자연계열 1번

(단면의 면적 $\displaystyle A(r)$을 이용, 단면의 길이 $\displaystyle L(r)$을 구하는 논리) 반경이 $\displaystyle r$인 원기둥을 $\displaystyle 45^{\circ}$ 각도로 잘라서 생성되는 단면의 면적을 $\displaystyle A(r)$, 둘레 길이를 $\displaystyle L(r)$이라고 하자. $\displaystyle r$의 함수로 단면의 면적 $\displaystyle A(r)$을 알고 있을 때, 이를 이용하여 단면의 둘레 길이 $\displaystyle L(r)$을 구하고자한다.반경이 각각 $\displaystyle r$, $\displaystyle r+h$ $\displaystyle (h>0)$인 원기둥을 $\displaystyle 45^{\circ}$ 각도로 자른 단면의 면적은 $\displaystyle A(r)$, $\displaystyle A(r+h)$이다. 큰 단면에서 작은 단면을 제거하면 가느다란 띠가 생성되는데, 이 띠의 면적은 이 두 단면의 면적의 차이 $\displaystyle A(r+h)-A(r)$이다. 이 띠를 풀면 직사각형으로 근사할 수 있고, 이 직사각형은 밑변의 길이는 우리가 구하고자 하는 단면의 길이 $\displaystyle L(r)$이고 높이는 $\displaystyle h$이다.$\displaystyle A(r+h)-A(r)\approx L(r)h$$\displaystyle \frac{A(r+h)-A(r)}{h}\approx L(r)$위의 근사는 $\displaystyle h$가 작아질수록 정교하여지므로, 위 식에서 $\displaystyle h$를 0으로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉,$\displaystyle L(r)=\frac{d}{dr}A(r)$

(구의 표면적 $\displaystyle S(r)$을 이용, 구의 체적 $\displaystyle V(r)$을 구하는 논리) 반경이 $\displaystyle r$인 구의 표면적을 $\displaystyle S(r)$, 체적을 $\displaystyle V(r)$이라고 하자. $\displaystyle r$의 함수로 구의 표면적 $\displaystyle S(r)$을 알고 있을 때, 이를 이용하여 구의 체적 $\displaystyle V(r)$을 구하고자한다.구의 반경 $\displaystyle r$을 $\displaystyle n$등분하여 구를 반경이 $\displaystyle \frac{k}{n}r$, $\displaystyle k=1,2,\ldots,n$, 인 구의 표면을 이용하여 분할하면, 구는 $\displaystyle n$개의 얇은 “양파 껍질”이 모여서 이루어졌다고 생각할 수 있다. 각각의 양파 껍질은 표면의 넓이가 $\displaystyle S\left(\frac{k}{n}r\right)$이고 두께가 $\displaystyle \frac{r}{n}$이므로, 양파 껍질의 체적은 근사적으로 $\displaystyle S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}$ 이다. 구의 체적은 이들 양파 껍질의 체적을 더하면 되므로 다음과 같이 주어진다.$\displaystyle V(r)\approx\sum_{k=1}^{n}S\left(\frac{k}{n}r\right)\frac{r}{n}\approx\int_{0}^{r}S(x)\,dx$위의 근사는 $\displaystyle n$이 커질수록 정교하여지므로, 위 식에서 $\displaystyle n$을 무한대로 보내는 극한을 취하면 등식이 성립한다. 즉,$\displaystyle V(r)=\int_{0}^{r}S(x)\,dx$