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자연계열 3번

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숭실대 2011학년도 수시 1차 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/ssu/2011su_1/jayeon_3

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문제

문제 3　제시문 (가)와 (나)를 읽고 논제에 답하시오. (30점)

(가) 이산확률변수 X\displaystyle X가 가지는 값들이 {x1, x2, x3,⋯ }\displaystyle \{x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\cdots\}일 때 X\displaystyle X의 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)는 다음과 같이 정의한다.E(X)=∑i=1∞xiP(X=xi)\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{i=1}^{\infty}x_{i}\mathrm{P}(X=x_{i})여기서 P(X=xi)\displaystyle \mathrm{P}(X=x_{i})는 X\displaystyle X가 xi\displaystyle x_{i}일 확률을 의미한다.

예를 들어 1의 눈이 한 번 나올 때까지 반복적으로 주사위를 던지는 실험을 할 때 주사위를 던진 총 횟수를 확률변수 X\displaystyle X라고 하면 X\displaystyle X가 가지는 값들의 집합은 {1,2,3,⋯ }\displaystyle \{1,2,3,\cdots\}이며, X\displaystyle X의 확률분포는 다음의 표와 같다.

주사위를 1의 눈이 나올 때까지 던진 횟수 X의 확률분포표. P(X = n) = (5/6)^(n−1) × 1/6이다.

이때 X\displaystyle X의 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)는 아래의 (식 ①)을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.E(X)=∑n=1∞n(56)n−1⋅16=6\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{5}{6}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{6}=6

일반적으로 −1<a<1\displaystyle -1<a<1인 상수 a\displaystyle a에 대하여 다음의 무한급수는 수렴하고 그 합은∑n=1∞n an−1=1+2a+3a2+⋯=1(1−a)2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}n\,a^{n-1}=1+2a+3a^{2}+\cdots=\frac{1}{(1-a)^{2}}　⋯⋯\displaystyle \cdots\cdots　(식 ①)

(나) ‘숭실 햄버거’ 가게에서 판촉행사의 일환으로 어린이 고객이 한 개의 햄버거를 살 때마다 세 종류의 장난감 a, b, c 가운데 하나를 임의로 선택하여 나누어 주고 있다. 고객은 장난감 종류를 결정할 수 없고, 햄버거 가게에는 세 가지 장난감이 동일한 비율로 무수히 많이 준비되어 있다. 즉, 고객이 한 개의 햄버거를 새로 살 때 각각의 장난감 a, b, c를 받을 확률은 13\displaystyle \frac{1}{3}로 동일하다.

이 햄버거 가게에서 고객이 한 번에 한 개의 햄버거를 살 때, 한 세트(장난감 종류별로 한 개씩)의 장난감을 수집할 때까지 구입한 햄버거의 개수를 확률변수 X\displaystyle X라고 하자. 한 세트의 장난감을 수집하기 위해서는 최소 3개 이상의 햄버거를 구입해야 한다. X\displaystyle X의 값에 따라 다음의 표와 같이 상황을 설명할 수 있다.

X 값에 따른 사건 설명 표. X = 3은 세 번 모두 다른 종류의 장난감을 받는 경우, X = 4는 처음 세 개까지 두 종류만 받고 네 번째에 남은 한 종류를 받는 경우, X = 5도 같은 방식으로 이어진다.

[논제] 제시문 (나)의 상황에서 다음 질문에 답하시오.

(1) P(X=3)\displaystyle \mathrm{P}(X=3)과 P(X=4)\displaystyle \mathrm{P}(X=4)를 계산하는 과정을 기술하고, 그 값을 구하시오.(2) 3 이상의 자연수 n\displaystyle n에 대하여 P(X=n)\displaystyle \mathrm{P}(X=n)을 n\displaystyle n에 관한 식으로 나타내시오.(3) 논제 (2)의 결과를 이용하여 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)를 구하시오.

[도움말]• X=n\displaystyle X=n인 사건은 마지막 n\displaystyle n번째 받은 장난감이 a인 경우, b인 경우, c인 경우로 나누어진다.• 제시문 (가)의 (식 ①)을 활용하여 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)를 계산할 수 있다.

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숭실대 2011학년도 수시 1차 자연계열 3번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/ssu/2011su_1/jayeon_3

(1) 채점기준 · − 문제의 이해 및 해결방법 제시 − 계산과정 기술, P(X=3)=29\displaystyle \mathrm{P}(X=3)=\frac{2}{9} − 계산과정 기술, P(X=4)=29\displaystyle \mathrm{P}(X=4)=\frac{2}{9}

(1) P(X=3)\displaystyle \mathrm{P}(X=3), P(X=4)\displaystyle \mathrm{P}(X=4)의 계산

− P(X=3)\displaystyle \mathrm{P}(X=3)의 계산세 개의 햄버거를 살 때 순서를 고려하여 장난감을 받는 경우의 수는 33=27\displaystyle 3^{3}=27가지이다. X=3\displaystyle X=3인 사건은 햄버거를 새로 살 때마다 다른 종류의 장난감을 받은 경우이므로 가능한 경우의 수는 3!=6\displaystyle 3!=6이 된다. 따라서 구하는 확률은 627=29\displaystyle \frac{6}{27}=\frac{2}{9}이다.

− P(X=4)\displaystyle \mathrm{P}(X=4)의 계산네 개의 햄버거를 살 때 순서를 고려하여 장난감을 받는 경우의 수는 34=81\displaystyle 3^{4}=81가지이다. X=4\displaystyle X=4인 사건을 네 번째 받은 장난감을 기준으로 경우를 나누어 본다.(ⅰ) 네 번째 받은 장난감이 a인 경우: bbca, bcba, bcca, cbba, cbca, ccba의 6가지(ⅱ) 네 번째 받은 장난감이 b인 경우: (ⅰ)과 마찬가지 방법으로 6가지(ⅲ) 네 번째 받은 장난감이 c인 경우: (ⅰ)과 마찬가지 방법으로 6가지X=4\displaystyle X=4인 사건으로 가능한 경우의 수는 모두 3⋅6=18\displaystyle 3\cdot 6=18이며 구하는 확률은 1881=29\displaystyle \frac{18}{81}=\frac{2}{9}이다.

참고: (ⅰ)의 가능한 경우의 수(6가지)는 처음 세 개의 햄버거를 구입할 때 a를 제외하고 두 종류(b와 c)의 장난감만을 받는 경우이므로 다음과 같이 계산할 수 있다.(b 또는 c를 받는 경우의 수) − (b만 받는 경우의 수 + c만 받는 경우의 수)=23−2=6\displaystyle =2^{3}-2=6

(2) 채점기준 · − 수식 유도 과정 기술 − 정확한 결론 도출: P(X=n)=2n−1−23n−1=(23)n−1−2(13)n−1\displaystyle \mathrm{P}(X=n)=\frac{2^{n-1}-2}{3^{n-1}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}

(2) P(X=n)\displaystyle \mathrm{P}(X=n)의 계산n\displaystyle n개의 햄버거를 구입할 때 순서를 고려하여 장난감을 받는 경우의 수는 3n\displaystyle 3^{n}이다. n\displaystyle n번째 받은 장난감이 a일 때 가능한 경우의 수는 처음 (n−1)\displaystyle (n-1)개의 햄버거를 구입할 때 b와 c의 장난감을 받는 경우(a 제외)이므로(b 또는 c를 받는 경우의 수) − (b만 받는 경우의 수 + c만 받는 경우의 수)=2n−1−2\displaystyle =2^{n-1}-2이다.

n\displaystyle n번째 받은 장난감이 b 또는 c인 경우에 대해서도 마찬가지이므로 구하는 경우의 수는 3(2n−1−2)\displaystyle 3\left(2^{n-1}-2\right)이다. 따라서 구하는 확률은3(2n−1−2)3n=(23)n−1−2(13)n−1\displaystyle \frac{3\left(2^{n-1}-2\right)}{3^{n}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}

(3) 채점기준 · − 계산과정 기술 − E(X)=112=5.5\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{11}{2}=5.5

(3) 기댓값 E(X)\displaystyle \mathrm{E}(X)의 계산확률변수 X\displaystyle X가 3 이상의 자연수 값만을 가지므로 기댓값의 정의에 의해E(X)=∑n=3∞n{(23)n−1−2(13)n−1}=∑n=3∞n(23)n−1−2∑n=3∞n(13)n−1\displaystyle \mathrm{E}(X)=\sum_{n=3}^{\infty}n\left\{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-2\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\right\}=\sum_{n=3}^{\infty}n\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-2\sum_{n=3}^{\infty}n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}이다(각각의 무한급수가 수렴).

식 ①을 이용하여 각각의 무한급수를 계산하면∑n=3∞n(23)n−1=∑n=1∞n(23)n−1−(1+43)=1(1−23)2−73=203\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}n\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}-\left(1+\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2}}-\frac{7}{3}=\frac{20}{3}∑n=3∞n(13)n−1=∑n=1∞n(13)n−1−(1+23)=1(1−13)2−53=712\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty}n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}}-\frac{5}{3}=\frac{7}{12}이 되고 E(X)=203−2⋅712=336=112=5.5\displaystyle \mathrm{E}(X)=\frac{20}{3}-2\cdot\frac{7}{12}=\frac{33}{6}=\frac{11}{2}=5.5를 얻는다.

1. 요소별 평가 : 답안에서 평가요소들의 포함 여부로 결정.

2. 전체 글 구성 능력 평가 : 글의 논리성, 서술 능력 등을 종합적으로 판단− 가점 요인: 글의 논리성, 정확한 근거의 논리적 제시, 서술 능력 등을 종합적으로 판단하여 점수를 결정− 감점 요인: 비문, 비논리적 전개, 기본 글쓰기 불량(띄어쓰기, 맞춤법 불량 등), 불완전한 수식의 표현 등

요소별 평가 — 자료 해석력 및 창의적 논증력: 80% ((1)~(3) 합계)

글 구성력 평가 — 표현력: 글의 논리성, 서술능력 등의 종합 평가 20%

합계 100%

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