의예과 1번

무한 번 미분 가능한 함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여, 적당한 점 $\displaystyle x_0$에서 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle n$차 근사다항식을$\displaystyle T_n(x)=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$라 하면,이때 발생하는 오차 $\displaystyle f(x)-T_n(x)$는 $\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(t)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$으로 표현된다.(단, $\displaystyle f^{(n)}(x)$은 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle n$번 미분한 함수이다.) 이때 $\displaystyle t$값은 $\displaystyle x$와 $\displaystyle x_0$사이에 존재하는 실수이다. 또한 오차의 한계는 $\displaystyle R_n(x)$의 절대값의 범위를 뜻한다.

시간에 따라 변화하는 어떤 양 $\displaystyle P(t)$의 증가율이란 주어진 기간 $\displaystyle \Delta t$동안의 평균변화율을 총량으로 나눈 값, 즉, $\displaystyle \frac{P(t+\Delta t)-P(t)}{\Delta t}\div P(t)$를 뜻한다. 예를 들면 시간 $\displaystyle t$의 단위를 년으로 정할 때 연간 증가율은 $\displaystyle \frac{P(t+1)-P(t)}{P(t)}$이다.

주어진 기간 $\displaystyle \Delta t$를 한 달로 바꾸면 위 식은 $\displaystyle \frac{P(t+1/12)-P(t)}{(1/12)P(t)}$, $\displaystyle \Delta t$를 하루로 바꾸면 $\displaystyle \frac{P(t+1/365)-P(t)}{(1/365)P(t)}$로 나타낼 수 있다. 이제 위에서 언급한 $\displaystyle P(t)$의 증가율에 극한 $\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}$을 취한 함수 $\displaystyle \lim_{\Delta t\to0}\left[\frac{P(t+\Delta t)-P(t)}{\Delta t}\div P(t)\right]$를 $\displaystyle P(t)$의 순간 증가율이라 한다.