자연계열 1번

문제 1-A

(1) 식 $\displaystyle h(X)=AX+P=X$에서$\displaystyle \begin{cases}3x-3y+1=x\\4x-5y+2=y\end{cases}$을 얻는다. 위 식을 정리하면 $\displaystyle 2x-3y+1=0$이 되므로 직선 $\displaystyle y=\frac23x+\frac13$ 위의 모든 점들이 변환 $\displaystyle h$의 고정점이 된다.직선 $\displaystyle y=\frac23x+\frac13$ 위의 점 중 원점에서 가장 가까운 점을 $\displaystyle (a,b)$라 두면, 원점과 점 $\displaystyle (a,b)$를 지나는 직선 $\displaystyle y=\frac bax$와 직선 $\displaystyle y=\frac23x+\frac13$은 서로 수직이다. 따라서 두 식$\displaystyle b=\frac23a+\frac13,\quad\frac ba\times\frac23=-1$을 연립하여 풀면 $\displaystyle (a,b)=\left(-\frac2{13},\frac3{13}\right)$가 원점에서 가장 가까운 고정점이 된다.

(2) $\displaystyle Z=sG_1+tG_2$라 하면$\displaystyle \begin{aligned}h(Z)&=h(sG_1+tG_2)=A(sG_1+tG_2)+P\\&=sAG_1+tAG_2+P\end{aligned}$을 얻는다. 점 $\displaystyle G_1$과 $\displaystyle G_2$가 고정점이므로$\displaystyle AG_1=G_1-P,\quad AG_2=G_2-P$이 성립한다. 따라서$\displaystyle \begin{aligned}h(Z)&=s(G_1-P)+t(G_2-P)+P\\&=sG_1+tG_2+(1-s-t)P\\&=Z+(1-s-t)P\end{aligned}$이다.특히, 점 $\displaystyle G_1$과 $\displaystyle G_2$를 지나는 직선 위의 점은 $\displaystyle Z=(1-t)G_1+tG_2$ ($\displaystyle t$는 실수)로 표현되므로, 직선 $\displaystyle l$ 위의 모든 점 $\displaystyle Z$에 대하여 $\displaystyle h(Z)=Z$이 성립한다. 따라서 직선 $\displaystyle l$ 위의 모든 점이 변환 $\displaystyle h$의 고정점이 된다.

문제 1-B

(1) 다른 항공사에 운송을 위탁해야 할 확률은 취소되는 물량이 초과예약물량보다 적을 확률과 같다.$\displaystyle P(X<u)=\int_0^u\cos x\,dx=\Biggl[\sin x\Biggr]_0^u=\sin u$즉, 다른 항공사에 운송을 위탁할 확률은 $\displaystyle \sin u$이다. 따라서, $\displaystyle \sin u=\frac12$ $\displaystyle \left(0\le u\le\frac\pi2\right)$를 만족하는 초과예약물량은 $\displaystyle u=\frac\pi6$이다.

(2) 취소물량 $\displaystyle X$가 초과예약물량 $\displaystyle u$보다 적은 경우 $\displaystyle (u-X)$만큼을 다른 항공사에 운송을 위탁하고, $\displaystyle X$가 $\displaystyle u$보다 크거나 같은 경우 위탁할 물량이 없다. 즉, 다른 항공사에 위탁할 물량의 기댓값 $\displaystyle Q(u)$는 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}Q(u)&=\int_0^u(u-x)f(x)\,dx=u\int_0^uf(x)\,dx-\int_0^uxf(x)\,dx\\&=u\sin u-\int_0^ux\cos x\,dx\end{aligned}$부분적분법을 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^ux\cos x\,dx&=\Biggl[x\sin x\Biggr]_0^u-\int_0^u\sin x\,dx\\&=u\sin u+\cos u-1\end{aligned}$이다. 따라서 다른 항공사에 위탁하는 물량의 기댓값은$\displaystyle Q(u)=u\sin u-u\sin u+1-\cos u=1-\cos u$이다.

(3) $\displaystyle u$톤을 초과예약으로 받았을 때 항공사가 얻는 기대순이익 $\displaystyle R(u)$는 다음과 같다.$\displaystyle R(u)=1000u-2000\cdot(1-\cos u)$$\displaystyle R(u)$의 도함수는$\displaystyle R^{\prime}(u)=1000-2000\sin u$이고, $\displaystyle R^{\prime}(u_0)=0$을 만족하는 $\displaystyle u_0$를 구하면$\displaystyle R^{\prime}(u_0)=1000-2000\sin u_0=0\quad\Rightarrow\quad u_0=\frac\pi6$이다. $\displaystyle u=u_0$를 기준으로 $\displaystyle R(u)$의 증감을 보면 다음과 같다.| | $\displaystyle 0\le u<u_0$ | $\displaystyle u=u_0$ | $\displaystyle u_0<u\le\frac\pi2$ || --- | --- | --- | --- || $\displaystyle R^{\prime}(u)$ | + | 0 | − || $\displaystyle R(u)$ | ↗ | 극대 | ↘ |

따라서, $\displaystyle R(u)$를 최대화하는 초과예약물량은 $\displaystyle \frac\pi6$ 톤이다.