자연계열 1번

<1-1> <그림 1>과 같이 원 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$과 타원 $\displaystyle x^{2}+k^{2}y^{2}=1$에 대해 원 위의 점 $\displaystyle P$가 시각 $\displaystyle t$에 대해 반시계 방향으로 원 위를 움직이므로 원점 $\displaystyle O$에 대하여 선분 $\displaystyle OP$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라 하자. 원 위의 점 $\displaystyle P$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선이 타원과 1사분면에서 만나는 점을 $\displaystyle Q$, 그 수선의 발을 $\displaystyle H$, 선분 $\displaystyle OQ$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각을 $\displaystyle \alpha$라 하자.

이 때, 선분 $\displaystyle OP$, 선분 $\displaystyle OA$와 원의 호 $\displaystyle PA$로 둘러싸인 도형 $\displaystyle POA$의 넓이를 $\displaystyle S_{1}(t)$라 하자. 그러면 선분 $\displaystyle OP$는 $\displaystyle y$축의 $\displaystyle \frac{1}{k}$ 축소 닮음에 의해 선분 $\displaystyle OQ$로 이동되므로 도형 $\displaystyle POA$는 $\displaystyle y$축의 $\displaystyle \frac{1}{k}$ 축소 닮음에 의해 선분 $\displaystyle OA$, 선분 $\displaystyle OQ$와 타원의 호 $\displaystyle AQ$로 둘러싸인 도형 $\displaystyle QOA$으로 이동된다. 논제에서 주어진 도형 $\displaystyle QOA$의 넓이를 $\displaystyle S(t)$라 두면 $\displaystyle S(t)=\frac{1}{k}S_{1}(t)=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{2}\theta$인 관계가 성립한다.따라서 $\displaystyle \frac{d}{dt}S(t)=\frac{1}{2k}\cdot\frac{d\theta}{dt}$이고 문제의 조건에서 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$가 일정하다고 하였으므로 $\displaystyle \frac{d}{dt}S(t)$는 일정하다.

<1-2> (i) <그림 1>에서 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{\overline{QH}}{\overline{OH}}$, $\displaystyle \tan\theta=\frac{\overline{PH}}{\overline{OH}}$, $\displaystyle \overline{QH}=\frac{1}{k}\overline{PH}$이므로 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{1}{k}\tan\theta$이다.이 식의 양 변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면 $\displaystyle \sec^{2}\alpha\frac{d\alpha}{dt}=\frac{1}{k}\sec^{2}\theta\frac{d\theta}{dt}$를 얻는다.여기서 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{d\alpha}{dt}$이면 $\displaystyle \sec^{2}\alpha=\frac{1}{k}\sec^{2}\theta$이다.$\displaystyle f(\theta)=\frac{\sec^{2}\alpha}{\sec^{2}\theta}=\frac{1+\tan^{2}\alpha}{1+\tan^{2}\theta}=\frac{1+\frac{1}{k^{2}}\tan^{2}\theta}{1+\tan^{2}\theta}=\frac{k^{2}+\tan^{2}\theta}{k^{2}+k^{2}\tan^{2}\theta}$라 하면 이는 $\displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$에서 연속이고 $\displaystyle f(0)=1$, $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{k^{2}}$이며, $\displaystyle \frac{1}{k^{2}}<\frac{1}{k}<1$이다. 따라서 중간값 정리에 의하여 $\displaystyle f(\theta)=\frac{1}{k}$인 $\displaystyle \theta$가 $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$에 존재한다. 이때 $\displaystyle \frac{k^{2}+\tan^{2}\theta}{k^{2}+k^{2}\tan^{2}\theta}=\frac{1}{k}$에서 $\displaystyle \tan\theta=\sqrt{k}$를 얻는다. 그러면 $\displaystyle \tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{k}}$이므로 $\displaystyle \tan\theta\cdot\tan\alpha=1$이고 $\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$, $\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle \theta+\alpha=\frac{\pi}{2}$이다.(ii)$\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{\frac{\pi}{2}-\theta}{\frac{\pi}{2}-\alpha}=\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{\frac{\pi}{2}-\theta}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}\cdot\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\frac{\pi}{2}-\alpha}\cdot\frac{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}$$\displaystyle =\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{\cos\theta}{\cos\alpha}=\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\overline{OQ}=\frac{1}{k}$

<1-3> 아래 <그림 2>와 같이 선분 $\displaystyle OP$가 타원과 만나는 점을 $\displaystyle R$, 점 $\displaystyle R$에서 $\displaystyle x$축에 그은 수선이 원과 만나는 점을 $\displaystyle T$, $\displaystyle \angle TOA=\beta$라 하면, 문제 1-2에 의하여 $\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{k}\tan\beta$이다.

$\displaystyle f+g$는 삼각형 $\displaystyle OPQ$의 넓이이므로 $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\overline{PQ}\cdot\overline{OH}=\frac{1}{2}\cdot\frac{k-1}{k}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta$이다.$\displaystyle \overline{OT}$은 $\displaystyle y$축의 $\displaystyle \frac{1}{k}$ 축소 닮음에 의해 $\displaystyle \overline{OR}$로 이동되고 $\displaystyle \overline{OP}$은 $\displaystyle y$축의 $\displaystyle \frac{1}{k}$ 축소 닮음에 의해 $\displaystyle \overline{OQ}$로 이동된다. 그러므로 부채꼴 $\displaystyle OTP$는 $\displaystyle y$축의 $\displaystyle \frac{1}{k}$ 축소 닮음에 의해 도형 $\displaystyle g$로 이동된다. $\displaystyle g$는 부채꼴 $\displaystyle OTP$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{k}$이므로$\displaystyle g=\frac{1}{k}\cdot\frac{1}{2}\cdot(\beta-\theta)$ ⋯ ㉠이다. 따라서$\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{f+g}{g}=\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{(k-1)\sin\theta\cdot\cos\theta}{\beta-\theta}=\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{(k-1)\sin\theta\cdot\cos\theta}{\sin(\beta-\theta)}\cdot\frac{\sin(\beta-\theta)}{\beta-\theta}$$\displaystyle =\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{(k-1)\sin\theta\cdot\cos\theta}{\sin\beta\cdot\cos\theta-\cos\beta\cdot\sin\theta}=\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{(k-1)\sin\theta}{\sin\beta-\cos\beta\cdot\tan\theta}$이다.이 식에 $\displaystyle \tan\theta=\frac{1}{k}\cdot\tan\beta$을 대입하면 다음을 얻는다.$\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{(k-1)\sin\theta}{\sin\beta-\cos\beta\cdot\tan\theta}=\lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{(k-1)\sin\theta}{\sin\beta-\frac{1}{k}\sin\beta}=\frac{k-1}{1-\frac{1}{k}}=k$그러므로 $\displaystyle \lim_{\theta\to\frac{\pi}{2}-0}\frac{f}{g}=k-1$이다.