자연계열 1번

[문제 1-1] $\displaystyle OD=CD$이므로 $\displaystyle \triangle OCD$는 이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle COD=\angle OCD$이다. 따라서$\displaystyle \angle ADO=\angle COD+\angle OCD=2\angle COD$이다. 그리고 $\displaystyle AO=AD$이므로 $\displaystyle \triangle AOD$는 이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle AOD=\angle ADO$이다. 따라서$\displaystyle \angle AOB=\angle AOD+\angle COD=\angle ADO+\angle COD=2\angle COD+\angle COD=3\angle COD$이다. 그러므로 $\displaystyle \angle COD$는 $\displaystyle \angle AOB$의 3등분각이다.

[문제 1-2] $\displaystyle \gamma\to0$일 때 $\displaystyle OP\to OM$이고 $\displaystyle PQ\to0$이므로 $\displaystyle \lim_{\gamma\to0}\frac{PQ}{OP}=0$이다.$\displaystyle AO=AM$이므로 $\displaystyle \triangle AOM$은 이등변삼각형이고, $\displaystyle \angle AMO=\angle AOM=\angle AOB=\alpha$이다. 만약, $\displaystyle \gamma=\alpha$이면 직선 $\displaystyle AP$는 직선 $\displaystyle OB$에 나란하게 된다. 그러므로 $\displaystyle \gamma\to\alpha$일 때 $\displaystyle PQ\to\infty$이고 $\displaystyle OP<2AO$이므로 $\displaystyle \lim_{\gamma\to\alpha}\frac{PQ}{OP}=\infty$이다.$\displaystyle \frac{PQ}{OP}$는 $\displaystyle \gamma$에 따라 연속적으로 변한다. 그런데, $\displaystyle \gamma\to0$일 때 $\displaystyle \frac{PQ}{OP}\to0$이고 $\displaystyle \gamma\to\alpha$일 때 $\displaystyle \frac{PQ}{OP}\to\infty$이므로 중간값정리에 의해 $\displaystyle \gamma$가 적당한 값일 때 $\displaystyle \frac{PQ}{OP}=1$이 된다. 그러므로 $\displaystyle OP=PQ$인 점 $\displaystyle P$가 존재한다.

[문제 1-3] 아래 그림처럼 $\displaystyle OD_n<OD$이고, 직선 $\displaystyle AD_n$이 직선 $\displaystyle OC$와 만나는 점을 $\displaystyle E$라 하자.

그러면, $\displaystyle \angle EOD_n<\angle COD=\angle OCD<\angle OED_n$이므로 $\displaystyle ED_n<OD_n=C_nD_n$이다. 따라서(1) $\displaystyle OC_n>OE$이다. 한편, $\displaystyle \triangle ACD_n$에서 $\displaystyle AC<AD_n+CD_n$이므로$\displaystyle AC=AD+CD=AD+OD>AD+OD_n,$$\displaystyle AD_n+CD_n=AD+CD_n$으로부터 $\displaystyle CD_n>OD_n=C_nD_n$이다. 따라서(2) $\displaystyle OC_n<OC$이다. 그러므로 (1)과 (2)로부터 $\displaystyle C_n$은 $\displaystyle E$와 $\displaystyle C$ 사이에 위치하게 됨을 알 수 있고, 그 결과 직선 $\displaystyle AC_n$과 원호 $\displaystyle S$의 교점인 $\displaystyle D_{n+1}$은 $\displaystyle D_n$과 $\displaystyle D$ 사이에 위치하게 됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle OD_n<OD_{n+1}<OD$이다.

[문제 1-4] 좌표평면에 $\displaystyle \angle AOB$의 꼭지점인 $\displaystyle O$가 원점에 오게 하고 $\displaystyle B$가 $\displaystyle x$-축의 양의 방향에 오게 위치시키고, $\displaystyle B$의 좌표를 $\displaystyle (r,0)$이라 두면 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle (r\cos\alpha,r\sin\alpha)$이다. 이제 $\displaystyle C$의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$이라 두면, $\displaystyle C$가 현 $\displaystyle AB$를 $\displaystyle 2:1$로 내분하는 점이므로$\displaystyle x=\frac{2r+r\cos\alpha}3=\frac{2+\cos\alpha}3r,$$\displaystyle y=\frac{2\cdot0+r\sin\alpha}3=\frac{\sin\alpha}3r$이다. 이로부터$\displaystyle \cos\beta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{2+\cos\alpha}3r}{\sqrt{\left(\frac{2+\cos\alpha}3r\right)^2+\left(\frac{\sin\alpha}3r\right)^2}}=\frac{2+\cos\alpha}{\sqrt{5+4\cos\alpha}}$따라서 $\displaystyle \cos\beta=\frac{2+\cos\alpha}{\sqrt{5+4\cos\alpha}}$.

[문제 1-5] $\displaystyle \angle COD$와 $\displaystyle \angle DOE$의 크기를 각각 $\displaystyle \tilde\alpha$와 $\displaystyle \tilde\beta$라 하자. 제시문 (다)에 의하면 $\displaystyle \tilde\beta$는 $\displaystyle \tilde\alpha/3$의 근사값이 되고 식 (1)에 의해 $\displaystyle |\tilde\beta-\tilde\alpha/3|\le\frac3{25}\tilde\alpha^2$이다. 한편, $\displaystyle \tilde\alpha=\alpha/4$이고 $\displaystyle \tilde\beta=\delta-\alpha/4$이므로$\displaystyle \delta=\tilde\beta+\alpha/4,$$\displaystyle \alpha/3=\alpha/12+\alpha/4=\tilde\alpha/3+\alpha/4$이다. 따라서 $\displaystyle \delta$는 $\displaystyle \alpha/3$의 근사값이 되고$\displaystyle |\delta-\alpha/3|=|\tilde\beta-\tilde\alpha/3|\le\frac3{25}\tilde\alpha^2=\frac3{25}\cdot\left(\frac\alpha4\right)^2=\frac3{400}\alpha^2$이 성립한다.