자연계열 1번

제시문 1-1

고대 그리스 최대의 수학자이며, 물리학자였던 아르키메데스는 고대 그리스의 식민지 시칠리아의 시라쿠사에서 천문학자인 피디아스의 아들로 태어났다. 당시 학문의 중심지였던 이집트의 알렉산드리아에 있는 왕립학교에서 공부한 그는 특히 이론과 실험 모두에 능했다고 한다.

지중해의 패권을 둘러싼 3차에 걸친 로마와 카르타고의 전쟁 중 제2차 포에니 전쟁 때 시라쿠사는 카르타고의 편을 들어 로마 군의 공격을 정면으로 받게 되었다. 이 때, 아르키메데스는 이미 70세를 넘은 고령이었지만, 투석기와 기중기 등 지렛대를 응용한 신형무기를 고안하여 로마의 대군을 크게 괴롭혔다. 시라쿠사가 함락되던 날, 그는 죽는 순간까지도 단순한 기술자가 아닌 기하학자로서의 면모를 보여 주었다. 그날 아르키메데스는 뜰의 모래 위에 도형을 그리며 기하학의 연구에 몰두하고 있던 중, 다가오는 사람 그림자가 로마 병사인 줄도 모르고 “물러서거라, 내 도형이 망가진다”고 외쳤다. 그러나 로마병사는 그를 몰라보고 그의 목을 내리침으로써 그는 생을 마감하게 된다. 생전 아르키메데스는 기하학의 증명, 특히 원과 구에 대한 문제를 좋아했다고 하며, 그의 비석에는 구와 원기둥 모양이 새겨져 있다. 아르키메데스는 구와 원기둥의 부피와 넓이에 관한 발견을 가장 중요하고 아름다운 업적으로 여겼다고 한다. 아르키메데스가 구와 원기둥을 좋아한 이유는 무엇일까?

제시문 1-2

잘 알려진 바와 같이 수 $\displaystyle \pi$는 “원의 둘레/지름”으로 정의된다. 따라서 반지름 $\displaystyle r$인 원의 둘레 $\displaystyle C$에 대한 공식 $\displaystyle C=2\pi r$이 성립한다. 원의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까? 원의 넓이를 표현하기 위하여 새로운 수를 정의할 필요는 있을까? 아르키메데스는 이 질문에 능숙하게 접근하였다. 원주와 반지름을 이용하여 원의 넓이에 대한 적당한 부등식을 얻고 이를 통하여 원의 넓이를 구한 것이다.

반지름 $\displaystyle r$인 원의 넓이에 대한 한 부등식은 원에 내접하는 정 $\displaystyle n$-각형으로부터 얻어진다. 이 다각형은 원의 중심에서 만나는 $\displaystyle n$개의 합동인 삼각형들로 분해할 수 있다. 아래 그림은 $\displaystyle n=6$인 경우를 보여주고 있다.

이 삼각형들의 바깥쪽 선분들은 원의 둘레를 근사하게 된다. 선분은 주어진 두 점을 잇는 가장 짧은 곡선이므로 이 바깥쪽 선분들의 합은 원의 둘레보다 작다. 바깥쪽 선분을 밑변으로 한 삼각형들의 높이는 원의 반지름보다 짧다. $\displaystyle n$이 점점 커짐에 따라 바깥쪽 선분들의 길이의 합은 원의 둘레에 한없이 가까워지며 높이는 반지름에 한없이 가까워진다. 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot$(밑변)$\displaystyle \cdot$(높이)이므로 다각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\cdot$(밑변의 길이의 합)$\displaystyle \cdot$(높이)이다. 넓이가 $\displaystyle \frac12rC$에 한없이 가까운 원에 내접하는 정 $\displaystyle n$각형을 고려하면 원의 넓이가 $\displaystyle \frac12rC$보다 작을 수 없음을 알 수 있다.

내접하는 정 $\displaystyle n$각형 대신 외접하는 정 $\displaystyle n$각형을 고려하면 비슷한 방법으로 원의 넓이가 $\displaystyle \frac12rC$보다 클 수 없음을 알 수 있다.

이로부터 원의 넓이는 $\displaystyle \frac12rC$가 됨을 알 수 있다. 원주의 길이에 대한 공식 $\displaystyle C=2\pi r$로부터 원의 넓이에 대한 공식 $\displaystyle A=\pi r^2$을 얻는다.

제시문 1-3

이제 구에 대한 문제로 넘어가자. 구면의 넓이는 어떻게 주어지는가? 아르키메데스는 보다 일반적인 질문에 대한 답을 제시하였다. 이는 구면을 평면으로 잘라서 얻어진 부분의 넓이를 일반적으로 기술하는 것이다. 구체적으로, 평면에 의하여 잘린 구면 부분의 넓이는 영역의 중심으로부터 잘려서 생긴 원의 둘레에 이르는 거리를 반지름으로 갖는 원의 넓이와 같다는 것이다.

이를 증명하기 위하여 구면을 수평의 평면으로 자른 측면도를 살펴 보자. 아르키메데스의 결과는 평면 $\displaystyle H$ 아래쪽의 넓이가 반지름 $\displaystyle t$인 원의 넓이와 같다는 것이다. 이 사실은 $\displaystyle H$가 구면의 아래쪽에서 접한다면 당연히 성립한다. 우리는 $\displaystyle H$의 높이 (또는 각 $\displaystyle q$)에 대한 넓이의 변화율을 이용하여 아르키메데스의 결과를 보이려고 한다. 원의 넓이를 이용하여 계산한 넓이의 공식을 $\displaystyle A(q)$, 구면의 넓이를 $\displaystyle S(q)$라고 하자.

㉠ 우선 $\displaystyle t=2r\sin q$이다. 미분 공식을 적용하여 $\displaystyle \frac{dt}{dq}=2r\cos q$를 얻고 이로부터, 다음 식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \frac{dA}{dq}=4\pi rt\cos q$

평면에 의하여 잘려진 구면의 넓이가 각의 변화 $\displaystyle \Delta q$에 따라 어떻게 변화하는지를 살펴보자. ㉡ 각이 $\displaystyle \Delta q$ 만큼 변화하면 구의 중심으로부터 각의 변화는 $\displaystyle 2\Delta q$가 된다. 각 $\displaystyle 2\Delta q$에 대응하는 호의 길이는 $\displaystyle 2r\Delta q$이 되고 이는 각의 변화에 대응하는 잘려진 띠 모양의 구면 영역의 너비에 해당한다. 띠 모양의 둘레는 $\displaystyle 2\pi t\cos q$로 근사되므로 넓이의 변화량에 대한 다음 근사식을 얻고$\displaystyle \Delta S\approx4\pi rt\cos q\;\Delta q$

이로부터 다음 결론을 얻는다.$\displaystyle \frac{dS}{dq}=4\pi rt\cos q$

한편, 평면이 구면의 아래에 접하는 경우는 당연히 $\displaystyle A=S=0$이므로 $\displaystyle A(q)=S(q)$임을 알 수 있다. 특별히 평면 $\displaystyle H$를 구면의 위쪽 끝점과 접하도록 잡으면 구면의 넓이 $\displaystyle 4\pi r^2$을 얻게 된다. 이는 아르키메데스가 가장 중요하게 생각한 결과 중 하나인데, 구면의 넓이가 동일한 반지름을 가진 원의 넓이의 4배가 되기 때문이다. 물론, 오늘날에는 초등학생들도 이 결과를 알고 있지만 이 사실이 알려 지지 않은 시대의 이 발견은 아름답다고 할 수 밖에 없다.

원기둥은 어디에 등장하는가? 밑면의 반지름이 $\displaystyle r$이고 높이가 $\displaystyle 2r$인 원기둥의 옆 넓이는 $\displaystyle (2\pi r)(2r)=4\pi r^2$이므로 이는 내접하는 구면의 넓이와 같다. 아르키메데스는 넓이가 일치할 뿐 아니라 원기둥에 수직인 평면으로 잘린 넓이들이 같음을 보인 것이다.