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자연계열 2번

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아주대 2012학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2012mo/jayeon_2

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문제

문제 2 (50점)

17세기의 수학자 베르누이(Jacob Bernoulli)는 연속한 정수들의 거듭제곱의 합에 대한 일반 공식을 찾으려던 과정 중에 매우 특별한 성질을 갖는 다항식들을 발견했다. 이 다항식들은 그의 이름을 따라 명명되었고, 수학의 여러 분야와 깊게 관련되어 있음이 밝혀졌다.

먼저, 0\displaystyle 0차 베르누이 다항식은 B0(x)=1\displaystyle B_{0}(x)=1이다. m≥1\displaystyle m\ge 1이라고 하자. m\displaystyle m차 베르누이 다항식 Bm(x)\displaystyle B_{m}(x)는 다음과 같이 귀납적으로 정의된다. 만일 (m−1)\displaystyle (m-1)차 베르누이 다항식 Bm−1(x)\displaystyle B_{m-1}(x)가 알려졌으면, m\displaystyle m차 베르누이 다항식 Bm(x)\displaystyle B_{m}(x)는 조건ddxBm(x)=mBm−1(x)⋯⋯(1)\displaystyle \frac{d}{dx}B_{m}(x)=mB_{m-1}(x)\quad\cdots\cdots(1)와∫01Bm(x)dx=0⋯⋯(2)\displaystyle \int_{0}^{1}B_{m}(x)dx=0\quad\cdots\cdots(2)을 만족하도록 결정된다. B1(x)\displaystyle B_{1}(x)를 구해 보자. m=1\displaystyle m=1일 때 식 (1)을 적용하면 B1(x)\displaystyle B_{1}(x)는 B0(x)\displaystyle B_{0}(x)의 원시함수이므로, 적당한 상수 b1\displaystyle b_{1}에 대하여 B1(x)=x+b1\displaystyle B_{1}(x)=x+b_{1}으로 쓸 수 있다. 식 (2)에 의하여 B1(x)\displaystyle B_{1}(x)의 적분값이 0\displaystyle 0이므로 b1=−12\displaystyle b_{1}=-\frac{1}{2}임을 계산할 수 있다. 따라서B1(x)=x−12\displaystyle B_{1}(x)=x-\frac{1}{2}이다. 같은 과정을 반복하여 차례대로B2(x)=x2−x+16\displaystyle B_{2}(x)=x^{2}-x+\frac{1}{6}B3(x)=x3−32x2+12x\displaystyle B_{3}(x)=x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}xB4(x)=x4−2x3+x2−130\displaystyle B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-\frac{1}{30}B5(x)=x5−52x4+53x3−16x\displaystyle B_{5}(x)=x^{5}-\frac{5}{2}x^{4}+\frac{5}{3}x^{3}-\frac{1}{6}x등을 구할 수 있다. m\displaystyle m차 베르누이 다항식의 상수항을 m\displaystyle m번째 베르누이 수라 하고 bm\displaystyle b_{m}으로 쓴다. 다시 말하면, bm=Bm(0)\displaystyle b_{m}=B_{m}(0)이다. 예를 들면, b0=1\displaystyle b_{0}=1, b1=−12\displaystyle b_{1}=-\frac{1}{2}, b2=16\displaystyle b_{2}=\frac{1}{6}, b3=0\displaystyle b_{3}=0, b4=−130\displaystyle b_{4}=-\frac{1}{30}, b5=0\displaystyle b_{5}=0 등이다. 수학적 귀납법을 사용하면Bm(x)=∑k=0mm!k!(m−k)!bkxm−k⋯⋯(3)\displaystyle B_{m}(x)=\sum_{k=0}^{m}\frac{m!}{k!(m-k)!}b_{k}x^{m-k}\quad\cdots\cdots(3)을 보일 수 있다. 여기서 0!=1\displaystyle 0!=1이다. 증명은 생략한다.

[문제 2-1] (10점)구간 0≤x≤1\displaystyle 0\le x\le 1에서 3\displaystyle 3차 베르누이 다항식 B3(x)\displaystyle B_{3}(x)의 최댓값과 최솟값을 구하라.

[문제 2-2] (10점)6\displaystyle 6차 베르누이 다항식 B6(x)\displaystyle B_{6}(x)를 계산하라.

[문제 2-3] (15점)(a) 모든 정수 m≥2\displaystyle m\ge 2에 대하여 Bm(0)=Bm(1)\displaystyle B_{m}(0)=B_{m}(1)임을 보여라.(b) m≥1\displaystyle m\ge 1이면bm=−∑k=0m−1m!k!(m−k)!bkm−k+1\displaystyle b_{m}=-\sum_{k=0}^{m-1}\frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{b_{k}}{m-k+1}가 성립함을 보여라.

[문제 2-4] (15점)(a) 모든 정수 m≥0\displaystyle m\ge 0에 대하여Bm+1(x+1)−Bm+1(x)=(m+1)xm\displaystyle B_{m+1}(x+1)-B_{m+1}(x)=(m+1)x^{m}이 성립함을 보여라.(b) 일반적으로 모든 자연수 n\displaystyle n과 m\displaystyle m에 대하여 다음 식이 성립함을 증명하라.1m+2m+⋯+nm=1m+1(Bm+1(n+1)−bm+1)\displaystyle 1^{m}+2^{m}+\cdots+n^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-b_{m+1}\right)

해설강의 준비중

논술 자연수의 거듭제곱의 합과 베르누이 다항식

관련 개념강의 준비중

아주대 2012학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2012mo/jayeon_2

+10점 · 구간 [0,1]\displaystyle [0,1]에서 B3(x)\displaystyle B_{3}(x)의 최댓값과 최솟값을 올바르게 구하였는가?

[문제 2-1]도함수의 영점을 구하면 B3′(x)=3x2−3x+12=0\displaystyle B_{3}^{\prime}(x)=3x^{2}-3x+\frac{1}{2}=0으로부터 x1=3−36\displaystyle x_{1}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}과 x2=3+36\displaystyle x_{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}을 얻는다.두 점은 모두 0\displaystyle 0과 1\displaystyle 1 사이에 있다. B3(x)\displaystyle B_{3}(x)는 x=x1\displaystyle x=x_{1}에서 극댓값 B3(x1)=336\displaystyle B_{3}(x_{1})=\frac{\sqrt{3}}{36}와 x=x2\displaystyle x=x_{2}에서 극솟값 B3(x2)=−336\displaystyle B_{3}(x_{2})=-\frac{\sqrt{3}}{36}을 갖는다.그런데 B3(0)=0\displaystyle B_{3}(0)=0이고 B3(1)=0\displaystyle B_{3}(1)=0이므로 B3(x)\displaystyle B_{3}(x)의 최댓값은 336\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{36}이고최솟값은 −336\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{36}이다.

+10점 · 6\displaystyle 6차 베르누이 다항식 B6(x)\displaystyle B_{6}(x)를 올바르게 계산하였는가?

[문제 2-2]B6(x)\displaystyle B_{6}(x)는 6B5(x)=6x5−15x4+10x3−x\displaystyle 6B_{5}(x)=6x^{5}-15x^{4}+10x^{3}-x의 원시함수이므로B6(x)=x6−3x5+52x4−12x2+b6\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+\frac{5}{2}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+b_{6}이다.조건 ∫01B6(x)dx=0\displaystyle \int_{0}^{1}B_{6}(x)dx=0을 만족해야 하므로 b6=142\displaystyle b_{6}=\frac{1}{42}을 얻는다.따라서B6(x)=x6−3x5+52x4−12x2+142\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+\frac{5}{2}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{42}이다.

+4점 · 모든 정수 m≥2\displaystyle m\ge 2에 대하여 Bm(0)=Bm(1)\displaystyle B_{m}(0)=B_{m}(1)임을 올바르게 보였는가?

[문제 2-3](a) m≥2\displaystyle m\ge 2이면, 식 (1)과 (2)를 이용하여0=∫01Bm−1(x)dx=1m(Bm(1)−Bm(0))\displaystyle 0=\int_{0}^{1}B_{m-1}(x)dx=\frac{1}{m}\left(B_{m}(1)-B_{m}(0)\right)이다.그래서 Bm(0)=Bm(1)\displaystyle B_{m}(0)=B_{m}(1)가 성립한다.

+5점 · ∑k=0m(m+1)!k!(m−k+1)!bk=0\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\frac{(m+1)!}{k!(m-k+1)!}b_{k}=0을 보였는가?

(b) m≥1\displaystyle m\ge 1이면, (a)에서 증명된 사실과 본문의 식 (3)을 이용하여bm+1=Bm+1(0)=Bm+1(1)=∑k=0m+1(m+1)!k!(m−k+1)!bk\displaystyle b_{m+1}=B_{m+1}(0)=B_{m+1}(1)=\sum_{k=0}^{m+1}\frac{(m+1)!}{k!(m-k+1)!}b_{k}을 얻는다.양변에서 bm+1\displaystyle b_{m+1}을 지우면,∑k=0m(m+1)!k!(m−k+1)!bk=0\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\frac{(m+1)!}{k!(m-k+1)!}b_{k}=0이 된다.

+6점 · bm=−∑k=0m−1m!k!(m−k)!bkm−k+1\displaystyle b_{m}=-\sum_{k=0}^{m-1}\frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{b_{k}}{m-k+1}가 성립함을 보였는가?

한편 좌변은(m+1)bm+∑k=0m−1(m+1)!k!(m−k+1)!bk=(m+1)bm+(m+1)∑k=0m−1m!k!(m−k)!bkm−k+1\displaystyle (m+1)b_{m}+\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(m+1)!}{k!(m-k+1)!}b_{k}=(m+1)b_{m}+(m+1)\sum_{k=0}^{m-1}\frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{b_{k}}{m-k+1}이므로 원하는 식이 증명된다.

+10점 · 수학적 귀납법을 올바르게 사용하였는가?

[문제 2-4](a) 수학적 귀납법을 사용한다. m=0\displaystyle m=0인 경우B1(x+1)−B1(x)=(x+1)−12−(x−12)=1\displaystyle B_{1}(x+1)-B_{1}(x)=(x+1)-\frac{1}{2}-\left(x-\frac{1}{2}\right)=1이므로 사실이다. Bm+1(x+1)−Bm+1(x)=(m+1)xm\displaystyle B_{m+1}(x+1)-B_{m+1}(x)=(m+1)x^{m}이 성립한다고 가정하자. Bm+2(x)\displaystyle B_{m+2}(x)는 (m+2)Bm+1(x)\displaystyle (m+2)B_{m+1}(x)의 원시함수이므로 이제Bm+2(x+1)−Bm+2(x)=∫(m+2)Bm+1(x+1)dx−∫(m+2)Bm+1(x)dx\displaystyle B_{m+2}(x+1)-B_{m+2}(x)=\int(m+2)B_{m+1}(x+1)dx-\int(m+2)B_{m+1}(x)dx=(m+2)(m+1)∫xmdx\displaystyle =(m+2)(m+1)\int x^{m}dx=(m+2)xm+1+C\displaystyle =(m+2)x^{m+1}+C이고,여기서 C\displaystyle C는 적분상수이다. x=0\displaystyle x=0을 대입하면 Bm+2(1)−Bm+2(0)=0\displaystyle B_{m+2}(1)-B_{m+2}(0)=0이므로 C=0\displaystyle C=0이다.증명이 끝났다.

+5점 · 모든 자연수 n\displaystyle n과 m\displaystyle m에 대하여 1m+2m+⋯+nm=1m+1(Bm+1(n+1)−bm+1)\displaystyle 1^{m}+2^{m}+\cdots+n^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-b_{m+1}\right)이 성립함을 올바르게 증명하였는가?

(b) (a)의 식에 x=1,2,…,n\displaystyle x=1,2,\ldots,n을 차례대로 대입하여 합하면,∑k=1nkm=∑k=1n1m+1(Bm+1(k+1)−Bm+1(k))=1m+1(Bm+1(n+1)−Bm+1(1))\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(k+1)-B_{m+1}(k)\right)=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)이 된다. Bm+1(1)=bm+1\displaystyle B_{m+1}(1)=b_{m+1}이므로 원하던 식이 증명되었다.

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