아주대 2011학년도 수시 자연계열 1번 해설

삼각형은 여러 가지 재미있는 기하학적인 성질을 가지고 있다. 오심(내심, 외심, 중심, 수심, 방심)이 한 예이다. 오심 중 내심을 예로 들어 설명하면, 삼각형의 세 각의 이등분선의 교점이 내심인데, 세 이등분선이 모두 한 점에서 만난다는 것이 재미있다. 또 다른 예로, 직각삼각형의 세 변의 길이 사이에 성립하는 피타고라스(Pythagoras)의 정리를 들 수 있다.

갈릴레오(Galileo)의 제자였던 비비아니(Viviani, 1622–1703)는 다음과 같은 내용의 비비아니 정리를 발견했다:

비비아니 정리. 정삼각형 또는 그 내부에 있는 한 점에서 세 변에 이르는 거리의 합은 일정하다.

정삼각형이 아닌 경우에는 위 정리의 결과가 성립하지 않는다. 비비아니 정리는 넓이를 이용하면 간단히 증명된다. $\displaystyle \triangle ABC$ 를 한 변의 길이가 $\displaystyle s$ 인 정삼각형이라 하자. 점 $\displaystyle X$ 를 이 삼각형 또는 그 내부에 있는 한 점이라 하고, $\displaystyle h_1,h_2,h_3$ 을 각각 점 $\displaystyle X$ 로부터 변 $\displaystyle AB,BC,CA$ 까지의 거리라 하자. 그러면, $\displaystyle \begin{aligned}h_1+h_2+h_3&=\frac2s\left(\frac12sh_1+\frac12sh_2+\frac12sh_3\right)\\&=\frac2s(\triangle ABX+\triangle BCX+\triangle CAX)=\frac2s\triangle ABC\end{aligned}$ 가 되어, 이 값은 점 $\displaystyle X$ 와 상관없이 일정한 값이 된다.

[문제 1-1] (10 점) 두 직선 $\displaystyle \ell,m$ 과 직선 $\displaystyle m$ 위에 세 점 $\displaystyle P,Q,R$ 이 있다. 세 점 $\displaystyle P,Q,R$ 로부터 직선 $\displaystyle \ell$ 까지의 거리를 각각 $\displaystyle p,q,r$ 이라 하고, $\displaystyle t=\frac{PR}{PQ}$ 이라 할 때, $\displaystyle r$ 을 $\displaystyle p,q,t$ 의 식으로 나타내어라. (단, $\displaystyle R$ 이 $\displaystyle P$ 와 $\displaystyle Q$ 의 사이에 있다고 가정하라. $\displaystyle P$ 가 $\displaystyle R$ 과 $\displaystyle Q$ 사이에 올 때에는 $\displaystyle t$ 를 $\displaystyle t=-\frac{PR}{PQ}$ 로 정의한다면, 이 문제에서 유도하는 식은 실제로 세 점 $\displaystyle P,Q,R$ 의 상대적 위치와 상관없이 성립한다.)Caution. 길이나 각의 크기를 합과 차로 나타낼 때는 점들의 위치 관계를 확인해야 한다: 대학의 식 $\displaystyle r=(1-t)p+tq$ 를 일반적인 거리의 식으로 쓰려면 세 점이 직선 $\displaystyle \ell$ 의 같은 쪽에 있는 경우를 다루어야 한다. 직선 위의 점은 거리 $\displaystyle 0$ 인 경계로 포함할 수 있다. 예를 들어 $\displaystyle \ell:y=0$ , $\displaystyle m:x=0$ 에서 $\displaystyle P=(0,1)$ , $\displaystyle Q=(0,-3)$ , $\displaystyle R=(0,-1)$ 로 놓으면 $\displaystyle R$ 이 $\displaystyle P,Q$ 사이에 있고 $\displaystyle p=1$ , $\displaystyle q=3$ , $\displaystyle t=\frac12$ 이지만, 실제 거리 $\displaystyle r=1$ 과 대학 식의 값 $\displaystyle 2$ 가 다르다. $\displaystyle P,Q$ 가 직선의 반대쪽에 있으면 $\displaystyle r=|(1-t)p-tq|$ 로 계산해야 하므로, (1-1)의 일반식은 위치 조건에 맞게 보완해야 한다. 뒤 소문항에서는 삼각형 또는 그 내부의 점과 각 변을 포함하는 직선을 다루므로 같은 쪽이라는 조건이 충족된다. 따라서 뒤 소문항의 결론과 (1-4)의 답 $\displaystyle b=4$ , $\displaystyle c=5$ 는 달라지지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

※ 음이 아닌 세 실수 $\displaystyle a,b,c$ 와 $\displaystyle \triangle ABC$ 가 주어져 있다. 이 삼각형 또는 그 내부에 있는 임의의 점 $\displaystyle X$ 에 대한 함수 $\displaystyle H(X)$ 를 다음과 같이 정의한다: $\displaystyle H(X)=a\cdot h_1(X)+b\cdot h_2(X)+c\cdot h_3(X)$ 단, $\displaystyle h_1(X),h_2(X),h_3(X)$ 는 각각 점 $\displaystyle X$ 로부터 변 $\displaystyle AB,BC,CA$ 까지의 거리이다. 이 함수 $\displaystyle H$ 에 관해 다음 물음에 답하라.

[문제 1-2] (10 점) [문제 1-1]의 결과를 이용하여, $\displaystyle \triangle ABC$ 또는 그 내부에 있는 서로 다른 세 점 $\displaystyle P,Q,R$ 이 동일 직선 위에 있고, $\displaystyle H(P)=H(Q)$ 이면, $\displaystyle H(R)=H(P)$ 임을 보여라.

[문제 1-3] (15 점) $\displaystyle \triangle ABC$ 또는 그 내부에 있는 서로 다른 세 점 $\displaystyle P,Q,R$ 이 동일 직선 위에 있지 않고, $\displaystyle H(P)=H(Q)=H(R)$ 이면, 함수 $\displaystyle H$ 의 값은 $\displaystyle \triangle ABC$ 또는 그 내부에 있는 모든 점 $\displaystyle X$ 에 대해 일정함을 보여라.

[문제 1-4] (15 점) 함수 $\displaystyle H$ 의 값이 일정하고, 변 $\displaystyle AB,BC,CA$ 의 길이가 각각 4, 8, 10이고 $\displaystyle a=2$ 일 때, $\displaystyle b$ 와 $\displaystyle c$ 의 값을 구하라.

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[해답 1-1] (1) $\displaystyle q>p$ 인 경우: 다음 그림에서

$\displaystyle \triangle PQQ^{\prime}$ 과 $\displaystyle \triangle PRR^{\prime}$ 은 닮은꼴이므로 $\displaystyle RR^{\prime}:QQ^{\prime}=PR:PQ$ 이다. 따라서, $\displaystyle r=p+RR^{\prime}=p+\frac{PR}{PQ}\cdot QQ^{\prime}=p+t(q-p)=(1-t)p+tq$ 이다.(2) $\displaystyle q<p$ 인 경우에는 $\displaystyle r=p-RR^{\prime}=p-\frac{PR}{PQ}\cdot QQ^{\prime}=p-t(p-q)=(1-t)p+tq$ 이다. 따라서 이 경우에도 구하는 식은 $\displaystyle r=(1-t)p+tq$ 이다.(3) $\displaystyle q=p$ 인 경우: $\displaystyle r=p$ 이고 $\displaystyle (1-t)p+tq=(1-t)p+tp=p$ 이므로 이 경우에도 $\displaystyle r=(1-t)p+tq$ 가 성립한다.

[해답 1-2] $\displaystyle R$ 이 $\displaystyle P$ 와 $\displaystyle Q$ 사이에 있다고 하고 $\displaystyle t=\frac{PR}{PQ}$ , $\displaystyle H(P)=H(Q)=h$ 라 하면, [문제 1-1]에 의해 $\displaystyle h_1(R)=(1-t)h_1(P)+th_1(Q),$ $\displaystyle h_2(R)=(1-t)h_2(P)+th_2(Q),$ $\displaystyle h_3(R)=(1-t)h_3(P)+th_3(Q)$ 이므로 $\displaystyle \begin{aligned}H(R)&=ah_1(R)+bh_2(R)+ch_3(R)\\&=a((1-t)h_1(P)+th_1(Q))+b((1-t)h_2(P)+th_2(Q))+c((1-t)h_3(P)+th_3(Q))\\&=(1-t)(ah_1(P)+bh_2(P)+ch_3(P))+t(ah_1(Q)+bh_2(Q)+ch_3(Q))\\&=(1-t)H(P)+tH(Q)\\&=(1-t)h+th=h=H(P)\end{aligned}$ 이다.

[해답 1-3] $\displaystyle H(P)=H(Q)=H(R)=h$ 라 하고 $\displaystyle X$ 를 $\displaystyle \triangle ABC$ 또는 그 내부에 있는 임의의 점이라 하자. 그리고, $\displaystyle \ell,m$ 을 직선 $\displaystyle PQ,QR$ 이 각각 $\displaystyle \triangle ABC$ 에 의해 잘려진 선분이라고 하자. 점 $\displaystyle X$ 를 지나면서 두 선분 $\displaystyle \ell,m$ 모두와 만나는 직선 $\displaystyle n$ 을 하나 잡자. $\displaystyle \ell$ 과 $\displaystyle n$ 의 교점을 $\displaystyle L$ , 그리고 $\displaystyle m$ 과 $\displaystyle n$ 의 교점을 $\displaystyle M$ 이라 하자. 그러면, $\displaystyle P,Q,L$ 이 동일 직선 위에 있으므로 $\displaystyle H(L)=h$ 이고, $\displaystyle Q,R,M$ 이 동일 직선 위에 있으므로 $\displaystyle H(M)=h$ 이다. 그런데, $\displaystyle L,M,X$ 가 동일 직선 위에 있으므로 결국 $\displaystyle H(X)=h$ 이다. 즉, 임의의 점 $\displaystyle X$ 에 대해 함수 $\displaystyle H$ 의 값은 일정하다.

[해답 1-4] 일정한 $\displaystyle H$ 의 값을 $\displaystyle h$ 라 하면, $\displaystyle h=H(A)=bh_2(A)=b\frac{2\triangle ABC}{BC}=b\frac{\triangle ABC}4,$ $\displaystyle h=H(B)=ch_3(B)=c\frac{2\triangle ABC}{CA}=c\frac{\triangle ABC}5,$ $\displaystyle h=H(C)=ah_1(C)=2\cdot\frac{2\triangle ABC}{AB}=\triangle ABC$ 이므로 $\displaystyle \triangle ABC=h$ 이고, $\displaystyle b=\frac{4h}{\triangle ABC}=4,\quad c=\frac{5h}{\triangle ABC}=5$ 이다.

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