자연계열 1번

[문제 1-1] 문제의 원 $\displaystyle C$와 타원 $\displaystyle E$를 함께 좌표평면에 그리면 다음과 같다.

$\displaystyle y$-축에 나란한 직선 $\displaystyle x=k$가 원 $\displaystyle C$, 타원 $\displaystyle E$와 만나는 점을 그림과 같이 각각 $\displaystyle P,Q$라하면, $\displaystyle P$의 좌표는 $\displaystyle (k,\sqrt{a^2-k^2})$이고 $\displaystyle Q$의 좌표는 $\displaystyle \left(k,\frac ba\sqrt{a^2-k^2}\right)$이다. 그러므로, $\displaystyle y$-축에 나란한 직선 $\displaystyle x=k$에 의해 $\displaystyle C,E$의 잘린 선분의 길이는 각각 $\displaystyle 2\sqrt{a^2-k^2}$과 $\displaystyle \frac{2b}a\sqrt{a^2-k^2}$이고 그 비는 $\displaystyle a:b$로 일정하다. 따라서, 카발리에리의 원리에 의해 $\displaystyle C$와 $\displaystyle E$의 넓이의 비도 $\displaystyle a:b$이다. 그런데, $\displaystyle C$의 넓이는 $\displaystyle \pi a^2$이다. 그러므로, $\displaystyle E$의 넓이는 $\displaystyle \frac ba\times\pi a^2=\pi ab$이다.

[문제 1-2] 원점에서 $\displaystyle x$-축에 접하고 있던 반지름이 각각 $\displaystyle 1$과 $\displaystyle r$인 원에 의해 생성된 싸이클로이드곡선 $\displaystyle S_1$과 $\displaystyle S_2$가 다음 그림과 같이 위치하고 있다고 하자. (그림은 $\displaystyle r>1$인 경우를 나타내고 있다.)

$\displaystyle O$에서 시작하는 임의의 반직선 $\displaystyle \ell$이 $\displaystyle S_1,S_2$와 만나는 점을 각각 $\displaystyle P,Q$라 하고, $\displaystyle P$의 좌표가 $\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)$라 하자. 그러면, 좌표가 $\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))$인 점은 직선 $\displaystyle \ell$ 위에 있으면서 동시에 싸이클로이드곡선 $\displaystyle S_2$ 위에 있게 된다. 즉, $\displaystyle Q$의 좌표가 $\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))$가 된다. 따라서, $\displaystyle OP:OQ=(t-\sin t):r(t-\sin t)=1:r$이 되어 일정하므로 $\displaystyle S_1$과 $\displaystyle S_2$는 닮은꼴이다.

[문제 1-3] 다음 그림에서

$\displaystyle t=\angle PSA^{\prime}$이라 하면, $\displaystyle AP=rt$이다. 그러면, $\displaystyle CQ=BP=AB-AP=\pi r-rt=r(\pi-t)$가 되므로 $\displaystyle \angle QSC^{\prime}=\pi-t$가 된다. 따라서,$\displaystyle \angle PSC^{\prime}=\pi-\angle QSC^{\prime}=\pi-(\pi-t)=t=\angle PSA^{\prime}$이 되어 $\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}$은 $\displaystyle AB$에 평행하게 된다.

[문제 1-4] [문제 1-3]에 의해 다음 그림의 선분 $\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}$은 직선 $\displaystyle AB$에 평행인 직선에 의해 두 싸이클로이드곡선 $\displaystyle AA^{\prime}C$와 $\displaystyle CC^{\prime}A$으로 둘러싸인 영역이 잘린 부분이면서 원 $\displaystyle S$가 잘린 부분이기도 하다.

따라서, 직선 $\displaystyle AB$에 평행인 직선으로 원 $\displaystyle S$와 $\displaystyle S^{\prime}$을 각각 자른 선분 $\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}$과 선분 $\displaystyle EF$는 길이가 같게 된다. 그러면, 카발리에리의 원리에 의해 두 싸이클로이드곡선 $\displaystyle AA^{\prime}C$와 $\displaystyle CC^{\prime}A$으로 둘러싸인 영역의 넓이는 원 $\displaystyle S^{\prime}$의 넓이와 같은 $\displaystyle \pi r^2$이 된다. 그러므로 구하는 넓이는 두 싸이클로이드곡선 $\displaystyle AA^{\prime}C$와 $\displaystyle CC^{\prime}A$으로 둘러싸인 영역의 넓이의 반에 $\displaystyle \triangle ABC$의 넓이를 더하면 되므로 $\displaystyle \frac12\pi r^2+\frac12\pi r\cdot2r=\frac32\pi r^2$이다.