자연계열 2번

[문제 2-1]도함수의 영점을 구하면 $\displaystyle B_{3}^{\prime}(x)=3x^{2}-3x+\frac{1}{2}=0$으로부터 $\displaystyle x_{1}=\frac{3-\sqrt{3}}{6}$과 $\displaystyle x_{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}$을 얻는다.두 점은 모두 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$ 사이에 있다. $\displaystyle B_{3}(x)$는 $\displaystyle x=x_{1}$에서 극댓값 $\displaystyle B_{3}(x_{1})=\frac{\sqrt{3}}{36}$와 $\displaystyle x=x_{2}$에서 극솟값 $\displaystyle B_{3}(x_{2})=-\frac{\sqrt{3}}{36}$을 갖는다.그런데 $\displaystyle B_{3}(0)=0$이고 $\displaystyle B_{3}(1)=0$이므로 $\displaystyle B_{3}(x)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{36}$이고최솟값은 $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{36}$이다.

[문제 2-2]$\displaystyle B_{6}(x)$는 $\displaystyle 6B_{5}(x)=6x^{5}-15x^{4}+10x^{3}-x$의 원시함수이므로$\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+\frac{5}{2}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+b_{6}$이다.조건 $\displaystyle \int_{0}^{1}B_{6}(x)dx=0$을 만족해야 하므로 $\displaystyle b_{6}=\frac{1}{42}$을 얻는다.따라서$\displaystyle B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+\frac{5}{2}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{42}$이다.

[문제 2-3](a) $\displaystyle m\ge 2$이면, 식 (1)과 (2)를 이용하여$\displaystyle 0=\int_{0}^{1}B_{m-1}(x)dx=\frac{1}{m}\left(B_{m}(1)-B_{m}(0)\right)$이다.그래서 $\displaystyle B_{m}(0)=B_{m}(1)$가 성립한다.

(b) $\displaystyle m\ge 1$이면, (a)에서 증명된 사실과 본문의 식 (3)을 이용하여$\displaystyle b_{m+1}=B_{m+1}(0)=B_{m+1}(1)=\sum_{k=0}^{m+1}\frac{(m+1)!}{k!(m-k+1)!}b_{k}$을 얻는다.양변에서 $\displaystyle b_{m+1}$을 지우면,$\displaystyle \sum_{k=0}^{m}\frac{(m+1)!}{k!(m-k+1)!}b_{k}=0$이 된다.

한편 좌변은$\displaystyle (m+1)b_{m}+\sum_{k=0}^{m-1}\frac{(m+1)!}{k!(m-k+1)!}b_{k}=(m+1)b_{m}+(m+1)\sum_{k=0}^{m-1}\frac{m!}{k!(m-k)!}\frac{b_{k}}{m-k+1}$이므로 원하는 식이 증명된다.

[문제 2-4](a) 수학적 귀납법을 사용한다. $\displaystyle m=0$인 경우$\displaystyle B_{1}(x+1)-B_{1}(x)=(x+1)-\frac{1}{2}-\left(x-\frac{1}{2}\right)=1$이므로 사실이다. $\displaystyle B_{m+1}(x+1)-B_{m+1}(x)=(m+1)x^{m}$이 성립한다고 가정하자. $\displaystyle B_{m+2}(x)$는 $\displaystyle (m+2)B_{m+1}(x)$의 원시함수이므로 이제$\displaystyle B_{m+2}(x+1)-B_{m+2}(x)=\int(m+2)B_{m+1}(x+1)dx-\int(m+2)B_{m+1}(x)dx$$\displaystyle =(m+2)(m+1)\int x^{m}dx$$\displaystyle =(m+2)x^{m+1}+C$이고,여기서 $\displaystyle C$는 적분상수이다. $\displaystyle x=0$을 대입하면 $\displaystyle B_{m+2}(1)-B_{m+2}(0)=0$이므로 $\displaystyle C=0$이다.증명이 끝났다.

(b) (a)의 식에 $\displaystyle x=1,2,\ldots,n$을 차례대로 대입하여 합하면,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{m}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(k+1)-B_{m+1}(k)\right)=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)$이 된다. $\displaystyle B_{m+1}(1)=b_{m+1}$이므로 원하던 식이 증명되었다.