,y)∣x≥2, x2+(y−4)2≤10}\displaystyle \{(x,y)\mid x\ge2,\ x^2+(y-4)^2\le10\}이다.

(2-2)아래 두 가지 방법 중 하나로 알아 볼 수 있다.[방법 1] 문제 (2-1)에서 구한 상점 C를 이용하는 고객 집합에 각 학생이 포함되는지 여부를 따지는 방법이다.

- 학생 1: 좌표가 (1,8)\displaystyle (1,8)이므로, 직선 x=0\displaystyle x=0과 x=2\displaystyle x=2 사이에 있는 경우, 즉 경우 (ii)에 해당한다. 좌표 (1,8)\displaystyle (1,8)은 상점 C를 이용하는 고객 집합의 조건식 (0≤x≤2, 2(x−1)2+(y−4)2≤8\displaystyle 0\le x\le2,\ 2(x-1)^2+(y-4)^2\le8)을 만족하지 않는다. (2(1−1)2+(8−4)2=16>8\displaystyle 2(1-1)^2+(8-4)^2=16>8이므로.) 따라서 (1,8)\displaystyle (1,8)은 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}를 이용하는 고객 집합에 포함되며, 학생 1은 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}를 이용한다.

- 학생 2: 좌표가 (1,1.5)\displaystyle (1,1.5)이므로, 역시 경우 (ii)에 해당한다. 학생 1에서와 마찬가지로, 좌표 (1,3/2)\displaystyle (1,3/2)가 상점 C를 이용하는 고객 집합의 조건식(0≤x≤2, 2(x−1)2+(y−4)2≤8\displaystyle 0\le x\le2,\ 2(x-1)^2+(y-4)^2\le8)을 만족하는지 확인해 본다. 2(1−1)2+(3/2−4)2=25/4≤8\displaystyle 2(1-1)^2+(3/2-4)^2=25/4\le8이므로 (1,3/2)\displaystyle (1,3/2)는 상점 C를 이용하는 고객 집합에 포함되며, 학생 2는 상점 C를 이용한다.

- 학생 3: 좌표가 (4,2)\displaystyle (4,2)이므로, 직선 x=2\displaystyle x=2의 오른쪽에 있는 경우, 즉 경우 (iii)에 해당한다. 좌표 (4,2)\displaystyle (4,2)는 상점 C를 이용하는 고객 집합의 조건식(x≥2, x2+(y−4)2≤10\displaystyle x\ge2,\ x^2+(y-4)^2\le10)을 만족하지 않는다. (42+(2−4)2=20>10\displaystyle 4^2+(2-4)^2=20>10이므로.) 따라서 (4,2)\displaystyle (4,2)는 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}를 이용하는 고객 집합에 포함되며, 학생 3은 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}를 이용한다.

요소별 평가 · 자료 해석력 및 창의적 논증력: 80%

(1) 상점 A를 이용하는 고객 집합 {(x,y)|2(x−1)2+(y−3)2≥3(x−3)2+(y−1)2}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|\frac2{(x-1)^2+(y-3)^2}\ge\frac3{(x-3)^2+(y-1)^2}\right\} 또는 {(x,y)∣(x+3)2+(y−7)2≤48}\displaystyle \{(x,y)\mid(x+3)^2+(y-7)^2\le48\} 계산

중심 (−3,7)\displaystyle (−3,7), 반지름 43\displaystyle 4\sqrt3인 원 그리기

- 아래 두 가지 항목을 모두 만족하여야 함.- 원의 내부를 상점 A의 고객 집합으로, 외부를 상점 B의 고객 집합으로 표시- 상점 A는 원의 내부에, 상점 B는 원의 외부에 표시

(2-1) (ii) {(x,y)|0≤x≤2, 1(x−1)2+(y−2)2≥2y2}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|0\le x\le2,\ \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}\ge\frac2{y^2}\right\} 또는 {(x,y)∣0≤x≤2, 2(x−1)2+(y−4)2≤8}\displaystyle \{(x,y)\mid0\le x\le2,\ 2(x-1)^2+(y-4)^2\le8\} 또는 {(x,y)|0≤x≤2, (x−1)222+(y−4)2(22)2≤1}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|0\le x\le2,\ \frac{(x-1)^2}{2^2}+\frac{(y-4)^2}{(2\sqrt2)^2}\le1\right\}

(iii) {(x,y)|x≥2, 1(x−1)2+(y−2)2≥2(x−2)2+y2}\displaystyle \left\{(x,y)\middle|x\ge2,\ \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}\ge\frac2{(x-2)^2+y^2}\right\} 또는 {(x,y)∣x≥2, x2+(y−4)2≤10}\displaystyle \{(x,y)\mid x\ge2,\ x^2+(y-4)^2\le10\}

(2-2) -학생 1: 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}-학생 2: 상점 C-학생 3: 쇼핑몰 DE‾\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}

글 구성력 평가 · 표현력: 글의 논리성, 서술능력 등의 종합 평가* — 20%

합계: 100%

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