자연계열 1번

1-1.

풀이. <그림 1>에서 삼각형 $\displaystyle VHP$와 삼각형 $\displaystyle VKP^{\prime}$이 닮은꼴이므로 $\displaystyle VH:VK=PH:P^{\prime}K$이다. 이로부터 좌표 사이에 관계식 $\displaystyle z+c:c=y-b:y^{\prime}-b$가 성립한다. 이것을 풀면 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{c(y-b)}{z+c}+b$이다.

<그림 2>에서 삼각형 $\displaystyle VMP$와 삼각형 $\displaystyle VNP^{\prime}$이 닮은꼴이므로 $\displaystyle VM:VN=PM:P^{\prime}N$이다. 이로부터 좌표 사이에 관계식 $\displaystyle z+c:c=x-a:x^{\prime}-a$가 성립한다. 이것을 풀면 $\displaystyle x^{\prime}=\frac{c(x-a)}{z+c}+a$이다.

1-2.

풀이. $\displaystyle V$의 좌표를 $\displaystyle (a,b,-c)$라 두면, $\displaystyle A$와 $\displaystyle A^{\prime}$으로부터 $\displaystyle \begin{cases}\frac92=\frac{c(7-a)}{3+c}+a\\-2=\frac{c(1-b)}{3+c}+b\end{cases}$ 그리고 $\displaystyle B$와 $\displaystyle B^{\prime}$으로부터 $\displaystyle \begin{cases}\frac{26}7=\frac{c(6-a)}{4+c}+a\\-2=\frac{c(2-b)}{4+c}+b\end{cases}$를 얻을 수 있다. 이를 정리하면 $\displaystyle \begin{cases}6a+5c=27\\b+c=-2\\7a+4c=26\end{cases}$이 된다. 이 연립방정식을 풀면 $\displaystyle a=2,b=-5,c=3$이다. 따라서 시점 $\displaystyle V$의 좌표는 $\displaystyle (2,-5,-3)$이다.

1-3.

풀이. 직선 $\displaystyle \ell$의 방향비가 $\displaystyle 2,-3,1$이므로 시점 $\displaystyle V$를 지나고 직선 $\displaystyle \ell$에 평행인 직선의 매개변수방정식은 $\displaystyle \begin{cases}x=1+2t\\y=2-3t\\z=-3+t\end{cases}$이다. 이 직선이 투시도면과 만나는 점이 $\displaystyle \ell^{\prime}$의 소실점이므로 $\displaystyle z=-3+t=0$으로부터 $\displaystyle t=3$을 얻고, 이를 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$에 대입하여 $\displaystyle x=7,y=-7$을 얻는다. 따라서 구하는 소실점의 좌표는 $\displaystyle (7,-7,0)$이다.

1-4. ①

풀이. 직선 $\displaystyle AB$와 직선 $\displaystyle CD$가 평행이므로 직선 $\displaystyle A^{\prime}B^{\prime}$과 직선 $\displaystyle C^{\prime}D^{\prime}$의 소실점은 같다. 따라서 직선 $\displaystyle A^{\prime}B^{\prime}$과 직선 $\displaystyle C^{\prime}D^{\prime}$의 교점이 구하는 소실점이다. 투시도면 위에서 직선 $\displaystyle A^{\prime}B^{\prime}$의 방정식은 $\displaystyle y=2x+3$이고, 직선 $\displaystyle C^{\prime}D^{\prime}$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac13x+\frac43$이다. 이 두 방정식을 연립하여 풀면 $\displaystyle x=-1,y=1$이다. 따라서 소실점 $\displaystyle S$의 좌표는 $\displaystyle (-1,1,0)$이다.

②

풀이. 직선 $\displaystyle VS$는 직선 $\displaystyle AB$에 평행이고, 직선 $\displaystyle VT$는 직선 $\displaystyle AC$에 평행이므로 직선 $\displaystyle VS$와 직선 $\displaystyle VT$는 $\displaystyle xz$-평면에 평행이다. 그러므로 직선 $\displaystyle ST$도 $\displaystyle xz$-평면에 평행이어서 투시도면 위에서 직선 $\displaystyle ST$는 $\displaystyle x$-축에 평행이고, 방정식은$\displaystyle y=1$이다. 이 방정식과 직선 $\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}$의 방정식$\displaystyle y=\frac17x+\frac{13}7$을 연립하여 풀면 $\displaystyle x=-6,y=1$이다. 따라서 소실점 $\displaystyle T$의 좌표는$\displaystyle (-6,1,0)$이다.

③

풀이. $\displaystyle V$의 좌표를 $\displaystyle (a,b,-c)$라 두자. 직선 $\displaystyle VS$는 직선 $\displaystyle AB$에 평행이므로 직선 $\displaystyle VS$는 투시도면에 수직이다. 따라서 두 점 $\displaystyle V$와 $\displaystyle S$의 $\displaystyle x$-좌표와 $\displaystyle y$-좌표는 각각 같다. 즉,$\displaystyle a=-1,\qquad b=1$즉, 직선 $\displaystyle VT$는 직선 $\displaystyle AC$와 평행이고, 직선 $\displaystyle AC$가 직선 $\displaystyle AB$와 이루는 각이 $\displaystyle 45^\circ$이므로 각 $\displaystyle SVT$는 $\displaystyle 45^\circ$이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle SVT$는 직각이등변 삼각형이므로 선분 $\displaystyle VS$의 길이와 선분 $\displaystyle ST$의 길이는 같다. 즉,$\displaystyle c=\text{선분 }ST\text{의 길이}=5$이다. 따라서 $\displaystyle V$의 좌표는$\displaystyle (-1,1,-5)$이다.