자연계열 2번

[해답 2-1] 로그함수의 성질에 의하여$\displaystyle \frac Ln=\frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots+\ln x_n}n=\ln\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$이 된다. 산술평균 기하평균 부등식과 로그함수가 증가함수라는 사실을 이용하면$\displaystyle \frac Ln=\ln\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\le\ln\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n=\ln\frac Sn$이다. 따라서$\displaystyle L\le n\ln\frac Sn$가 성립한다.

[해답 2-2] 주어진 식을$\displaystyle \frac xy+\sqrt{\frac yx}=\frac xy+\frac12\sqrt{\frac yx}+\frac12\sqrt{\frac yx}$와 같이 쓸 수 있다. 이제 $\displaystyle n=3$인 경우의 산술평균 기하평균 부등식에 의하여$\displaystyle \frac xy+\frac12\sqrt{\frac yx}+\frac12\sqrt{\frac yx}\ge3\sqrt[3]{\frac xy\frac12\sqrt{\frac yx}\frac12\sqrt{\frac yx}}=\frac3{\sqrt[3]4}$여기서 등호는 $\displaystyle \frac xy=\frac12\sqrt{\frac yx}$일 때 성립하므로, 최소값은 $\displaystyle \frac3{\sqrt[3]4}$이고 $\displaystyle y=\sqrt[3]4x$일 때 얻어진다.

[해답 2-3] $\displaystyle n=2$인 경우의 산술평균 기하평균 부등식에 의하여 $\displaystyle \frac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$와 $\displaystyle \frac{c+d}2\ge\sqrt{cd}$를 얻고, 이 부등식들을 이용하면$\displaystyle \frac{a+b+c+d}4=\frac{\frac{a+b}2+\frac{c+d}2}2\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}2$이 된다. 다시 $\displaystyle n=2$인 경우의 산술평균 기하평균 부등식에 의하여$\displaystyle \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{cd}}2\ge\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}=\sqrt[4]{abcd}$이다.

[해답 2-4] 주어진 식은$\displaystyle \frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}-3$이다. 그런데$\displaystyle \begin{aligned}\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}&=(a+b+c)\left(\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b}\right)\\&=\frac12((a+b)+(b+c)+(c+a))\left(\frac1{b+c}+\frac1{c+a}+\frac1{a+b}\right)\end{aligned}$이다. 마지막 결과의 각 인수에 산술 기하평균 부등식을 적용하면 이것은$\displaystyle \ge\frac12\,3\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}\,3\sqrt[3]{\frac1{b+c}\frac1{c+a}\frac1{a+b}}=\frac92$그러므로$\displaystyle \frac a{b+c}+\frac b{c+a}+\frac c{a+b}\ge\frac92-3=\frac32$이다.