자연계열 1번

[문제 1-1] 세 점 $\displaystyle A,B,C$에 대해$\displaystyle (3,3,1)=(1-t)(4,2,-1)+t(-1,7,9)$라 두면$\displaystyle \begin{cases}3=4(1-t)-t=4-5t\\3=2(1-t)+7t=2+5t\\1=-(1-t)+9t=-1+10t\end{cases}$이고, 이를 풀면 $\displaystyle t=\frac15$이다. 따라서 $\displaystyle t=\frac15$일 때 $\displaystyle 0\le t\le1$이고,$\displaystyle (3,3,1)=(1-t)(4,2,-1)+t(-1,7,9)$가 성립하므로 점 $\displaystyle C$는 선분 $\displaystyle AB$ 위에 있다.

[문제 1-2] 선분 $\displaystyle PQ$와 주어진 평면의 교점을 $\displaystyle R$이라 하면, 적당한 $\displaystyle 0\le t\le1$에 대해 $\displaystyle R$의 좌표는$\displaystyle (1-t)(1,1,1)+t(2,-1,3)=(1+t,1-2t,1+2t)$로 나타낼 수 있다. 이 점이 주어진 평면 위에 있기 때문에$\displaystyle 2(1+t)-(1-2t)+1+2t=3$을 만족한다. 이를 정리하면 $\displaystyle 6t+2=3$이고, 이를 풀면 $\displaystyle t=\frac16$이고, 이 값은 $\displaystyle 0\le t\le1$을 만족한다.이때 $\displaystyle R$의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac76,\frac23,\frac43\right)$이다. 따라서 구하는 점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac76,\frac23,\frac43\right)$이다.

[문제 1-3] 두 점 $\displaystyle A(0.1,0.9)$와 $\displaystyle B(1.5,0.1)$는 집합 $\displaystyle S$의 원소이다. (확인 필요) 선분 $\displaystyle AB$의 중점을 $\displaystyle M$이라 두면 $\displaystyle M$의 좌표는 $\displaystyle (0.8,0.5)$이다. 그런데,$\displaystyle \frac{2-0.8}{2+0.8}=\frac{1.2}{2.8}<\frac{1.4}{2.8}=0.5$이므로 $\displaystyle M$은 집합 $\displaystyle S$의 원소가 아니다. 따라서 집합 $\displaystyle S$는 선분 $\displaystyle AB$를 포함하지 않으므로 볼록집합이 아니다.

[문제 1-4] 선분 $\displaystyle AB$와 선분 $\displaystyle CD$가 만난다고 가정하고 그 교점을 $\displaystyle E(x,y,z)$라 두자. 그러면, $\displaystyle E$가 선분 $\displaystyle AB$ 위에 있으므로 적당한 $\displaystyle 0\le t\le1$에 대해$\displaystyle (x,y,z)=(1-t)(2,-1,1)+t(1,3,-1)=(2-t,-1+4t,1-2t)$이다. 또한 $\displaystyle E$가 선분 $\displaystyle CD$ 위에 있으므로 적당한 $\displaystyle 0\le s\le1$에 대해$\displaystyle (x,y,z)=(1-s)(3,1,2)+s(-1,2,1)=(3-4s,1+s,2-s)$이다. 따라서$\displaystyle \begin{cases}2-t=3-4s\\-1+4t=1+s\\1-2t=2-s\end{cases}$가 성립한다. 처음 두 방정식을 연립하여 풀면 $\displaystyle t=\frac35$, $\displaystyle s=\frac25$이다. 그러나 이 값은 세 번째 방정식을 만족하지 않는다. 따라서 선분 $\displaystyle AB$와 선분 $\displaystyle CD$는 만나지 않는다.

[문제 1-5] $\displaystyle A(x_1,y_1,z_1)$과 $\displaystyle B(x_2,y_2,z_2)$가 $\displaystyle T$의 원소라고 하자. 그러면, $\displaystyle x_1^2+y_1^2+z_1^2<1$이고 $\displaystyle x_2^2+y_2^2+z_2^2<1$이다. 선분 $\displaystyle AB$ 위의 임의의 점 $\displaystyle C(x,y,z)$를 $\displaystyle 0\le t\le1$을 써서$\displaystyle (x,y,z)=(1-t)(x_1,y_1,z_1)+t(x_2,y_2,z_2)=((1-t)x_1+tx_2,(1-t)y_1+ty_2,(1-t)z_1+tz_2)$로 나타내자. 그러면,$\displaystyle \begin{aligned}x^2+y^2+z^2&=((1-t)x_1+tx_2)^2+((1-t)y_1+ty_2)^2+((1-t)z_1+tz_2)^2\\&=(1-t)^2(x_1^2+y_1^2+z_1^2)+t^2(x_2^2+y_2^2+z_2^2)+2(1-t)t(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)\\&<(1-t)^2+t^2+2(1-t)t(x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2)\\&\le(1-t)^2+t^2+2(1-t)t\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}\\&<(1-t)^2+t^2+2(1-t)t=((1-t)+t)^2=1\end{aligned}$즉, $\displaystyle x^2+y^2+z^2<1$이다. 따라서 $\displaystyle C$는 $\displaystyle T$의 원소이다. 그러므로 $\displaystyle T$는 선분 $\displaystyle AB$를 포함하게 되어 볼록집합이다.