자연계열 1번

직각삼각형 $\displaystyle OAM$에 피타고라스 정리를 적용하면 $\displaystyle r^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+(r-h)^{2}$이고, 이를 정리하면 $\displaystyle 2hr=\frac{a^{2}}{4}+h^{2}$을 얻는다. 이 식을 다시 $\displaystyle r$에 대하여 풀면 다음 결과를 얻는다:$\displaystyle r=\frac{1}{2h}\left(\frac{a^{2}}{4}+h^{2}\right)=\frac{a^{2}}{8h}+\frac{h}{2}=\frac{a^{2}+4h^{2}}{8h}$

그림에서 부채꼴 $\displaystyle OACB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}\cdot r^{2}\cdot2\theta=r^{2}\theta$이다. 또한, $\displaystyle OM=r\cos\theta$, $\displaystyle AB=2AM=2r\sin\theta$이므로 삼각형 $\displaystyle OAB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}AB\cdot OM=r^{2}\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{2}r^{2}\sin2\theta$이다. 따라서 활꼴 $\displaystyle ACD$의 넓이 $\displaystyle A(r,\theta)$는Correction. 활꼴 $\displaystyle ACD$에서 $\displaystyle D$는 $\displaystyle B$의 오기다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle A(r,\theta)=r^{2}\theta-r^{2}\sin\theta\cos\theta=r^{2}(\theta-\sin\theta\cos\theta)=r^{2}\left(\theta-\frac{1}{2}\sin2\theta\right)$이다.

그림에서 $\displaystyle a=2r\sin\theta$이고 $\displaystyle h=r-r\cos\theta=r(1-\cos\theta)$이다. 따라서 사다리꼴의 넓이 $\displaystyle B(r,\theta)$는 다음과 같다:$\displaystyle B(r,\theta)=\frac{1}{2}h(a+h)=\frac{1}{2}ah+\frac{1}{2}h^{2}=r^{2}\sin\theta(1-\cos\theta)+\frac{1}{2}r^{2}(1-\cos\theta)^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{2}r^{2}(1-\cos\theta)(2\sin\theta+1-\cos\theta)$

그림에서$\displaystyle AB=2r\sin\theta,\qquad CM=OC-OM=r-r\cos\theta=r(1-\cos\theta)$이므로 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이는$\displaystyle \frac{1}{2}AB\cdot CM=r^{2}\sin\theta(1-\cos\theta)$이다. 따라서 포물선 $\displaystyle ACB$와 선분 $\displaystyle AB$로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle C(r,\theta)$는$\displaystyle C(r,\theta)=\frac{4}{3}\times$ 삼각형 $\displaystyle ABC$의 넓이 $\displaystyle =\frac{4}{3}r^{2}\sin\theta(1-\cos\theta)$이다.

(1)$\displaystyle A(r,\theta)=r^{2}(\theta-\sin\theta\cos\theta)$$\displaystyle \approx r^{2}\left(\theta-\left(\theta-\frac{1}{6}\theta^{3}\right)\left(1-\frac{1}{2}\theta^{2}\right)\right)=r^{2}\left(\theta-\theta+\frac12\theta^{3}+\frac16\theta^{3}-\frac1{12}\theta^{5}\right)$$\displaystyle =r^{2}\theta^{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{12}\theta^{2}\right)=\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}-\frac{1}{12}r^{2}\theta^{5}$$\displaystyle B(r,\theta)=\frac12r^{2}(1-\cos\theta)(2\sin\theta+1-\cos\theta)$$\displaystyle \approx\frac12r^{2}\left(1-\left(1-\frac12\theta^{2}\right)\right)\left(2\left(\theta-\frac16\theta^{3}\right)+1-\left(1-\frac12\theta^{2}\right)\right)$$\displaystyle =\frac12r^{2}\cdot\frac12\theta^{2}\left(2\theta+\frac12\theta^{2}-\frac13\theta^{3}\right)$$\displaystyle =\frac{1}{4}r^{2}\theta^{3}\left(2+\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{3}\theta^{2}\right)=\frac{1}{2}r^{2}\theta^{3}+\frac{1}{8}r^{2}\theta^{4}-\frac{1}{12}r^{2}\theta^{5}$$\displaystyle C(r,\theta)=\frac43r^{2}\sin\theta(1-\cos\theta)$$\displaystyle \approx\frac43r^{2}\left(\theta-\frac16\theta^{3}\right)\left(1-\left(1-\frac12\theta^{2}\right)\right)=\frac43r^{2}\left(\theta-\frac16\theta^{3}\right)\cdot\frac12\theta^{2}$$\displaystyle =\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}\left(1-\frac{1}{6}\theta^{2}\right)=\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}-\frac{1}{9}r^{2}\theta^{5}$

(2)$\displaystyle \frac{B(r,\theta)}{A(r,\theta)}\approx\frac{\frac{1}{4}r^{2}\theta^{3}\left(2+\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{3}\theta^{2}\right)}{r^{2}\theta^{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{12}\theta^{2}\right)}\approx\frac{\frac{1}{4}\cdot2}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{4}$$\displaystyle \frac{C(r,\theta)}{A(r,\theta)}\approx\frac{\frac{2}{3}r^{2}\theta^{3}\left(1-\frac{1}{6}\theta^{2}\right)}{r^{2}\theta^{3}\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{12}\theta^{2}\right)}\approx\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}=1$따라서 포물선을 이용한 근사 $\displaystyle C(r,\theta)$이 사다리꼴을 이용한 근사 $\displaystyle B(r,\theta)$보다 더 정확하다.