자연계열 2번

[문제 2-1] 본문의 점화식 $\displaystyle m_{-1}^{k+1}=\frac{m_{-1}^k+m_0^k}2$, $\displaystyle m_0^{k+1}=\frac{m_{-1}^k+m_1^k}2$, $\displaystyle m_1^{k+1}=\frac{m_0^k+m_1^k}2$에 극한을 취하면, 수렴값 $\displaystyle m_l=\lim_{k\to\infty}m_l^k\;(l=-1,0,1)$는 $\displaystyle m_{-1}=\frac{m_{-1}+m_0}2$, $\displaystyle m_0=\frac{m_{-1}+m_1}2$, $\displaystyle m_1=\frac{m_0+m_1}2$을 만족한다. 위식을 풀면, $\displaystyle m_{-1}=m_0=m_1$ 이 된다.$\displaystyle m_{-1}+m_0+m_1=1$ 을 만족하므로 $\displaystyle m_{-1}=m_0=m_1=\frac13$(그램) 이다.

[문제 2-2] 만일 $\displaystyle k$초에 수렴한다면, $\displaystyle m_l^{k+1}=m_l^k\;(l=-1,0,1)$를 만족한다. 따라서 주어진 점화식은 $\displaystyle m_{-1}^k=\frac{m_{-1}^k+m_0^k}2$, $\displaystyle m_0^k=\frac{m_{-1}^k+m_1^k}2$, $\displaystyle m_1^k=\frac{m_0^k+m_1^k}2$을 만족한다. 이 방정식을 풀면 $\displaystyle m_{-1}^k=m_0^k=m_1^k=\frac13$가 된다. 본문의 주어진 점화식에서 $\displaystyle k$를 $\displaystyle (k-1)$로 치환하면, $\displaystyle (m_{-1}^{k-1},m_0^{k-1},m_1^{k-1})$는 방정식 $\displaystyle \frac13=\frac{m_{-1}^{k-1}+m_0^{k-1}}2$, $\displaystyle \frac13=\frac{m_{-1}^{k-1}+m_1^{k-1}}2$, $\displaystyle \frac13=\frac{m_0^{k-1}+m_1^{k-1}}2$을 만족하며, 이 방정식의 해는 $\displaystyle m_{-1}^{k-1}=m_0^{k-1}=m_1^{k-1}=\frac13$ 가 된다. 이 과정을 연속적으로 반복하면, 최종적으로 $\displaystyle m_{-1}^0=m_0^0=m_1^0=\frac13$를 얻는다. 따라서, 유한시간에 수렴하기 위하여 초기치는 $\displaystyle \left(\frac13,\frac13,\frac13\right)$이 되어야 하며, 초기치가 $\displaystyle (0,1,0)$일 때는 유한시간에 수렴하지 않는다.

[문제 2-3] $\displaystyle D^k=d_{1/2}^k-d_{-1/2}^k=m_1^k-2m_0^k+m_{-1}^k$이며$\displaystyle e^k=m_0^{k+1}-m_0^k=\frac{m_{-1}^k+m_1^k}2-m_0^k=\frac12(m_1^k-2m_0^k+m_{-1}^k)$ 이다.따라서, $\displaystyle e^k=\frac12D^k$ 을 만족한다.

[문제 2-4] 본문의 주어진 점화식으로부터$\displaystyle m_{-1}^{k+1}=m_0^k+\frac{\alpha_k}2,\;m_0^{k+1}=m_0^k+\frac{\alpha_k+\beta_k}2,\;m_1^{k+1}=m_0^k+\frac{\beta_k}2$를 각각 만족한다. 따라서, $\displaystyle \alpha_{k+1},\beta_{k+1}$는 다음의 점화식을 만족한다.$\displaystyle \alpha_{k+1}=m_{-1}^{k+1}-m_0^{k+1}=-\frac{\beta_k}2,\quad\beta_{k+1}=m_1^{k+1}-m_0^{k+1}=-\frac{\alpha_k}2$.이식을 풀면,$\displaystyle \alpha_{2j}=\left(\frac12\right)^2\alpha_{2j-2}=\left(\frac12\right)^{2j}\alpha_0,$$\displaystyle \alpha_{2j+1}=\left(\frac12\right)^2\alpha_{2j-1}=\left(\frac12\right)^{2j}\alpha_1=\left(\frac12\right)^{2j+1}\beta_0,$Correction. $\displaystyle \alpha_1=-\beta_0/2$이므로 홀수 번째 항은 $\displaystyle \alpha_{2j+1}=-(1/2)^{2j+1}\beta_0$이다. 원문 마지막 항의 음수 부호가 빠졌으며, 0으로 수렴한다는 결론은 같다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \beta_{2j}=\left(\frac12\right)^2\beta_{2j-2}=\left(\frac12\right)^{2j}\beta_0,$$\displaystyle \beta_{2j+1}=\left(\frac12\right)^2\beta_{2j-1}=\left(\frac12\right)^{2j}\beta_1=-\left(\frac12\right)^{2j+1}\alpha_0$$\displaystyle |\alpha_0|\le1$, $\displaystyle |\beta_0|\le1$이므로, $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\alpha_k=0$, $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\beta_k=0$ 가 된다.$\displaystyle 1=m_{-1}^k+m_0^k+m_1^k=3m_0^k+\alpha_k+\beta_k$로부터 양변에 극한을 취하면,$\displaystyle \lim_{k\to\infty}m_0^k=\frac13$이다.따라서, $\displaystyle \lim_{k\to\infty}m_{-1}^k=\lim_{k\to\infty}(m_0^k+\alpha_k)=\frac13$, $\displaystyle \lim_{k\to\infty}m_1^k=\lim_{k\to\infty}(m_0^k+\beta_k)=\frac13$이 되며, 수렴한다.