아주대 2010학년도 모의 자연계열 1번 해설

(가) 적당한 도구를 사용하여 다양한 기하학적 도형을 그리는 것을 작도라 한다. 고대 그리스인들은 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 할 수 있는 작도에 대해 연구하여 여러 가지 도형들의 작도법을 발견하였다. 그 이후로 기하학적 작도는 그들의 전통을 따라 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 하는 작도를 일컫게 되었다.

기하학적 작도에서 컴퍼스는 주어진 점을 중심으로 주어진 길이를 반지름으로 하는 원을 그리는 도구이고, 눈금 없는 자는 주어진 두 점을 지나는 직선이나, 주어진 원에 원 바깥에 주어져 있는 점으로부터 접선을 긋는 도구이다. 예를 들면, 주어진 선분의 수직이등분선, 주어진 각의 이등분선, 주어진 길이를 한 변으로 하는 정삼각형, 정사각형 등은 기하학적으로 작도 가능한 도형이다.

임의의 각을 3등분하기, 주어진 정육면체의 두 배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변을 작도하기, 주어진 원과 넓이가 같은 정사각형의 한 변을 작도하기 등을 3대 작도불능 문제라 한다. 오랫동안 미해결로 남아있던 이 작도문제들이 기하학적으로는 불가능하다는 것이 근세에 대수적으로 증명되었다.

다소 변칙적인 방법으로 임의의 각을 3등분하는 방법은 오래전부터 다양하게 알려져 있다. 기원전 사람인 아르키메데스(Archimedes)는 뉴시스 작도(neusis construction)라 하는 다음과 같은 방법으로 임의로 주어진 각을 3등분할 수 있다는 것을 보였다.

[그림 1]에서 $\displaystyle \angle AOB$ 가 주어진 각이고, $\displaystyle \angle ACB$ 가 $\displaystyle \angle AOB$ 의 3등분각이다. $\displaystyle \angle ACB$ 를 작도하려면, 먼저 주어진 각의 꼭지점인 $\displaystyle O$ 를 중심으로 하는 원을 그려서 주어진 각의 변과 만나는 점 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 를 구하고, 각의 변 $\displaystyle OA$ 를 점 $\displaystyle O$ 의 방향으로 연장한 직선을 긋는다. 다음으로 자를 직선 $\displaystyle OA$ 와 맞추어 점 $\displaystyle O$ 와 $\displaystyle A$ 에 대응되는 위치를 자 위에 표시한다. 전통적인 기하학적 작도에서는 이렇게 자 위에 표시를 할 수 없다. 마지막으로 자 위에 표시된 이 점들이 직선 $\displaystyle OA$ 위의 점 $\displaystyle C$ 와 원 $\displaystyle O$ 위의 점 $\displaystyle D$ 에 각각 위치하게 자를 움직여 점 $\displaystyle B$ 를 지나는 직선 $\displaystyle BC$ 를 긋는다. 즉, 선분 $\displaystyle CD$ 와 선분 $\displaystyle OA$ 의 길이가 같아지게 직선 $\displaystyle BC$ 를 긋는다. 이렇게 작도하면 $\displaystyle \angle ACB$ 가 $\displaystyle \angle AOB$ 의 3등분각이 되는 것은 다음과 같이 증명할 수 있다: $\displaystyle CD=OA=OD$ 이므로 $\displaystyle \triangle OCD$ 는 이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle OCD=\angle COD$ .따라서, $\displaystyle \begin{aligned}\angle ODB&=\angle OCD+\angle COD\\&=2\angle OCD\\&=2\angle ACB.\end{aligned}$ 그리고 $\displaystyle OB=OD$ 이므로 $\displaystyle \triangle OBD$ 는 이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle ODB=\angle OBD$ .따라서, $\displaystyle \begin{aligned}\angle BOD&=180^\circ-(\angle ODB+\angle OBD)\\&=180^\circ-2\angle ODB\\&=180^\circ-4\angle ACB.\end{aligned}$ 그러므로, $\displaystyle \begin{aligned}\angle AOB&=180^\circ-(\angle BOD+\angle COD)\\&=180^\circ-((180^\circ-4\angle ACB)+\angle ACB)\\&=3\angle ACB.\end{aligned}$

(나) 다음 [그림2]와 같이, 각의 한 변 위에 한 점 $\displaystyle A$ 를 잡고 점 $\displaystyle A$ 를 중심으로 하고 각의 꼭지점 $\displaystyle O$ 를 지나는 원호 $\displaystyle S$ 를 그린다. 이 원호 $\displaystyle S$ 위에 점 $\displaystyle D$ 를 잘 잡아 직선 $\displaystyle AD$ 와 각의 다른 변 $\displaystyle OB$ 와의 교점 $\displaystyle C$ 에 대해 $\displaystyle OD=CD$ 가 되면, $\displaystyle \angle COD$ 가 주어진 각 $\displaystyle \angle AOB$ 의 3등분각이 된다.

전통적인 기하학적 작도법이나 뉴시스 작도법으로는 이와 같은 점 $\displaystyle D$ 를 작도할 수 없다. 그러나 다음과 같은 방법으로 $\displaystyle D$ 에 임의로 가까운 점들을 작도할 수 있다. 먼저 원호 $\displaystyle S$ 위에 한 점 $\displaystyle D_1$ 을 잡고, $\displaystyle OD_1=C_1D_1$ 인 점 $\displaystyle C_1$ 을 변 $\displaystyle OB$ 위에 잡는다. 다음으로 직선 $\displaystyle AC_1$ 과 원호 $\displaystyle S$ 의 교점을 $\displaystyle D_2$ 라 하고 $\displaystyle OD_2=C_2D_2$ 인 점 $\displaystyle C_2$ 를 변 $\displaystyle OB$ 위에 잡는다. 이러한 과정을 반복하여 원호 $\displaystyle S$ 위에 점 $\displaystyle D_1,D_2,D_3,\cdots$ 를 잡으면 이 점들은 한 점으로 수렴하게 되는데, 이 극한점이 점 $\displaystyle D$ 가 된다.

(다) 각을 3등분하는 것은 각의 꼭지점을 중심으로 하는 원이 각의 두 변에 의해서 잘려진 원호를 3등분하는 것과 같다. [그림 3]과 같이 현을 3등분하는 것으로는 3등분각을 작도할 수 없으나 주어진 각의 크기가 작을 때에는 3등분각에 가까운 각을 얻을 수 있다.

[그림 3]에서 $\displaystyle OA=OB$ 이고 점 $\displaystyle C$ 는 현 $\displaystyle AB$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점이다. $\displaystyle \angle AOB$ 와 $\displaystyle \angle BOC$ 의 크기를 각각 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 라 하면 다음 부등식이 성립한다:(1) $\displaystyle \left|\beta-\frac13\alpha\right|\le\frac3{25}\alpha^2$ (단, 각의 단위는 라디안(radian)이다)즉, $\displaystyle \alpha$ 가 작을 때 $\displaystyle \beta$ 는 $\displaystyle \alpha/3$ 의 근사값이 된다. 실제로, $\displaystyle \angle AOB$ 가 $\displaystyle 30^\circ$ 일 때 $\displaystyle \angle BOC$ 의 3배는 약 $\displaystyle 29.896^\circ$ 가 된다.

[문제 1-1](12점) [그림 2]에서 $\displaystyle AO=AD$ 이고 $\displaystyle OD=CD$ 이면, $\displaystyle \angle COD$ 가 $\displaystyle \angle AOB$ 의 3등분각이 됨을 제시문 (가)를 참조하여 증명하라.

[문제 1-2](12점) 아래 그림에서 예각 $\displaystyle \angle AOB$ 와 점 $\displaystyle A$ 는 고정되어 있고, $\displaystyle A$ 를 중심으로 하고 $\displaystyle AO$ 를 반지름으로 하는 원 $\displaystyle S$ 와 변 $\displaystyle OB$ 의 교점은 $\displaystyle M$ 이다. 점 $\displaystyle P$ 는 원 $\displaystyle S$ 위를 움직이며, 점 $\displaystyle Q$ 는 직선 $\displaystyle AP$ 와 변 $\displaystyle OB$ 의 교점이다.

$\displaystyle \angle AOB$ 와 $\displaystyle \angle MAP$ 의 크기를 각각 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \gamma$ 라 할 때, $\displaystyle \lim_{\gamma\to0}\frac{PQ}{OP}$ 와 $\displaystyle \lim_{\gamma\to\alpha}\frac{PQ}{OP}$ 를 구하고, 이를 이용하여 원 $\displaystyle S$ 위에 $\displaystyle OP=PQ$ 인 점 $\displaystyle P$ 가 존재함을 설명하라.

[문제 1-3](12점) 제시문 (나)에 나오는 점 $\displaystyle D_1,D_2,D_3,\cdots$ 들이 점 $\displaystyle D$ 에 수렴함을 보일 때 다음 사실들을 이용할 수 있다.(a) $\displaystyle OD_n<OD$ 이면 $\displaystyle OD_n<OD_{n+1}<OD$ 이다.(b) $\displaystyle OD_n>OD$ 이면 $\displaystyle OD_n>OD_{n+1}>OD$ 이다.(a)를 증명하라.

[문제 1-4](12점) [그림 3]에서 $\displaystyle \angle AOB$ 와 $\displaystyle \angle BOC$ 의 크기를 각각 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \beta$ 라 할 때, $\displaystyle \cos(\beta)$ 를 $\displaystyle \alpha$ 에 관한 식으로 나타내어라.

[문제 1-5](12점) 다음 그림에서 $\displaystyle OC$ 는 $\displaystyle \angle AOB$ 의 이등분선이고, $\displaystyle OD$ 는 $\displaystyle \angle BOC$ 의 이등분선이며, 점 $\displaystyle E$ 는 현 $\displaystyle CD$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점이다. $\displaystyle \angle AOB$ 와 $\displaystyle \angle BOE$ 의 크기를 각각 $\displaystyle \alpha$ 와 $\displaystyle \delta$ 라 할 때, $\displaystyle \delta$ 가 $\displaystyle \alpha/3$ 의 근사값이 됨을 설명하고, 부등식 $\displaystyle \left|\delta-\frac13\alpha\right|\le\frac3{400}\alpha^2$ 이 성립함을 증명하라.

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[문제 1-1] $\displaystyle OD=CD$ 이므로 $\displaystyle \triangle OCD$ 는 이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle COD=\angle OCD$ 이다. 따라서 $\displaystyle \angle ADO=\angle COD+\angle OCD=2\angle COD$ 이다. 그리고 $\displaystyle AO=AD$ 이므로 $\displaystyle \triangle AOD$ 는 이등변삼각형이고 $\displaystyle \angle AOD=\angle ADO$ 이다. 따라서 $\displaystyle \angle AOB=\angle AOD+\angle COD=\angle ADO+\angle COD=2\angle COD+\angle COD=3\angle COD$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \angle COD$ 는 $\displaystyle \angle AOB$ 의 3등분각이다.

[문제 1-2] $\displaystyle \gamma\to0$ 일 때 $\displaystyle OP\to OM$ 이고 $\displaystyle PQ\to0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{\gamma\to0}\frac{PQ}{OP}=0$ 이다. $\displaystyle AO=AM$ 이므로 $\displaystyle \triangle AOM$ 은 이등변삼각형이고, $\displaystyle \angle AMO=\angle AOM=\angle AOB=\alpha$ 이다. 만약, $\displaystyle \gamma=\alpha$ 이면 직선 $\displaystyle AP$ 는 직선 $\displaystyle OB$ 에 나란하게 된다. 그러므로 $\displaystyle \gamma\to\alpha$ 일 때 $\displaystyle PQ\to\infty$ 이고 $\displaystyle OP<2AO$ 이므로 $\displaystyle \lim_{\gamma\to\alpha}\frac{PQ}{OP}=\infty$ 이다. $\displaystyle \frac{PQ}{OP}$ 는 $\displaystyle \gamma$ 에 따라 연속적으로 변한다. 그런데, $\displaystyle \gamma\to0$ 일 때 $\displaystyle \frac{PQ}{OP}\to0$ 이고 $\displaystyle \gamma\to\alpha$ 일 때 $\displaystyle \frac{PQ}{OP}\to\infty$ 이므로 중간값정리에 의해 $\displaystyle \gamma$ 가 적당한 값일 때 $\displaystyle \frac{PQ}{OP}=1$ 이 된다. 그러므로 $\displaystyle OP=PQ$ 인 점 $\displaystyle P$ 가 존재한다.

[문제 1-3] 아래 그림처럼 $\displaystyle OD_n<OD$ 이고, 직선 $\displaystyle AD_n$ 이 직선 $\displaystyle OC$ 와 만나는 점을 $\displaystyle E$ 라 하자.

그러면, $\displaystyle \angle EOD_n<\angle COD=\angle OCD<\angle OED_n$ 이므로 $\displaystyle ED_n<OD_n=C_nD_n$ 이다. 따라서(1) $\displaystyle OC_n>OE$ 이다. 한편, $\displaystyle \triangle ACD_n$ 에서 $\displaystyle AC<AD_n+CD_n$ 이므로 $\displaystyle AC=AD+CD=AD+OD>AD+OD_n,$ $\displaystyle AD_n+CD_n=AD+CD_n$ 으로부터 $\displaystyle CD_n>OD_n=C_nD_n$ 이다. 따라서(2) $\displaystyle OC_n<OC$ 이다. 그러므로 (1)과 (2)로부터 $\displaystyle C_n$ 은 $\displaystyle E$ 와 $\displaystyle C$ 사이에 위치하게 됨을 알 수 있고, 그 결과 직선 $\displaystyle AC_n$ 과 원호 $\displaystyle S$ 의 교점인 $\displaystyle D_{n+1}$ 은 $\displaystyle D_n$ 과 $\displaystyle D$ 사이에 위치하게 됨을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle OD_n<OD_{n+1}<OD$ 이다.

[문제 1-4] 좌표평면에 $\displaystyle \angle AOB$ 의 꼭지점인 $\displaystyle O$ 가 원점에 오게 하고 $\displaystyle B$ 가 $\displaystyle x$ -축의 양의 방향에 오게 위치시키고, $\displaystyle B$ 의 좌표를 $\displaystyle (r,0)$ 이라 두면 $\displaystyle A$ 의 좌표는 $\displaystyle (r\cos\alpha,r\sin\alpha)$ 이다. 이제 $\displaystyle C$ 의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$ 이라 두면, $\displaystyle C$ 가 현 $\displaystyle AB$ 를 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 점이므로 $\displaystyle x=\frac{2r+r\cos\alpha}3=\frac{2+\cos\alpha}3r,$ $\displaystyle y=\frac{2\cdot0+r\sin\alpha}3=\frac{\sin\alpha}3r$ 이다. 이로부터 $\displaystyle \cos\beta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\frac{\frac{2+\cos\alpha}3r}{\sqrt{\left(\frac{2+\cos\alpha}3r\right)^2+\left(\frac{\sin\alpha}3r\right)^2}}=\frac{2+\cos\alpha}{\sqrt{5+4\cos\alpha}}$ 따라서 $\displaystyle \cos\beta=\frac{2+\cos\alpha}{\sqrt{5+4\cos\alpha}}$ .

[문제 1-5] $\displaystyle \angle COD$ 와 $\displaystyle \angle DOE$ 의 크기를 각각 $\displaystyle \tilde\alpha$ 와 $\displaystyle \tilde\beta$ 라 하자. 제시문 (다)에 의하면 $\displaystyle \tilde\beta$ 는 $\displaystyle \tilde\alpha/3$ 의 근사값이 되고 식 (1)에 의해 $\displaystyle |\tilde\beta-\tilde\alpha/3|\le\frac3{25}\tilde\alpha^2$ 이다. 한편, $\displaystyle \tilde\alpha=\alpha/4$ 이고 $\displaystyle \tilde\beta=\delta-\alpha/4$ 이므로 $\displaystyle \delta=\tilde\beta+\alpha/4,$ $\displaystyle \alpha/3=\alpha/12+\alpha/4=\tilde\alpha/3+\alpha/4$ 이다. 따라서 $\displaystyle \delta$ 는 $\displaystyle \alpha/3$ 의 근사값이 되고 $\displaystyle |\delta-\alpha/3|=|\tilde\beta-\tilde\alpha/3|\le\frac3{25}\tilde\alpha^2=\frac3{25}\cdot\left(\frac\alpha4\right)^2=\frac3{400}\alpha^2$ 이 성립한다.

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