자연계열 1번

(가) 좌표평면 위의 변환 $\displaystyle f:(x,y)\to(\tilde x,\tilde y)$가$\displaystyle \begin{cases}\tilde x=ax+by\\\tilde y=cx+dy\end{cases}$의 꼴로 나타날 때, 이 변환 $\displaystyle f$를 일차변환이라고 한다. 이 일차변환을 행렬로 나타내면$\displaystyle \begin{pmatrix}\tilde x\\\tilde y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$로 표현할 수 있다. 이때, 행렬 $\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$를 일차변환 $\displaystyle f$의 행렬이라고 한다.

(나) 일차변환 $\displaystyle f$가 주어져 있을 때, 도형 $\displaystyle C$는 일차변환 $\displaystyle f$에 의해 다른 도형으로 옮겨진다. 이때 일차변환 $\displaystyle f$의 행렬이 가역이면, 일차변환 $\displaystyle f$는 직선을 직선으로 옮기고, 곡선을 곡선으로 옮긴다.[출처 : 기하와 벡터 「일차변환과 행렬」]

일차변환 $\displaystyle f:(x,y)\to(\tilde x,\tilde y)$의 행렬이$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\1&2\end{pmatrix}$이고, 도형 $\displaystyle C$는 중심이 원점 $\displaystyle O(0,0)$이고 반지름의 길이가 1인 원이다. 도형 $\displaystyle C$가 일차변환 $\displaystyle f$에 의하여 옮겨진 도형을 $\displaystyle \tilde C$라고 할 때, 다음 문항에 답하시오.

(가) 점 $\displaystyle P$가 좌표공간에서 움직일 때, 시각 $\displaystyle t$에서의 점 $\displaystyle P$의 위치를 $\displaystyle (x,y,z)$라고 하면, $\displaystyle x,y,z$는 $\displaystyle t$의 함수 $\displaystyle x=f(t)$, $\displaystyle y=g(t)$, $\displaystyle z=h(t)$와 같이 나타낼 수 있다. 점 $\displaystyle P$에서 $\displaystyle x$축, $\displaystyle y$축, $\displaystyle z$축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle U,V,W$라고 하면 점 $\displaystyle P$가 움직일 때 점 $\displaystyle U$는 $\displaystyle x$축 위에서 $\displaystyle x=f(t)$로 나타내어지는 직선운동을 하고, 점 $\displaystyle V$와 점 $\displaystyle W$는 각각 $\displaystyle y$축과 $\displaystyle z$축 위에서 $\displaystyle y=g(t)$, $\displaystyle z=h(t)$로 나타내어지는 직선운동을 한다. 따라서 시각 $\displaystyle t$에서의 세 점 $\displaystyle U,V,W$의 속도를 각각 $\displaystyle v_x,v_y,v_z$라고 하면$\displaystyle v_x=\frac{dx}{dt}=f^{\prime}(t),\ v_y=\frac{dy}{dt}=g^{\prime}(t),\ v_z=\frac{dz}{dt}=h^{\prime}(t)$이다. 좌표공간에서 움직이는 점 $\displaystyle P$의 속도는 순서쌍 $\displaystyle (v_x,v_y,v_z)$로 나타내고, $\displaystyle \sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$을 속도의 크기 또는 속력이라고 한다.[출처 : 수학 Ⅱ 「미분법」]

(나) 점 $\displaystyle P(x_0,y_0,z_0)$을 지나고, 벡터 $\displaystyle \vec u=(\ell,m,n)$에 평행한 직선의 방정식은 $\displaystyle \ell mn\ne0$인 경우$\displaystyle \frac{x-x_0}\ell=\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n$이다. 만일 $\displaystyle \ell=0$, $\displaystyle mn\ne0$이면 직선의 방정식은$\displaystyle x=x_0,\quad\frac{y-y_0}m=\frac{z-z_0}n$이고, 이는 점 $\displaystyle P(x_0,y_0,z_0)$을 지나고 $\displaystyle yz$평면과 평행한 직선을 나타낸다.[출처 : 기하와 벡터 「벡터」]

핀홀카메라는 바늘구멍처럼 작은 구멍(핀홀)을 통해 들어오는 빛을 일정한 거리에 있는 감광지에 맺히게 하여 사진을 찍는 간단한 상자 형태의 카메라이다. 속을 어둡게 칠한 상자의 앞면에는 작은 구멍을 뚫고, 뒷면 안쪽에는 감광지를 놓아 상을 맺히게 한다. 조리개가 없기 때문에 구멍을 되도록 작게 뚫고, 셔터 대신 핀홀을 손으로 가리거나 적당한 마개를 사용하여 노출 시간을 조절한다.

<그림 1>

<그림 1>과 같이 핀홀카메라의 앞면이 평면 $\displaystyle z=0$에, 뒷면이 평면 $\displaystyle z=-1$에 놓여 있고, 핀홀은 앞면 위의 점 $\displaystyle O(0,0,0)$에 위치할 때, 다음 문항에 답하시오.