자연계열 2번

2-1.

풀이. 임의의 $\displaystyle x\ge0$에 대하여 $\displaystyle x+1\le C(x^2+1)$이 성립하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle x\ge0$에서의 이차 함수 $\displaystyle F(x)=Cx^2-x+C-1$의 최소값 $\displaystyle F\left(\frac1{2C}\right)=-\frac1{4C}+C-1$이 0 이상인 것이다. 즉, $\displaystyle -\frac1{4C}+C-1\ge0$. 이 부등식을 풀면 $\displaystyle C\ge\frac{2+2\sqrt2}4$. 따라서, 주어진 부등식을 만족하는 가장 작은 양의 실수 $\displaystyle C$는 $\displaystyle \frac{2+2\sqrt2}4$이다.

2-2.

풀이. 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 부등식 $\displaystyle n\le n+1\le2n$이 성립하므로, $\displaystyle \frac n2\le f_1(n)\le n$이 성립한다. 따라서 자연수 $\displaystyle n$에 대한 다음 두 부등식을 얻는다:$\displaystyle f_2(n)=\sum_{k=1}^n\left(f_1(k+1)+f_1(k^2)\right)\le\sum_{k=1}^n(k+1+k^2)\le\sum_{k=1}^n3k^2=3\frac{n(n+1)(2n+1)}6\le3n^3$$\displaystyle f_2(n)=\sum_{k=1}^n\left(f_1(k+1)+f_1(k^2)\right)\ge\sum_{k=1}^n\left(\frac{k+1}2+\frac{k^2}2\right)\ge\sum_{k=1}^n\frac{k^2}2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{2\cdot6}\ge\frac{n^3}6$

일반적으로 $\displaystyle \alpha\ge3$인 경우 $\displaystyle n^3=O(n^\alpha)$이 성립하므로, $\displaystyle f_2(n)=O(n^\alpha)$임을 알 수 있다. 한편, $\displaystyle \alpha<3$인 경우, $\displaystyle n^{3-\alpha}$는 한없이 커지므로 $\displaystyle f_2(n)=O(n^\alpha)$가 성립할 수 없다.

따라서, $\displaystyle f_2(n)=O(n^\alpha)$를 만족하는 가장 작은 실수 $\displaystyle \alpha$는 3이다.

2-3.

풀이. $\displaystyle N_D(6.5)$를 구하기 위해서는 주어진 정수 $\displaystyle -6\le x\le6$을 만족하는 각각의 정수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x^2+y^2\le6.5^2$을 만족하는 정수 $\displaystyle y$의 개수를 구하여 모두 더하면 된다. 대칭성을 이용하여 이 값을 구하면$\displaystyle \begin{aligned}N_D(6.5)&=6\cdot2+1+2((6\cdot2+1)+(6\cdot2+1)+(5\cdot2+1)+(5\cdot2+1)+(4\cdot2+1)+(2\cdot2+1))\\&=137\end{aligned}$

비슷한 방법으로 $\displaystyle N_S(6.5)$를 구하면$\displaystyle N_S(6.5)=13+12+4(11+9+7+5+3+1)=85.$Correction. 대학 답안의 $\displaystyle 13+12+4(11+9+7+5+3+1)$은 계산하면 169이다. 대칭성을 이용한 올바른 식은 $\displaystyle 13+2(11+9+7+5+3+1)=85$이며, 원문에 적힌 최종 답 85는 맞다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

2-4.

풀이. 제시문 다에 의하면 아래 부등식이 성립한다.$\displaystyle |E_D(r)|\le N_2(r)+N_3(r).$

한편, $\displaystyle N_2(r)+N_3(r)$는 반지름이 $\displaystyle r+\sqrt2$인 원과 반지름이 $\displaystyle r-\sqrt2$인 원으로 둘러 싸인 영역의 넓이를 넘지 않으므로$\displaystyle |E_D(r)|\le\pi(r+\sqrt2)^2-\pi(r-\sqrt2)^2=2\sqrt2\pi r$Correction. 두 원의 넓이 차는 $\displaystyle \pi(r+\sqrt2)^2-\pi(r-\sqrt2)^2=4\sqrt2\pi r$이므로 원문의 계수 2는 4로 고쳐야 한다. 상수 계수의 차이이므로 $\displaystyle E_D(r)=O(r)$이라는 결론에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, 다음 식이 성립한다:$\displaystyle E_D(r)=O(r),\qquad r\ge2$

2-5. ①

풀이. 자연수 $\displaystyle m$에 대하여$\displaystyle N_S(m)=2m+1+2\sum_{k=1}^m(2(m-k)+1)=2m^2+2m+1$가 성립한다.

②

풀이. 격자점은 정수들로 구성되므로 아래 등식이 성립한다:$\displaystyle N_S(r)=N_S(m).$

이 등식과 ①의 결과를 활용하면$\displaystyle E_S(r)=N_S(r)-A_S(r)=2m^2+2m+1-2r^2=2(r-t)^2+2(r-t)+1-2r^2$

즉,$\displaystyle E_S(r)=2r(-2t+1)+2t^2-2t+1.$

③

풀이. ②에서와 같이 $\displaystyle r=m+t$ ($\displaystyle m$은 자연수, $\displaystyle 0\le t<1$)로 놓으면, 다음 부등식을 얻는다:$\displaystyle |E_S(r)|\le2r+1\le3r$

즉, $\displaystyle E_S(r)=O(r)$이 성립한다. 따라서, 임의의 $\displaystyle \beta\ge1$에 대하여 $\displaystyle E_S(r)=O(r^\beta)$이 성립한다. 한편 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 $\displaystyle N_S(m)=2m^2+2m+1$, $\displaystyle A_S(m)=2m^2$, $\displaystyle |E_S(m)|\ge2m$이므로 $\displaystyle \beta<1$에 대하여 $\displaystyle E_S(r)=O(r^\beta)$가 성립할 수는 없다.

따라서, $\displaystyle E_S(r)=O(r^\beta)$, $\displaystyle r\ge2$를 만족하는 가장 작은 실수 $\displaystyle \beta$는 1이다.