자연계열 1번

(가) 좌표평면 위의 변환 $\displaystyle f:(x,y)\to(x^{\prime},y^{\prime})$가$\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=ax+by\\y^{\prime}=cx+dy\end{cases}$의 꼴로 나타날 때, 이러한 변환 $\displaystyle f$를 일차변환이라고 한다.좌표평면 위의 변환 $\displaystyle g:(x^{\prime},y^{\prime})\to(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime})$가$\displaystyle \begin{cases}x^{\prime\prime}=x^{\prime}+p\\y^{\prime\prime}=y^{\prime}+q\end{cases}$의 꼴로 나타날 때, 이러한 변환 $\displaystyle g$를 평행이동이라고 한다.[출처 : 수학 「도형의 방정식」, 기하와 벡터 「일차변환과 행렬」]

(나) 일차변환 $\displaystyle f$와 평행이동 $\displaystyle g$의 합성변환 $\displaystyle h=g\circ f:(x,y)\to(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime})$는$\displaystyle \begin{cases}x^{\prime\prime}=x^{\prime}+p=ax+by+p\\y^{\prime\prime}=y^{\prime}+q=cx+dy+q\end{cases}$와 같이 나타나고, 이 합성변환 $\displaystyle h$를 행렬로 표현하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{pmatrix}x^{\prime\prime}\\y^{\prime\prime}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$여기서 $\displaystyle X^{\prime\prime}=\begin{pmatrix}x^{\prime\prime}\\y^{\prime\prime}\end{pmatrix}$, $\displaystyle A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, $\displaystyle X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, $\displaystyle P=\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}$로 두면 변환 $\displaystyle h$는 다음과 같이 쓸 수 있다.$\displaystyle X^{\prime\prime}=h(X)=AX+P$[출처 : 수학 「함수」, 기하와 벡터 「일차변환과 행렬」]

위 제시문에서 주어진 변환 $\displaystyle h(X)=AX+P$에 의하여 점 $\displaystyle G$가 동일한 점 $\displaystyle G$로 옮겨질 때, 즉 $\displaystyle h(G)=G$가 될 때, 이 점 $\displaystyle G$를 변환 $\displaystyle h$의 고정점이라 한다. 다음 문항에 답하시오.

(가) 어떤 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$의 모든 실숫값을 가지는 변수 $\displaystyle X$에 대하여 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$를 정의역으로 하는 어떤 함수 $\displaystyle f(x)$가 조건(i) $\displaystyle f(x)\ge0\quad(\alpha\le x\le\beta)$(ii) $\displaystyle \int_\alpha^\beta f(x)\,dx=1$(iii) $\displaystyle P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx\quad(\alpha\le a\le b\le\beta)$을 만족할 때, $\displaystyle X$를 연속확률변수라 하고, 함수 $\displaystyle f(x)$를 연속확률변수 $\displaystyle X$의 확률밀도함수라고 한다.[출처 : 미적분학과 통계 기본 「통계」]

(나) 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$의 모든 실숫값을 가지는 연속확률변수 $\displaystyle X$의 확률밀도함수가 $\displaystyle f(x)$일 때,$\displaystyle E(X)=\int_\alpha^\beta xf(x)\,dx$를 확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값이라고 한다.[출처 : 미적분학과 통계 기본 「통계」]

항공화물 운송업에서는 초과예약 제도를 시행하고 있다. 초과예약이란 화물기의 적재용량보다 더 많은 물량에 대해 운송계약을 체결하는 것을 말한다. 적재용량 만큼만 예약을 받으면 고객이 예약을 취소할 경우 적재용량을 다 채우지 못한 채로 화물기를 운행하게 된다. 하지만, 초과예약을 받으면 일부 고객이 예약을 취소하더라도 적재용량을 최대한 채워서 운항할 수 있다. 단, 취소물량이 초과예약된 물량보다 적어 운송해야 할 물량이 적재용량을 초과하는 경우에 대비해야 한다.

항공사 A는 취소되는 물량을 예상하여 적재용량 20톤인 화물기에 대해 총 $\displaystyle (20+u)$톤의 예약을 받는다. 여기서 $\displaystyle u$는 초과예약물량으로 $\displaystyle 0\le u\le\frac\pi2$이다. 예약이 취소되는 물량을 연속확률변수 $\displaystyle X$라 할 때, $\displaystyle X$의 확률밀도함수 $\displaystyle f(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle f(x)=\begin{cases}\cos x&\left(0\le x\le\frac\pi2\right)\\0&\left(\frac\pi2<x\le20+u\right)\end{cases}$

이 항공사는 화물 1톤당 1,000만 원을 받고 고객과 운송계약을 체결한다. 취소물량 $\displaystyle X$가 초과예약물량 $\displaystyle u$보다 적은 경우, 적재용량을 초과하는 물량에 대해 1톤당 2,000만 원의 비용을 지불하고 다른 항공사에 운송을 위탁한다.

기대이득 : 1,000만 원 × [초과예약물량 $\displaystyle u$]기대비용 : 2,000만 원 × [다른 항공사에 위탁하게 될 물량의 기댓값 $\displaystyle Q(u)$]