자연계열 2번

(1) 고객 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$에 대한 상점 A의 흡인력은 $\displaystyle \frac2{(x-1)^2+(y-3)^2}$이고 상점 B의 흡인력은 $\displaystyle \frac3{(x-3)^2+(y-1)^2}$이다. 따라서, 상점 A를 이용하는 고객 집합은$\displaystyle \left\{(x,y)\middle|\frac2{(x-1)^2+(y-3)^2}\ge\frac3{(x-3)^2+(y-1)^2}\right\}$ 또는 $\displaystyle \{(x,y)\mid(x+3)^2+(y-7)^2\le48\}$이 된다. 즉, 상점 A를 이용하는 고객 집합은 중심이 $\displaystyle (−3,7)$이며 반지름이 $\displaystyle 4\sqrt3$ ($\displaystyle \sqrt{48}\doteq6.93$)인 원의 내부이다. 상점 $\displaystyle \mathrm A(1,3)$는 이 원의 내부에 있다.반대로 상점 B를 이용하는 고객 집합은 $\displaystyle \left\{(x,y)\middle|\frac2{(x-1)^2+(y-3)^2}\le\frac3{(x-3)^2+(y-1)^2}\right\}$이므로 위에서 구한 원의 외부이며 상점 $\displaystyle \mathrm B(3,1)$을 포함한다.이를 $\displaystyle xy$평면에 다음과 같이 그릴 수 있다.

그림에서 회색 영역은 상점 A를 이용하는 고객의 집합을 나타내며, 그 외의 영역은 상점 B를 이용하는 고객의 집합을 나타낸다.

(2-1)경우 (ii): 고객 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$가 직선 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=2$ 사이에 있는 경우에 해당한다.고객 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$에 대한 상점 C의 흡인력은 $\displaystyle \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}$이며 쇼핑몰 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$의 흡인력은 $\displaystyle \frac2{y^2}$이다 (점 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$에서 선분 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$에 대한 거리는 $\displaystyle |y|$이므로). 따라서, 상점 C를 이용하는 고객 집합은$\displaystyle \left\{(x,y)\middle|0\le x\le2,\ \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}\ge\frac2{y^2}\right\}$또는 $\displaystyle \{(x,y)\mid0\le x\le2,\ 2(x-1)^2+(y-4)^2\le8\}$또는 $\displaystyle \left\{(x,y)\middle|0\le x\le2,\ \frac{(x-1)^2}{2^2}+\frac{(y-4)^2}{(2\sqrt2)^2}\le1\right\}$이다.경우 (iii): 고객 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$가 직선 $\displaystyle x=2$의 오른쪽에 있는 경우 (즉 $\displaystyle x\ge2$인 경우)에 해당한다.고객 $\displaystyle \mathrm P(x,y)$에 대한 상점 C의 흡인력은 $\displaystyle \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}$이고, 쇼핑몰 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$의 흡인력은 $\displaystyle \frac2{(x-2)^2+y^2}$이다. 따라서, 상점 C를 이용하는 고객 집합은$\displaystyle \left\{(x,y)\middle|x\ge2,\ \frac1{(x-1)^2+(y-2)^2}\ge\frac2{(x-2)^2+y^2}\right\}$또는 $\displaystyle \{(x,y)\mid x\ge2,\ x^2+(y-4)^2\le10\}$이다.

(2-2)아래 두 가지 방법 중 하나로 알아 볼 수 있다.[방법 1] 문제 (2-1)에서 구한 상점 C를 이용하는 고객 집합에 각 학생이 포함되는지 여부를 따지는 방법이다.

- 학생 1: 좌표가 $\displaystyle (1,8)$이므로, 직선 $\displaystyle x=0$과 $\displaystyle x=2$ 사이에 있는 경우, 즉 경우 (ii)에 해당한다. 좌표 $\displaystyle (1,8)$은 상점 C를 이용하는 고객 집합의 조건식 ($\displaystyle 0\le x\le2,\ 2(x-1)^2+(y-4)^2\le8$)을 만족하지 않는다. ($\displaystyle 2(1-1)^2+(8-4)^2=16>8$이므로.) 따라서 $\displaystyle (1,8)$은 쇼핑몰 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$를 이용하는 고객 집합에 포함되며, 학생 1은 쇼핑몰 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$를 이용한다.

- 학생 2: 좌표가 $\displaystyle (1,1.5)$이므로, 역시 경우 (ii)에 해당한다. 학생 1에서와 마찬가지로, 좌표 $\displaystyle (1,3/2)$가 상점 C를 이용하는 고객 집합의 조건식($\displaystyle 0\le x\le2,\ 2(x-1)^2+(y-4)^2\le8$)을 만족하는지 확인해 본다. $\displaystyle 2(1-1)^2+(3/2-4)^2=25/4\le8$이므로 $\displaystyle (1,3/2)$는 상점 C를 이용하는 고객 집합에 포함되며, 학생 2는 상점 C를 이용한다.

- 학생 3: 좌표가 $\displaystyle (4,2)$이므로, 직선 $\displaystyle x=2$의 오른쪽에 있는 경우, 즉 경우 (iii)에 해당한다. 좌표 $\displaystyle (4,2)$는 상점 C를 이용하는 고객 집합의 조건식($\displaystyle x\ge2,\ x^2+(y-4)^2\le10$)을 만족하지 않는다. ($\displaystyle 4^2+(2-4)^2=20>10$이므로.) 따라서 $\displaystyle (4,2)$는 쇼핑몰 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$를 이용하는 고객 집합에 포함되며, 학생 3은 쇼핑몰 $\displaystyle \overline{\mathrm{DE}}$를 이용한다.