자연계열 1번

[문제 1-1]

원에 내접하는 정 $\displaystyle n$-각형은 원의 중심에서 만나는 $\displaystyle n$개의 합동인 삼각형들로 분해할 수 있다. 삼각형의 두 변은 반지름과 같고 두 변이 이루는 각은 $\displaystyle \frac{2\pi}n$이므로 삼각형의 넓이에 관한 공식을 이용하여 한 삼각형의 넓이 $\displaystyle \frac12r^2\sin\frac{2\pi}n$를 얻는다. 따라서 내접하는 정 $\displaystyle n$-각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12nr^2\sin\frac{2\pi}n$이다.

원에 외접하는 정 $\displaystyle n$-각형은 원의 중심에서 만나는 $\displaystyle n$개의 합동인 삼각형들로 분해할 수 있다. 삼각형의 높이는 반지름과 같고 밑변의 길이는 $\displaystyle 2r\tan\frac\pi n$이므로 삼각형의 넓이에 관한 공식을 이용하여 한 삼각형의 넓이 $\displaystyle r^2\tan\frac\pi n$를 얻는다. 따라서 원에 외접하는 정 $\displaystyle n$-각형의 넓이는 $\displaystyle nr^2\tan\frac\pi n$이다.

[문제 1-2]

반지름 1인 원에 내접하는 정 $\displaystyle n$-각형의 둘레는 $\displaystyle 2n\sin\frac\pi n$이다. $\displaystyle n$이 점점 커짐에 따라 정 $\displaystyle n$-각형의 둘레는 원의 둘레에 한없이 가까워지고 원의 둘레는 $\displaystyle 2\pi$이므로 아래 식이 성립한다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\sin\frac\pi n=\pi$

반지름 1인 원에 외접하는 정 $\displaystyle n$-각형의 둘레는 $\displaystyle 2n\tan\frac\pi n$이다. $\displaystyle n$이 점점 커짐에 따라 정 $\displaystyle n$-각형의 둘레는 원의 둘레에 한없이 가까워지고 원의 둘레는 $\displaystyle 2\pi$이므로 아래 식이 성립한다.$\displaystyle \lim_{n\to\infty}n\tan\frac\pi n=\pi$

[문제 1-3]

㉠ 피타고라스 정리에 의하여 아래 식이 성립한다.$\displaystyle (t\cos q)^2+(t\sin q-r)^2=r^2$삼각함수의 제곱공식을 이용하여 이 식을 정리한 후 $\displaystyle t$에 관하여 풀면 $\displaystyle t=2r\sin q$를 얻는다.

㉡ 일반적으로 원주각의 크기는 중심각의 크기의 반이므로 각 $\displaystyle q$의 변화량 $\displaystyle \Delta q$에 대응하는 중심각의 크기는 $\displaystyle 2\Delta q$이다.

[문제 1-4]

평면 $\displaystyle H_1$과 $\displaystyle H_2$를 각각 $\displaystyle x+2y+2z-4=0$, $\displaystyle x+2y+2z+2=0$라고 하자. 주어진 영역은 원점을 중심으로 한 반지름 4인 구면의 두 평면 $\displaystyle H_1$과 $\displaystyle H_2$ 사이에 놓인 부분이다. 구의 중심으로부터 평면 $\displaystyle H_1,H_2$에 이르는 거리는 각각 $\displaystyle \frac{|-4|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac43$, $\displaystyle \frac2{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac23$이다.

제시문에 의하면, 평면 $\displaystyle H_1$의 위쪽 부분과 평면 $\displaystyle H_2$의 아래쪽 부분의 넓이는 각각 아래와 같다.$\displaystyle \pi\left(4^2-\left(\frac43\right)^2+\left(\frac83\right)^2\right)=\frac{64\pi}3,\;\pi\left(4^2-\left(\frac23\right)^2+\left(\frac{10}3\right)^2\right)=\frac{80\pi}3$

따라서, 주어진 영역의 넓이는 $\displaystyle 64\pi-\frac{64\pi}3-\frac{80\pi}3=16\pi$이다.

[문제 1-5]Comment. 문제 1-5에서는 구의 반지름을 $\displaystyle R$로, 대학 답안에서는 $\displaystyle r$로 표기하였다. 같은 반지름을 뜻한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

오른쪽 측면도에서 $\displaystyle \triangle OAT$와 $\displaystyle \triangle OTB$는 닮은 삼각형이므로 다음 관계식이 성립한다.$\displaystyle (*)\quad\frac{r+h}r=\frac ra$

피타고라스 정리에 의하여 다음 식을 얻고$\displaystyle r^2-a^2=t^2-(r-a)^2$

여기에 식 (*)를 적용하면 아래 식을 얻는다.$\displaystyle \begin{aligned}t^2&=r^2-a^2+(r-a)^2=2r^2-2ar\\&=2r^2\left(1-\frac ar\right)=2r^2\frac h{h+r}\end{aligned}$

제시문의 내용에 의하면, 구하는 영역의 넓이 $\displaystyle S$는 반지름 $\displaystyle t$인 원의 넓이와 일치하므로$\displaystyle S=\pi t^2=\frac{2\pi r^2h}{h+r}$을 얻는다.