수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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아주대 2012학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2012mo/jayeon_1

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문제

바퀴에 야광패널이 붙은 자전거가 어둠 속에서 지나가면 이 야광패널이 매우 독특한 곡선을 그리게 된다. 이 곡선을 수학적으로 정의하면 싸이클로이드(cycloid)곡선이 된다. 싸이클로이드곡선은 직선 위를 미끄러지지 않고 굴러가는 원 위의 한 점이 그리는 곡선이다.

싸이클로이드곡선을 방정식으로 나타낼 때는 매개변수를 이용한 방정식으로 나타내는 것이 편리하다.

굴러가는 원 위 점이 그리는 싸이클로이드

위 그림에서, 원점에서 x\displaystyle x-축에 접하고 있는 반지름 r\displaystyle r인 원 C\displaystyle C가 x\displaystyle x-축을 따라 오른쪽으로 굴러 이동하여 점 P\displaystyle P에서 접하는 원 C′\displaystyle C^{\prime}이 되었다고 하자, 그리고 원점과 접한 원 위의 점 A\displaystyle A는 이 이동으로 인해 접점 P\displaystyle P로부터 시계방향으로 θ\displaystyle \theta만큼 돌아간 A′\displaystyle A^{\prime}의 위치에 오게 되었다고 하자. A′\displaystyle A^{\prime}의 좌표를 (x,y)\displaystyle (x,y)라 하면 이 싸이클로이드곡선의 방정식은 매개변수방정식x=r(θ−sin⁡(θ)),y=r(1−cos⁡(θ))\displaystyle x=r(\theta-\sin(\theta)),\quad y=r(1-\cos(\theta))로 주어진다. 이것은 선분 AP\displaystyle AP와 원호 A′P\displaystyle A^{\prime}P의 길이가 같고 rθ\displaystyle r\theta이기 때문에 x=AP−A′H=rθ−rsin⁡(θ)=r(θ−sin⁡(θ))\displaystyle x=AP-A^{\prime}H=r\theta-r\sin(\theta)=r(\theta-\sin(\theta))이고 y=C′P−C′H=r−rcos⁡(θ)=r(1−cos⁡(θ))\displaystyle y=C^{\prime}P-C^{\prime}H=r-r\cos(\theta)=r(1-\cos(\theta))이기 때문이다. 이 방정식에 적절하게 적분을 적용하면, 싸이클로이드곡선의 길이나 싸이클로이드곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구할 수 있다.

미적분학이 개발되기 전인 17세기 초반에 로베르발(Roberval)은 카발리에리(Cavalieri)의 원리를 적용하여 싸이클로이드곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구했다.

카발리에리의 원리. 이탈리아의 수학자 카발리에리가 발견한 원리로서, 두 입체 V1,V2\displaystyle V_1,V_2를 정해진 한 평면과 평행인 임의의 평면으로 자를 때, V1,V2\displaystyle V_1,V_2의 잘린 부분의 넓이의 비가 항상 s:t\displaystyle s:t이면 두 입체 V1,V2\displaystyle V_1,V_2의 부피의 비도 s:t\displaystyle s:t가 된다.

이 카발리에리의 원리는 두 평면도형 S1,S2\displaystyle S_1,S_2와 그 넓이에 대해서도 다음과 같이 성립한다: 정해진 한 직선에 평행인 임의의 직선으로 두 도형 S1,S2\displaystyle S_1,S_2를 자를 때, S1,S2\displaystyle S_1,S_2의 잘린 두 선분의 길이의 비가 항상 s:t\displaystyle s:t이면 S1,S2\displaystyle S_1,S_2의 넓이의 비도 s:t\displaystyle s:t이다

[문제 1-1] (10 점) 반지름이 a\displaystyle a인 원 C\displaystyle C와 장축과 단축이 각각 a\displaystyle a와 b\displaystyle b인 타원 E\displaystyle E(예컨대, 방정식 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1로 주어지는 타원)에 대해 카발리에리의 원리를 적용하여 타원 E\displaystyle E의 넓이를 구하라.Caution. 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0\displaystyle a>b>0)의 장축의 길이는 a\displaystyle a가 아니라 2a\displaystyle 2a이고, 단축의 길이는 b\displaystyle b가 아니라 2b\displaystyle 2b이다: 문제 1-1에서는 타원의 장축과 단축을 각각 a\displaystyle a, b\displaystyle b라고 하였지만, 함께 제시한 방정식 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1에서 두 축의 길이는 각각 2a\displaystyle 2a, 2b\displaystyle 2b이다. 예시답안은 이 방정식에 따라 넓이를 πab\displaystyle \pi ab로 구하고 있다. 두 축의 길이가 실제로 a\displaystyle a, b\displaystyle b라면 넓이는 πab4\displaystyle \frac{\pi ab}{4}이므로, 축 전체의 길이와 그 절반을 구별해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 1-2] (15 점) 원이 한 바퀴 돌아 만들어진 싸이클로이드곡선은 모두 닮은꼴임을 보여라. (두 곡선 S1\displaystyle S_1과 S2\displaystyle S_2가 닮은꼴이라 함은, S1\displaystyle S_1과 S2\displaystyle S_2를 적당히 위치시키고 적당한 점 O\displaystyle O를 잡으면 O\displaystyle O에서 시작하는 임의의 반직선이 곡선 S1,S2\displaystyle S_1,S_2와 각각 만나는 점 P,Q\displaystyle P,Q에 대해 비 OP:OQ\displaystyle OP:OQ가 일정하게 됨을 뜻한다.)

※ 다음 그림을 참조하여 [문제 1-3,4]에 답하라.

반대 방향으로 굴린 원과 두 싸이클로이드

위 그림에서,곡선 AA′C\displaystyle AA^{\prime}C는 A\displaystyle A에서 접하고 있던 반지름 r\displaystyle r인 원이 선분 AB\displaystyle AB를 따라 B\displaystyle B까지 굴러갈 때 원 위의 점 A\displaystyle A가 그린 싸이클로이드곡선이고, 곡선 CC′A\displaystyle CC^{\prime}A는 C\displaystyle C에서 접하고 있던 반지름 r\displaystyle r인 원이 선분 CD\displaystyle CD를 따라 D\displaystyle D까지 굴러갈 때 원 위의 점 C\displaystyle C가 그린 싸이클로이드곡선이다. 단, AD\displaystyle AD와 BC\displaystyle BC는 이 원들의 지름이고, A′\displaystyle A^{\prime}과 C′\displaystyle C^{\prime}은 그림과 같이 P\displaystyle P와 Q\displaystyle Q에 동시에 접하는 반지름 r\displaystyle r인 원 위에 있다.

[문제 1-3] (15 점) 선분 A′C′\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}이 선분 AB\displaystyle AB에 평행함을 보여라.

[문제 1-4] (10 점) 카발리에리의 원리와 [문제 1-3]의 결과를 이용하여 싸이클로이드곡선 AA′C\displaystyle AA^{\prime}C와 선분 AB\displaystyle AB 그리고 원의 지름 BC\displaystyle BC로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하라.

해설강의 준비중

아주대 2012학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2012mo/jayeon_1

[문제 1-1] 문제의 원 C\displaystyle C와 타원 E\displaystyle E를 함께 좌표평면에 그리면 다음과 같다.

원과 타원의 평행한 단면 비교

y\displaystyle y-축에 나란한 직선 x=k\displaystyle x=k가 원 C\displaystyle C, 타원 E\displaystyle E와 만나는 점을 그림과 같이 각각 P,Q\displaystyle P,Q라하면, P\displaystyle P의 좌표는 (k,a2−k2)\displaystyle (k,\sqrt{a^2-k^2})이고 Q\displaystyle Q의 좌표는 (k,baa2−k2)\displaystyle \left(k,\frac ba\sqrt{a^2-k^2}\right)이다. 그러므로, y\displaystyle y-축에 나란한 직선 x=k\displaystyle x=k에 의해 C,E\displaystyle C,E의 잘린 선분의 길이는 각각 2a2−k2\displaystyle 2\sqrt{a^2-k^2}과 2baa2−k2\displaystyle \frac{2b}a\sqrt{a^2-k^2}이고 그 비는 a:b\displaystyle a:b로 일정하다. 따라서, 카발리에리의 원리에 의해 C\displaystyle C와 E\displaystyle E의 넓이의 비도 a:b\displaystyle a:b이다. 그런데, C\displaystyle C의 넓이는 πa2\displaystyle \pi a^2이다. 그러므로, E\displaystyle E의 넓이는 ba×πa2=πab\displaystyle \frac ba\times\pi a^2=\pi ab이다.

[문제 1-2] 원점에서 x\displaystyle x-축에 접하고 있던 반지름이 각각 1\displaystyle 1과 r\displaystyle r인 원에 의해 생성된 싸이클로이드곡선 S1\displaystyle S_1과 S2\displaystyle S_2가 다음 그림과 같이 위치하고 있다고 하자. (그림은 r>1\displaystyle r>1인 경우를 나타내고 있다.)

두 싸이클로이드의 닮음

O\displaystyle O에서 시작하는 임의의 반직선 ℓ\displaystyle \ell이 S1,S2\displaystyle S_1,S_2와 만나는 점을 각각 P,Q\displaystyle P,Q라 하고, P\displaystyle P의 좌표가 (t−sin⁡t,1−cos⁡t)\displaystyle (t-\sin t,1-\cos t)라 하자. 그러면, 좌표가 (r(t−sin⁡t),r(1−cos⁡t))\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))인 점은 직선 ℓ\displaystyle \ell 위에 있으면서 동시에 싸이클로이드곡선 S2\displaystyle S_2 위에 있게 된다. 즉, Q\displaystyle Q의 좌표가 (r(t−sin⁡t),r(1−cos⁡t))\displaystyle (r(t-\sin t),r(1-\cos t))가 된다. 따라서, OP:OQ=(t−sin⁡t):r(t−sin⁡t)=1:r\displaystyle OP:OQ=(t-\sin t):r(t-\sin t)=1:r이 되어 일정하므로 S1\displaystyle S_1과 S2\displaystyle S_2는 닮은꼴이다.

[문제 1-3] 다음 그림에서

두 싸이클로이드의 같은 높이에 놓인 두 점

t=∠PSA′\displaystyle t=\angle PSA^{\prime}이라 하면, AP=rt\displaystyle AP=rt이다. 그러면, CQ=BP=AB−AP=πr−rt=r(π−t)\displaystyle CQ=BP=AB-AP=\pi r-rt=r(\pi-t)가 되므로 ∠QSC′=π−t\displaystyle \angle QSC^{\prime}=\pi-t가 된다. 따라서,∠PSC′=π−∠QSC′=π−(π−t)=t=∠PSA′\displaystyle \angle PSC^{\prime}=\pi-\angle QSC^{\prime}=\pi-(\pi-t)=t=\angle PSA^{\prime}이 되어 A′C′\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}은 AB\displaystyle AB에 평행하게 된다.

[문제 1-4] [문제 1-3]에 의해 다음 그림의 선분 A′C′\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}은 직선 AB\displaystyle AB에 평행인 직선에 의해 두 싸이클로이드곡선 AA′C\displaystyle AA^{\prime}C와 CC′A\displaystyle CC^{\prime}A으로 둘러싸인 영역이 잘린 부분이면서 원 S\displaystyle S가 잘린 부분이기도 하다.

원과 두 싸이클로이드 사이 영역의 단면 비교

따라서, 직선 AB\displaystyle AB에 평행인 직선으로 원 S\displaystyle S와 S′\displaystyle S^{\prime}을 각각 자른 선분 A′C′\displaystyle A^{\prime}C^{\prime}과 선분 EF\displaystyle EF는 길이가 같게 된다. 그러면, 카발리에리의 원리에 의해 두 싸이클로이드곡선 AA′C\displaystyle AA^{\prime}C와 CC′A\displaystyle CC^{\prime}A으로 둘러싸인 영역의 넓이는 원 S′\displaystyle S^{\prime}의 넓이와 같은 πr2\displaystyle \pi r^2이 된다. 그러므로 구하는 넓이는 두 싸이클로이드곡선 AA′C\displaystyle AA^{\prime}C와 CC′A\displaystyle CC^{\prime}A으로 둘러싸인 영역의 넓이의 반에 △ABC\displaystyle \triangle ABC의 넓이를 더하면 되므로 12πr2+12πr⋅2r=32πr2\displaystyle \frac12\pi r^2+\frac12\pi r\cdot2r=\frac32\pi r^2이다.

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