자연계열 1번

제시문 가.

삼차원공간에 있는 형태를 이차원평면에 나타내는 한 가지 방법으로 투시도가 있다. 투시도는 시점 $\displaystyle V$와 투시도면 $\displaystyle \Pi$가 정해지면 [그림 1]과 같이 공간의 점 $\displaystyle P$를 이 점과 시점을 지나는 직선이 투시도면과 만나는 점 $\displaystyle P^{\prime}$에 대응시키는 방식으로 그려진다.

좌표계를 도입하면 이 대응관계를 좌표들 사이의 관계식으로 나타낼 수 있다. 투시도법에서는 투시도면이 $\displaystyle xy$-평면이 되고, 관찰 대상은 $\displaystyle z$-좌표가 양인 쪽에, 그리고 시점은 $\displaystyle z$-좌표가 음인 쪽에 놓이게 되는 좌표계를 보통 사용한다. 이렇게 설정되는 좌표계는 일반적인 공간 좌표계와는 $\displaystyle z$-축의 방향이 반대로 되어 있다.

시점이 $\displaystyle V(0,0,-c)$일 때 (단, $\displaystyle c>0$) 관찰 대상인 공간의 점 $\displaystyle P(x,y,z)$와 투시도면의 대응되는 점 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime},0)$ 사이의 관계를 다음 [그림 2]를 통해 알아 보자.

왼쪽 그림은 $\displaystyle y$-축의 양의 방향에서 내려다 본 그림이다. 이 그림에서 $\displaystyle VO=c$, $\displaystyle VM=z+c$, $\displaystyle OP^{\prime}=x^{\prime}$, $\displaystyle MP=x$이고 삼각형 $\displaystyle VOP^{\prime}$과 삼각형 $\displaystyle VMP$가 닮은꼴이므로 $\displaystyle x^{\prime}:x=c:z+c$이다. 이로부터$\displaystyle (1)\qquad x^{\prime}=\frac{cx}{z+c}$

를 얻을 수 있다. 같은 식으로 $\displaystyle x$-축의 양의 방향에서 바라본 오른쪽 그림에서 $\displaystyle VO=c$, $\displaystyle VN=z+c$, $\displaystyle OP^{\prime}=y^{\prime}$, $\displaystyle NP=y$이고 삼각형 $\displaystyle VOP^{\prime}$과 삼각형 $\displaystyle VNP$가 닮은꼴이므로 $\displaystyle y^{\prime}:y=c:z+c$이고, 이로부터$\displaystyle (2)\qquad y^{\prime}=\frac{cy}{z+c}$를 얻을 수 있다.

투시도가 가진 두드러진 특징은, 공간에 있는 평행인 두 직선이 투시도면에 평행이 아니면 이 두 직선에 대응되는 투시도면 위의 이미지는 소실점이라고 불리는 한 점에서 만나는 두 반직선이 된다는 것이다. 이를 설명하기 위해서는 공간의 직선을 방정식으로 나타내는 방법에 대한 설명이 필요하다.

평면의 직선은 이 직선 위의 임의의 점의 좌표가 $\displaystyle (x,y)$일 때 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$에 관한 일차방정식으로 나타낼 수 있다. 그러나 공간의 직선은 이 직선 위의 임의의 점의 좌표가 $\displaystyle (x,y,z)$일 때 $\displaystyle x,y,z$ 사이의 일차방정식 하나로 나타낼 수 없다. 그래서 공간의 직선은 보통 일차연립방정식이나 매개변수방정식으로 나타낸다.

공간에 직선 $\displaystyle \ell$이 있고, 이 직선이 서로 다른 두 점 $\displaystyle A(x_0,y_0,z_0)$와 $\displaystyle B(x_1,y_1,z_1)$을 지난다고 하자. 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 임의의 점을 $\displaystyle P(x,y,z)$라고 하면 다음과 같은 비례식이 성립한다.$\displaystyle (3)\qquad x_1-x_0:y_1-y_0:z_1-z_0=x-x_0:y-y_0:z-z_0$

즉,$\displaystyle \frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}$Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: 서로 다른 두 점을 지난다는 사실만으로 좌표차 $\displaystyle x_1-x_0$, $\displaystyle y_1-y_0$, $\displaystyle z_1-z_0$가 모두 $\displaystyle 0$이 아니라고 할 수는 없다. 이 가운데 $\displaystyle 0$인 값이 있으면 해당 성분의 분수는 정의되지 않는다. 좌표차가 $\displaystyle 0$인 성분은 그 좌표가 일정함을 따로 쓰거나, 이어서 제시한 매개변수방정식을 사용하면 된다. 이후 매개변수방정식을 이용한 풀이의 결론에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

가 성립한다. 이제 이 공통 값을 변수 $\displaystyle t$라 두고 $\displaystyle x_1-x_0$, $\displaystyle y_1-y_0$, $\displaystyle z_1-z_0$를 간단히 하여 $\displaystyle p,q,r$로 두면 직선 $\displaystyle \ell$은$\displaystyle (4)\qquad\begin{cases}x=x_0+pt\\y=y_0+qt\\z=z_0+rt\end{cases}$

로 나타낼 수 있다. 상수 $\displaystyle p,q,r$은 이 직선의 방향을 나타내기 때문에 방향비라 하고, 변수 $\displaystyle t$는 매개변수라 하며, (4)를 직선 $\displaystyle \ell$의 매개변수방정식이라 한다. 예를 들면, 공간 내의 두 점 $\displaystyle (1,2,-1)$과 $\displaystyle (2,-1,3)$을 지나는 직선은 방향비가 $\displaystyle 1,-3,4$이므로 매개변수방정식은$\displaystyle \begin{cases}x=1+t\\y=2-3t\\z=-1+4t\end{cases}$이다.

공간 내의 평행인 직선들은 방향비가 같은 매개변수방정식으로 나타낼 수 있다. 소실점에 대해 설명하기 위해 투시도면에 평행하지 않은 공간 내의 한 직선 $\displaystyle \ell$ 위의 임의의 점을 $\displaystyle P(x,y,z)$라 하고 이 직선의 매개변수방정식이 위의 식 (4)로 주어졌다고 하자. 이 경우 $\displaystyle r\ne0$이고, 필요하면 방향비의 부호를 전체적으로 바꾸어서 $\displaystyle r>0$이 되게 할 수 있다. 점 $\displaystyle P$의 투시도면 위의 대응점을 $\displaystyle P^{\prime}(x^{\prime},y^{\prime},0)$이라 하고 시점이 $\displaystyle V(0,0,-c)$라 하면, (1)과 (2)에 의해$\displaystyle \begin{cases}x^{\prime}=\frac{c(x_0+pt)}{(z_0+rt)+c}=\frac{cx_0+cpt}{c+z_0+rt}\\y^{\prime}=\frac{c(y_0+qt)}{(z_0+rt)+c}=\frac{cy_0+cqt}{c+z_0+rt}\end{cases}$

이다. 그러므로 $\displaystyle t\to\infty$일 때, 즉 시점에서 멀어질 때, 점 $\displaystyle P^{\prime}$은 투시도면 위의 점 $\displaystyle Q\left(\frac{cp}r,\frac{cq}r,0\right)$에 접근한다. 그런데, 이 점 $\displaystyle Q$의 좌표는 직선 $\displaystyle \ell$의 방향비와 시점의 좌표에 의해 결정되므로 $\displaystyle \ell$과 평행인 직선들은 투시도면에서 이 점 $\displaystyle Q$를 향해 뻗어 있다. 즉, 직선 $\displaystyle \ell$에 대응되는 투시도면 위의 이미지 $\displaystyle \ell^{\prime}$의 소실점 $\displaystyle Q$에서 모두 만난다. 한편, $\displaystyle \ell^{\prime}$의 소실점은 시점을 지나고 직선 $\displaystyle \ell$에 평행인 직선이 투시도면과 만나는 점인 것을 확인할 수 있다.