자연계열 1번

(1) $\displaystyle t>1$에서 두 함수 $\displaystyle f(t)$와 $\displaystyle g(t)$를 정의하면 다음과 같다.$\displaystyle f(t)=\int_1^t2x\,dx=t^2-1$$\displaystyle g(t)=\int_1^t\frac1x\,dx=\ln t$따라서,$\displaystyle h(t)=\frac{\ln t}{t^2}$이다.

함수 $\displaystyle h(t)$의 도함수는$\displaystyle \begin{aligned}\frac d{dt}h(t)&=\frac1t\cdot\frac1{t^2}+\ln t\cdot(-2)\cdot\frac1{t^3}\\&=\frac1{t^3}(1-2\ln t)\end{aligned}$이다. $\displaystyle \frac d{dt}h(t)=0$인 $\displaystyle t$는 유일하게 $\displaystyle \ln t=\frac12$일 때 존재한다.

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{d^2}{dt^2}h(t)&=(-3)\cdot\frac1{t^4}\cdot(1-2\ln t)-2\cdot\frac1{t^4}\\&=-\frac1{t^4}\cdot(5-6\ln t)\end{aligned}$이므로 $\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}h(t)$는 $\displaystyle \ln t=\frac12$일 때 음수이다.따라서 $\displaystyle t=\sqrt e$일 때 $\displaystyle h(t)$가 최대가 되며 최댓값은 $\displaystyle \frac1{2e}$이다.

(2) 이 사면체의 제일 밑면은 한 변이 $\displaystyle n$개인 삼각형이다. 이 삼각형을 이루는 공의 개수는 을 만드는 공의 개수는$\displaystyle 1+2+\ldots+n=\sum_{i=i}^ni=\frac{n(n+1)}2$이다.Correction. 합 기호의 아래 첨자 $\displaystyle i=i$는 $\displaystyle i=1$의 오기이다. 직전 문장의 “공의 개수는 을 만드는 공의 개수는”도 중복된 표현이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이때, $\displaystyle n$개의 층으로 이루어진 정사면체를 이루는 공의 개수를 $\displaystyle a_n$이라고 하면, $\displaystyle a_n$은 위에서부터 1단, 2단,...$\displaystyle n$단을 이루는 공의 개수의 합으로 표현할 수 있다. 이때, $\displaystyle k$번째 단의 공의 개수는 한변이 $\displaystyle k$개인 정사면체의 제일 밑면의 공의 개수와 같다.

따라서 $\displaystyle a_n$은 다음과 같이 계산할 수 있다.$\displaystyle a_n=\frac12\sum_{k=1}^n(k^2+k)=\frac12\left(\frac{n(n+1)(2n+1)}6+\frac{n(n+1)}2\right)=\frac{n(n+1)(n+2)}6$