아주대 2009학년도 모의 자연계열 2번 해설

[문제 2](50점) 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

태양 둘레를 돌고 있는 행성들의 공전궤도는 모두 타원이다. 공전 궤도가 타원인 것은 인공위성과 국제우주정거장(ISS)을 포함한 모든 위성들의 경우도 마찬가지다. 행성의 공전 궤도가 태양을 한 초점으로 하는 타원인 것을 처음으로 밝힌 사람은 독일의 천문학자 케플러(Johannes Kepler, 1571-1630)이다. 그는 처음에 행성의 공전궤도가 원일 것으로 생각했으나 스승 티코 브라헤의 관찰 자료를 연구하여 화성의 공전궤도가 타원임을 밝혔다. 우리는 흔히 찌그러진 원을 모두 타원이라고 부르지만, 한 방향으로는 일정비율로 늘어나면서 동시에 그와 수직인 방향으로는 일정비율로 줄어들게 찌그러질 때에만 정확하게 타원이 된다. 타원은 원기둥이나 원뿔을 비스듬히 자른 단면에서도 나타난다.

기하학적으로는 두 정점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들로 이루어진 평면 위의 곡선을 타원이라 한다. 이 때 두 정점을 타원의 초점이라 하고, 두 초점을 지나는 직선이 타원에 의해 잘려진 선분을 장축, 장축의 수직이등분선이 타원에 의해 잘려진 선분을 단축이라 하며, 장축과 단축의 교점을 타원의 중심이라 한다. 그리고 장축과 단축의 끝점을 타원의 꼭지점이라 한다.

초점이 각각 $\displaystyle F(c,0)$ , $\displaystyle F^{\prime}(-c,0)$ 이고 두 초점으로부터의 거리의 합이 $\displaystyle 2a$ 인 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 이 된다 (단, $\displaystyle b^2=a^2-c^2$ ). 그리고, 이 타원 위의 한 점 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 에서 그은 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이 된다.

타원은 중요한 광학적인 특성을 가지고 있다. 타원의 한 초점에서 퍼져나간 빛이 타원에서 반사되면 다른 초점에 모이게 된다. 이와 같은 성질은 타원 위의 임의의 점에서 그은 접선에 대해 접점과 각 초점을 연결하는 직선이 이루는 각이 같기 때문이다.

위 그림에서 $\displaystyle F$ , $\displaystyle F^{\prime}$ 은 타원의 두 초점이고, $\displaystyle t$ 는 타원 위의 임의의 한 점 $\displaystyle P$ 에서 그은 접선이고, $\displaystyle F^{\prime\prime}$ 은 접선 $\displaystyle t$ 에 대한 초점 $\displaystyle F$ 의 대칭점이며, $\displaystyle S$ 와 $\displaystyle T$ 는 접선 $\displaystyle t$ 위에 $\displaystyle P$ 의 양쪽으로 하나씩 잡은 점이다. 그리고, $\displaystyle Q$ 는 접선 $\displaystyle t$ 위에서 $\displaystyle P$ 와 다르게 임의로 잡은 점이며, $\displaystyle R$ 은 선분 $\displaystyle QF$ 가 타원과 만나는 점이다. 그러면, $\displaystyle (1)\qquad F^{\prime}Q+QF=F^{\prime}Q+QR+RF$ 인데, $\displaystyle \triangle F^{\prime}QR$ 에서 $\displaystyle F^{\prime}Q+QR>F^{\prime}R$ 이므로 $\displaystyle (2)\qquad F^{\prime}Q+QR+RF>F^{\prime}R+RF$ 이다. $\displaystyle R$ 과 $\displaystyle P$ 는 타원 위의 점이므로 타원의 정의에 의해 $\displaystyle (3)\qquad F^{\prime}R+RF=F^{\prime}P+PF$ 이다. 그러므로 (1), (2), (3)에 의해 $\displaystyle F^{\prime}Q+QF>F^{\prime}P+PF$ 를 얻게 되는데, 이로부터 두 초점으로부터 접선 $\displaystyle t$ 위의 한 점에 이르는 거리의 합은 접점 $\displaystyle P$ 에서 최소가 됨을 알 수 있다. 한편, $\displaystyle F^{\prime}Q+QF=F^{\prime}Q+QF^{\prime\prime}$ 이고 $\displaystyle F^{\prime}Q+QF^{\prime\prime}$ 이 최소일 때는 세 점 $\displaystyle F^{\prime},Q,F^{\prime\prime}$ 이 한 직선 위에 있을 때이기 때문에, $\displaystyle F^{\prime},P,F^{\prime\prime}$ 은 한 직선 위에 있게 된다. 따라서, $\displaystyle \angle F^{\prime}PS=\angle F^{\prime\prime}PT=\angle FPT$ 가 된다. 즉, 타원 위의 임의의 점에서 그은 접선에 대해 접점과 각 초점을 연결하는 직선이 이루는 각은 같게 된다.

런던의 성 바오로 대성당은 ‘속삭이는 회랑(whispering gallery)’이라는 신비한 장소로 유명하다. 돔 아래의 회랑(원형 모양의 복도) 한 쪽에서 속삭인 소리는 회랑의 건너편 쪽에서 더 잘 들린다. 성 바오로 대성당의 돔을 이루는 타원형 천정이 신비한 현상의 원인이다. 타원의 초점에 해당하는 곳에서 소리를 내면 이 소리는 사방으로 퍼져가지만 타원형 천정에 도달하여 반사된 소리는 모두 건너편 초점에 해당하는 위치에 다시 모이게 된다. 그래서 타원의 한 초점에서 낸 소리는 다른 초점에서 아주 또렷이 들리게 되는 것이다.

[문제 2-1](10점) 원을 한쪽 방향으로 일정비율로 축소하면 타원이 된다는 것을 다음과 같이 보여라. 원 $\displaystyle x^2+y^2=a^2$ 과 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (단, $\displaystyle a>b>0$ )에 대해 $\displaystyle x$ 축 위의 점 $\displaystyle A(x_0,0)$ (단, $\displaystyle -a<x_0<a$ )를 지나는 수직선이 그림과 같이 원과 만나는 점을 $\displaystyle P$ , 타원과 만나는 점을 $\displaystyle Q$ 라고 할 때, 두 선분 $\displaystyle AQ$ 와 $\displaystyle AP$ 의 길이의 비 $\displaystyle \frac{AQ}{AP}$ 를 구하고 이 비가 일정함을 보여라.

[문제 2-2](10점) 아래 그림과 같이 타원 $\displaystyle E$ 위의 서로 다른 두 점 $\displaystyle M$ 과 $\displaystyle N$ 에서 타원 $\displaystyle E$ 에 접하는 원 $\displaystyle C$ 가 있다. 이 때 원 $\displaystyle C$ 의 중심 $\displaystyle O$ 는 타원 $\displaystyle E$ 의 초점이 될 수 없음을 타원의 정의를 이용하여 설명하라.

[문제 2-3](15점) 위 문제에서처럼 원 $\displaystyle C$ 를 타원 $\displaystyle E$ 위의 서로 다른 두 점 $\displaystyle M$ 과 $\displaystyle N$ 에서 접하게 하면서 반지름을 줄여가면 두 접점 $\displaystyle M,N$ 은 타원의 한 꼭지점에 접근한다. 이 때 원 $\displaystyle C$ 의 중심 $\displaystyle O$ 는 타원의 한 초점에 접근하는지를 다음과 같은 과정으로 판단해 보라.

(1) 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , 초점좌표는 $\displaystyle (c,0)$ 과 $\displaystyle (-c,0)$ (단, $\displaystyle b^2=a^2-c^2$ ), 점 $\displaystyle M$ 의 좌표는 $\displaystyle (x_1,y_1)$ 이라 할 때, 직선 $\displaystyle MO$ 의 방정식을 구하고, 이것에 의해 원의 중심 $\displaystyle O$ 의 $\displaystyle x$ -좌표를 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle c$ 와 $\displaystyle x_1$ 에 관한 식으로 나타내어라.

(2) $\displaystyle x_1$ 이 $\displaystyle -a$ 에 접근할 때, 원의 중심 $\displaystyle O$ 의 $\displaystyle x$ -좌표의 극한값을 구하라.

(3) (2)의 결과를 이용하여, $\displaystyle M$ 이 꼭지점에 접근할 때 중심 $\displaystyle O$ 가 타원의 초점에 접근하는지를 판단하라.

[문제 2-4](15점) 초점이 $\displaystyle F(3,0)$ 과 $\displaystyle F^{\prime}(-3,0)$ 인 타원 $\displaystyle E:\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 과 직선 $\displaystyle l:x=7$ 이 있다. 직선 $\displaystyle l$ 위에서 점 $\displaystyle P(7,p)$ 가 $\displaystyle -\frac{24}7\le p\le\frac{24}7$ 인 범위에서 움직이면서 초점 $\displaystyle F^{\prime}$ 을 향해 빛을 비추고 있다. 이 빛이 타원에서 반사되어 직선 $\displaystyle l$ 위의 점 $\displaystyle Q(7,q)$ 를 지난다고 할 때, $\displaystyle q$ 의 범위를 구하라.

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[문제 2-1 풀이] $\displaystyle x=x_0$ 를 원의 방정식에 대입하여 풀면 $\displaystyle y=\pm\sqrt{a^2-x_0^2}$ 이므로 점 $\displaystyle P$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(x_0,\sqrt{a^2-x_0^2}\right)$ 이고, $\displaystyle AP=\sqrt{a^2-x_0^2}$ 이다. $\displaystyle x=x_0$ 를 타원의 방정식에 대입하여 풀면 $\displaystyle y=\pm\frac ba\sqrt{a^2-x_0^2}$ 이므로 점 $\displaystyle Q$ 의 좌표는 $\displaystyle \left(x_0,\frac ba\sqrt{a^2-x_0^2}\right)$ 이고, $\displaystyle AQ=\frac ba\sqrt{a^2-x_0^2}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \frac{AQ}{AP}=\frac ba\sqrt{a^2-x_0^2}\div\sqrt{a^2-x_0^2}=\frac ba$ 이고 이것은 $\displaystyle x_0$ 에 관계없이 일정하다.

[문제 2-2 풀이] 원의 중심 $\displaystyle O$ 가 타원의 초점이라 가정하자. 그림과 같이 타원의 다른 초점을 $\displaystyle F$ 라 하고, 원에 대해 $\displaystyle F$ 와 반대쪽으로 타원 위에 한 점 $\displaystyle P$ 를 잡는다. 선분 $\displaystyle PO$ 와 원이 만나는 점을 $\displaystyle Q$ 라 하고, 선분 $\displaystyle PF$ 가 원과 만나는 점 중에서 점 $\displaystyle P$ 에 가까운 점을 $\displaystyle R$ 이라 하자. 그러면, $\displaystyle PO>QO=MO$ 이고, $\displaystyle PF>RF>MF$ 이므로 $\displaystyle PO+PF>MO+MF$ 이다. 그런데 $\displaystyle P$ 와 $\displaystyle M$ 은 둘 다 타원 위에 있는 점이기 때문에 이것은 $\displaystyle O$ 가 초점이라는 데에 모순이다. 따라서 원의 중심 $\displaystyle O$ 는 타원의 초점이 될 수 없다.

[문제 2-3 풀이] (1) 타원 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $\displaystyle M(x_1,y_1)$ 에서 그은 접선의 방정식이 $\displaystyle \frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1$ 이므로 접선의 기울기는 $\displaystyle -\frac{b^2x_1}{a^2y_1}$ 이다. $\displaystyle M$ 에서 그은 타원의 접선은 원에도 접하기 때문에 반지름 $\displaystyle MO$ 는 이 접선에 수직이다. 따라서, 직선 $\displaystyle MO$ 의 기울기는 $\displaystyle \frac{a^2y_1}{b^2x_1}$ 이고, 이 직선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{a^2y_1}{b^2x_1}(x-x_1)+y_1$ 이다. 원의 중심 $\displaystyle O$ 는 $\displaystyle x$ -축 위에 있기 때문에 $\displaystyle y$ -좌표는 0이다. $\displaystyle y=0$ 을 직선 $\displaystyle MO$ 의 방정식에 대입하여 $\displaystyle x$ 에 대해 풀면 $\displaystyle x=\frac{c^2}{a^2}x_1$ 이다. 따라서 원의 중심 $\displaystyle O$ 의 $\displaystyle x$ -좌표는 $\displaystyle \frac{c^2}{a^2}x_1$ 이다.

(2) $\displaystyle \lim_{x_1\to-a}\frac{c^2}{a^2}x_1=-\frac{c^2}a$

(3) $\displaystyle M$ 이 꼭지점에 접근하면 $\displaystyle x_1$ 은 $\displaystyle -a$ 에 접근하므로, (2)의 결과에 의해 원의 중심 $\displaystyle O$ 는 점 $\displaystyle \left(-\frac{c^2}a,0\right)$ 에 접근한다. $\displaystyle -\frac{c^2}a\ne\pm c$ 이므로 원의 중심 $\displaystyle O$ 는 타원의 초점과는 다른 점에 접근한다.

[문제 2-4 풀이]

그림에서처럼, 타원의 광학적 성질에 의해 초점 $\displaystyle F^{\prime}$ 을 향해 진행한 빛은 타원에서 반사되면 초점 $\displaystyle F$ 에서 나온 빛처럼 진행한다. 따라서 $\displaystyle Q$ 가 직선 $\displaystyle l$ 위에서 가장 위쪽에 위치하게 되는 경우는 $\displaystyle P$ 가 $\displaystyle l$ 위에서 가장 위쪽에 위치하게 되는 점 $\displaystyle \left(7,\frac{24}7\right)$ 에 있을 때이다. 이때 직선 $\displaystyle PF^{\prime}$ 의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{12}{35}(x-7)+\frac{24}7$

이므로 타원의 방정식과 연립하여 풀어서 교점 $\displaystyle A$ 의 좌표를 구하면 $\displaystyle \left(4,\frac{12}5\right)$ 이다. 그러므로 직선 $\displaystyle FA$ 의 방정식을 구하면 $\displaystyle y=\frac{12}5(x-4)+\frac{12}5$

이고, 이것을 직선 $\displaystyle l$ 의 방정식과 연립하여 풀면 $\displaystyle y=\frac{48}5$ 이다. 따라서 $\displaystyle q$ 의 최대값은 $\displaystyle \frac{48}5$ 이고 대칭성에 의해 $\displaystyle q$ 의 최소값은 $\displaystyle -\frac{48}5$ 이다. 즉, $\displaystyle -\frac{48}5\le q\le\frac{48}5$ 이다.

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