자연계열 2번

(2-1) 삼각형 ABC의 무게중심이 $\displaystyle (1,0)$이므로 $\displaystyle x_1+x_2+x_3=3$, $\displaystyle y_1+y_2+y_3=0$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$\displaystyle (x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2=(3-x_3)^2+(-y_3)^2$$\displaystyle x_1^2+x_2^2+2x_1x_2+y_1^2+y_2^2+2y_1y_2=9-6x_3+x_3^2+y_3^2,\quad x_1x_2+y_1y_2=-3x_3$$\displaystyle y_1y_2=-3x_1-x_1x_2=-3(3-x_1-x_2)-x_1x_2=-(3-x_1)(3-x_2)$Correction. 이 식의 $\displaystyle -3x_1$은 $\displaystyle -3x_3$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

같은 방법으로 $\displaystyle y_1y_3=-(3-x_1)(3-x_3)$, $\displaystyle y_2y_3=-(3-x_2)(3-x_3)$이므로$\displaystyle y_1^2y_2^2y_3^2=-(3-x_1)^2(3-x_2)^2(3-x_3)^2,\quad y_1y_2y_3=(3-x_1)(3-x_2)(3-x_3)=0$이다. 따라서 $\displaystyle x_1=3$ 또는 $\displaystyle x_2=3$ 또는 $\displaystyle x_3=3$이다.

$\displaystyle x_1=3$이면 $\displaystyle y_1=0$이고 $\displaystyle x_2+x_3=0$, $\displaystyle y_2+y_3=0$이므로 $\displaystyle (x_2,y_2)=(-x_3,-y_3)$이다. 따라서 선분 BC가 원 $\displaystyle x^2+y^2=9$의 지름이다. 같은 방법으로 $\displaystyle x_2=3$이면 선분 AC가, $\displaystyle x_3=3$이면 선분 AB가 원 $\displaystyle x^2+y^2=9$의 지름이므로 삼각형 ABC는 직각삼각형이다.

(2-2) $\displaystyle x_1=3$이면 $\displaystyle y_1=0$이고 $\displaystyle (x_2,y_2)=(-x_3,-y_3)$이므로 다음이 성립한다.$\displaystyle |x_1|+|x_2|+|x_3|+|y_1|+|y_2|+|y_3|=3+2(|x_2|+|y_2|)$

$\displaystyle x_2^2+y_2^2=9$이므로 $\displaystyle |x_2|=3\cos t$, $\displaystyle |y_2|=3\sin t$ $\displaystyle \left(0\le t\le\frac\pi2\right)$라 하면$\displaystyle |x_2|+|y_2|=3(\cos t+\sin t)=3\sqrt2\sin\left(t+\frac\pi4\right)$

이므로 $\displaystyle |x_2|+|y_2|$의 값의 범위는 $\displaystyle [3,3\sqrt2]$이다. 따라서 $\displaystyle |x_1|+|x_2|+|x_3|+|y_1|+|y_2|+|y_3|$의 값의 범위는 $\displaystyle [9,3+6\sqrt2]$이다. $\displaystyle x_2=3$ 또는 $\displaystyle x_3=3$인 경우도 같은 방법으로 값의 범위는 $\displaystyle [9,3+6\sqrt2]$이다.

(2-2) 삼각형 ABC의 무게중심을 $\displaystyle \mathrm G(a,b)$ ($\displaystyle a^2+b^2=1$), $\displaystyle \mathrm O(0,0)$, $\displaystyle \mathrm T(1,0)$라 하고 $\displaystyle \angle\mathrm{GOT}=\theta$라고 하자. 또 세 점 A, B, C를 원점을 중심으로 시계방향으로 각각 $\displaystyle \theta$만큼 회전이동 시킨 점을 A′, B′, C′이라고 하자. 이때, 삼각형 A′B′C′의 무게중심이 $\displaystyle (1,0)$이므로 (1)에서 보인 바에 의하여 삼각형 A′B′C′는 직각삼각형이다. 그런데 삼각형 ABC와 삼각형 A′B′C′이 합동이므로 삼각형 ABC도 직각삼각형이다.Correction. 마지막 소문항의 번호 ‘(2-2)’는 ‘(2-3)’의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.Caution. 한 가지 모양으로 도형을 그려 풀 때는, 풀이에 사용한 점의 위치나 각의 크기 관계가 문제의 조건에서 반드시 성립하는지 확인해야 한다: $\displaystyle G(a,b)$는 단위원 위의 어느 점이든 될 수 있다. $\displaystyle \theta=\angle GOT$라 할 때 $\displaystyle G$가 $\displaystyle x$축 위쪽에 있으면 시계 방향, 아래쪽에 있으면 반시계 방향으로 $\displaystyle \theta$만큼 회전해야 $\displaystyle G$가 $\displaystyle T(1,0)$으로 옮겨진다. 예를 들어 $\displaystyle G=(0,-1)$을 시계 방향으로 $\displaystyle \frac\pi2$만큼 회전하면 $\displaystyle (-1,0)$이 된다. 따라서 대학 답안처럼 항상 시계 방향으로 회전시킬 수는 없다. 회전 방향을 위치에 맞게 정하면 회전한 삼각형의 무게중심은 $\displaystyle (1,0)$이므로 앞 문항의 결과를 적용할 수 있다. 회전은 각의 크기를 보존하므로 원래 삼각형도 직각삼각형이라는 결론은 유지된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.