자연계열 1번

첫 번째 공식의 유도에서는 공식을 유도하는 과정의 전체적인 흐름 상 문제가 될 소지가 있는 부분은 반지름이 $\displaystyle r+h$인 원기둥을 $\displaystyle 45^{\circ}$ 각도로 잘라서 생성되는 단면에서 반지름이 $\displaystyle r$인 원기둥을 $\displaystyle 45^{\circ}$ 각도로 잘라서 생기는 단면 만큼을 제거해서 생기는 가느다란 띠를 풀어서 직사각형으로 근사할 수 있다는 부분 밖에 없어 보인다. 실제 띠를 풀어서 직사각형으로 근사시키는 과정에 두 가지 오류가 있다.우선 직사각형이라면 마주보는 두 변의 길이가 같아야 하지만 이 경우는 안쪽의 단면의 둘레의 길이가 바깥쪽의 단면의 길이보다 작기 때문에 직사각형으로의 근사는 문제의 소지가 있다. 큰 단면의 둘레의 길이와 작은 단면의 길이가 근사적으로 같아지기 위해서는 $\displaystyle h$가 충분히 작다는 조건이 필요하지만 여기서는 근사시키는 과정에서 $\displaystyle h$가 충분히 작다는 가정을 명시하지 않고 있으므로 문제의 소지가 있다. 하지만 아래쪽에서 근사는 $\displaystyle h$가 작아질수록 정교하여진다는 말을 하고 있으므로 심각한 오류로 볼 수는 없다.하지만 또 다른 하나의 오류는 치명적이다. 원기둥을 $\displaystyle 45^{\circ}$ 각도로 잘라내면 잘려진 단면은 타원이 되고, 원기둥의 반지름은 타원의 단축의 길이의 절반이 되며, 장축의 길이는 단축의 길이의 $\displaystyle \sqrt{2}$배가 된다. 따라서 큰 단면에서 작은 단면을 제거하여 생긴 가느다란 띠의 너비는 단축 부분에서는 $\displaystyle h$가 되고, 장축 부분으로 갈수록 점점 커져서 장축 부분에서는 $\displaystyle \sqrt{2}h$가 된다. 그리고 단축 부분에서와 장축 부분에서의 길이의 비는 $\displaystyle h$가 아무리 작아지더라도 변하지 않으므로 띠를 풀어서 직사각형으로 근사시킬 수는 없다.따라서 결론적으로 큰 단면에서 작은 단면을 제거하여 생긴 띠를 풀어서 직사각형으로 근사시키는 방법을 이용하여 원기둥의 반지름에 대한 단면의 면적의 함수를 이용하여 둘레의 길이를 구하는 과정은 수학적으로 오류이다.

두 번째 공식의 유도 역시 $\displaystyle V(r)\approx\sum_{k=1}^{n}S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}\approx\int_{0}^{r}S(x)\,dx$의 근사를 제외하고는 문제의 소지가 없어 보인다. 이 경우도 근사적으로 같아지는 것은 $\displaystyle n$의 값이 충분히 크다는 가정을 포함하고 있을 경우만 가능함에도 여기서는 그와 같은 언급을 하지 않은 상태에서 근사시키고 있다. 그러나 역시 아래쪽에서 근사는 $\displaystyle n$이 커질수록 정교하다고 말하고 있으므로 전체적인 논리의 흐름 상 심각한 오류로 볼 수는 없다. 따라서 전체적으로 공식을 유도하는 과정은 타당하다고 할 수 있으나 $\displaystyle n$의 크기에 대한 명확한 언급이 없는 부분은 문제가 될 수 있다.