자연계열 1번

(1)

직선 $\displaystyle l$의 기울기가 $\displaystyle \frac{a^2-b^2}{a-b}=a+b$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{A}(a,a^2)$을 지나므로 직선 $\displaystyle l$의 방정식은$\displaystyle y=(a+b)x-ab$이다.

넓이 $\displaystyle S_1$은$\displaystyle \int_b^a\{(a+b)x-ab-x^2\}dx=(a+b)\left\{\frac12(a^2-b^2)\right\}-ab(a-b)-\frac13(a^3-b^3)=\frac16(a-b)^3$이다.

(2)

점 $\displaystyle \mathrm{C}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}$이고, 점 $\displaystyle \mathrm{D}$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$이므로 선분 $\displaystyle \mathrm{CD}$의 길이는 $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{(a-b)^2}{4}$이다. 점 $\displaystyle \mathrm{A}$와 $\displaystyle \mathrm{B}$의 $\displaystyle x$좌표의 차는 $\displaystyle a-b$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABD}$의 넓이 $\displaystyle S_2$는$\displaystyle \frac12\times\frac{(a-b)^2}{4}\times(a-b)=\frac18(a-b)^3$이고, $\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=\frac43$이다.

(3)

이차함수 $\displaystyle y=x^2$의 도함수는 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x$이므로, 직선 $\displaystyle m$의 방정식은 $\displaystyle y=2ax-a^2$이고, 직선 $\displaystyle n$의 방정식은 $\displaystyle y=2bx-b^2$이다. 교점 $\displaystyle \mathrm{E}$의 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle \frac{a+b}{2}$이고 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle ab$이다. 즉,$\displaystyle \mathrm{E}\left(\frac{a+b}{2},ab\right)$이다. 선분 $\displaystyle \mathrm{CE}$의 길이는 $\displaystyle \frac{a^2+b^2}{2}-ab=\frac{(a-b)^2}{2}$이므로, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABE}$의 넓이 $\displaystyle S_3$는$\displaystyle \frac12\times\frac{(a-b)^2}{2}\times(a-b)=\frac14(a-b)^3$이고, $\displaystyle \frac{S_1}{S_3}=\frac23$이다.