자연계열 1번

[해답 1-1] (1) $\displaystyle q>p$인 경우: 다음 그림에서

$\displaystyle \triangle PQQ^{\prime}$과 $\displaystyle \triangle PRR^{\prime}$은 닮은꼴이므로 $\displaystyle RR^{\prime}:QQ^{\prime}=PR:PQ$이다. 따라서,$\displaystyle r=p+RR^{\prime}=p+\frac{PR}{PQ}\cdot QQ^{\prime}=p+t(q-p)=(1-t)p+tq$이다.(2) $\displaystyle q<p$인 경우에는$\displaystyle r=p-RR^{\prime}=p-\frac{PR}{PQ}\cdot QQ^{\prime}=p-t(p-q)=(1-t)p+tq$이다. 따라서 이 경우에도 구하는 식은$\displaystyle r=(1-t)p+tq$이다.(3) $\displaystyle q=p$인 경우: $\displaystyle r=p$이고 $\displaystyle (1-t)p+tq=(1-t)p+tp=p$이므로 이 경우에도 $\displaystyle r=(1-t)p+tq$가 성립한다.

[해답 1-2] $\displaystyle R$이 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$ 사이에 있다고 하고 $\displaystyle t=\frac{PR}{PQ}$, $\displaystyle H(P)=H(Q)=h$라 하면, [문제 1-1]에 의해$\displaystyle h_1(R)=(1-t)h_1(P)+th_1(Q),$$\displaystyle h_2(R)=(1-t)h_2(P)+th_2(Q),$$\displaystyle h_3(R)=(1-t)h_3(P)+th_3(Q)$이므로$\displaystyle \begin{aligned}H(R)&=ah_1(R)+bh_2(R)+ch_3(R)\\&=a((1-t)h_1(P)+th_1(Q))+b((1-t)h_2(P)+th_2(Q))+c((1-t)h_3(P)+th_3(Q))\\&=(1-t)(ah_1(P)+bh_2(P)+ch_3(P))+t(ah_1(Q)+bh_2(Q)+ch_3(Q))\\&=(1-t)H(P)+tH(Q)\\&=(1-t)h+th=h=H(P)\end{aligned}$이다.

[해답 1-3] $\displaystyle H(P)=H(Q)=H(R)=h$라 하고 $\displaystyle X$를 $\displaystyle \triangle ABC$ 또는 그 내부에 있는 임의의 점이라 하자. 그리고, $\displaystyle \ell,m$을 직선 $\displaystyle PQ,QR$이 각각 $\displaystyle \triangle ABC$에 의해 잘려진 선분이라고 하자. 점 $\displaystyle X$를 지나면서 두 선분 $\displaystyle \ell,m$ 모두와 만나는 직선 $\displaystyle n$을 하나 잡자. $\displaystyle \ell$과 $\displaystyle n$의 교점을 $\displaystyle L$, 그리고 $\displaystyle m$과 $\displaystyle n$의 교점을 $\displaystyle M$이라 하자. 그러면, $\displaystyle P,Q,L$이 동일 직선 위에 있으므로 $\displaystyle H(L)=h$이고, $\displaystyle Q,R,M$이 동일 직선 위에 있으므로 $\displaystyle H(M)=h$이다. 그런데, $\displaystyle L,M,X$가 동일 직선 위에 있으므로 결국 $\displaystyle H(X)=h$이다. 즉, 임의의 점 $\displaystyle X$에 대해 함수 $\displaystyle H$의 값은 일정하다.

[해답 1-4] 일정한 $\displaystyle H$의 값을 $\displaystyle h$라 하면,$\displaystyle h=H(A)=bh_2(A)=b\frac{2\triangle ABC}{BC}=b\frac{\triangle ABC}4,$$\displaystyle h=H(B)=ch_3(B)=c\frac{2\triangle ABC}{CA}=c\frac{\triangle ABC}5,$$\displaystyle h=H(C)=ah_1(C)=2\cdot\frac{2\triangle ABC}{AB}=\triangle ABC$이므로 $\displaystyle \triangle ABC=h$이고,$\displaystyle b=\frac{4h}{\triangle ABC}=4,\quad c=\frac{5h}{\triangle ABC}=5$이다.