자연계열 2번

2-1. <5점>

풀이. $\displaystyle \begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&2&3&1\end{pmatrix}$ 또는 $\displaystyle (1\;4)$

2-2. <5점>

풀이. $\displaystyle (1\;2\;3\;4\;5)=(1\;3\;4\;5)(1\;2)=(1\;4\;5)(1\;3)(1\;2)=(1\;5)(1\;4)(1\;3)(1\;2)$

2-3. <6점>

풀이. 우선 $\displaystyle i,j,k$를 제외한 수는 변화가 없다. 좌변은 세 함수의 합성이다. 함수의 합성을 적용하면 아래 표와 같은 결과를 얻는다.

이 표로부터 주어진 식이 성립함을 알 수 있다.

2-4. <10점>Correction. 대학 예시답안의 2-4 배점은 10점으로 적혀 있으나 문제지에는 6점이다. 문항 총배점 50점도 문제지의 배점 합계와 일치한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

풀이. $\displaystyle \sigma_2$는 $\displaystyle \sigma_1$의 결과에서 4 와 7 을 바꾼 것이다. 4 는 1 에서 7 은 5 에서 왔으므로 1 과 5 를 먼저 바꾸면 된다. 따라서 $\displaystyle \tau_2=(1\;5)$이다.

2-5. <18점>

(1) <6점>

풀이.

$\displaystyle \sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7\\1&3&5&4&2&7&6\end{pmatrix}=(2\;3\;5)(6\;7)=(6\;7)(2\;3\;5)$

(2) <6점>

풀이. 주어진 치환 $\displaystyle \sigma$는 아래와 같이 호환의 합성으로 나타낼 수 있다.

$\displaystyle \sigma=(2\;3\;5)(6\;7)=(2\;5)(2\;3)(6\;7)$

제시문의 식 ㉠을 활용하면 아래 식들을 얻는다.

$\displaystyle (3\;5)=(3\;4)(4\;5)(3\;4)$

$\displaystyle (2\;5)=(2\;3)(3\;5)(2\;3)=(2\;3)(3\;4)(4\;5)(3\;4)(2\;3)$

따라서,

$\displaystyle \begin{aligned}\sigma&=(2\;5)(2\;3)(6\;7)=(2\;3)(3\;4)(4\;5)(3\;4)(2\;3)(2\;3)(6\;7)\\&=(2\;3)(3\;4)(4\;5)(3\;4)(6\;7)=(6\;7)(2\;3)(3\;4)(4\;5)(3\;4)\end{aligned}$

(3) <6점>

참고.• 가 부분은 전체적으로 없어도 무방함• 나 부분은 아무 높이에나 위치하여도 됨

2-6. <10점>

풀이. 제시문의 정리에 의하면 주어진 임의의 $\displaystyle N$-치환은 호환들의 곱으로 나타낼 수 있다. 제시문의 식 ㉠을 반복 적용하면 각각의 호환은 인접 호환들의 곱으로 나타낼 수 있다. 따라서, 주어진 임의의 $\displaystyle N$-치환을 인접 호환들의 곱으로 나타낼 수 있으며, 인접 호환은 가로줄 하나에 대응하므로, 이는 $\displaystyle N$-사다리로 표현할 수 있다.