자연계열 1번

(가) $\displaystyle n$개의 실수 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n$에 의한 순서열 $\displaystyle (a_1,a_2,\cdots,a_n)$을 $\displaystyle n$차원 벡터라 하고, $\displaystyle n$차원 벡터들의 전체집합을 $\displaystyle \mathbb R^n$으로 나타낸다. $\displaystyle \mathbb R^1$, $\displaystyle \mathbb R^2$, $\displaystyle \mathbb R^3$은 각각 수직선, 좌표평면, 좌표공간과 동일시하기도 한다. $\displaystyle \mathbb R^n$의 원소 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$를 점으로 볼 수도 있다. 이 점을 $\displaystyle A$라 하면 $\displaystyle (a_1,a_2,\cdots,a_n)$을 $\displaystyle A$의 좌표라 하고 $\displaystyle A(a_1,a_2,\cdots,a_n)$으로 나타낸다.$\displaystyle n$차원 벡터들에 대해 다음과 같이 정의한다.(1) 두 $\displaystyle n$차원 벡터 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$과 $\displaystyle \vec b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$이 서로 같다는 것, 즉 $\displaystyle \vec a=\vec b$는 $\displaystyle a_1=b_1,a_2=b_2,\cdots,a_n=b_n$인 것으로 정의한다.(2) 두 $\displaystyle n$차원 벡터 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$과 $\displaystyle \vec b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$의 합 $\displaystyle \vec a+\vec b$는 $\displaystyle \vec a+\vec b=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$으로 정의한다.(3) $\displaystyle n$차원 벡터 $\displaystyle \vec a=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$과 실수 $\displaystyle r$과의 곱 $\displaystyle r\vec a$는 $\displaystyle r\vec a=(ra_1,ra_2,\cdots,ra_n)$으로 정의한다.

(나) $\displaystyle \mathbb R^n$에서 여러 가지 기하학적인 도형을 다룰 수 있다. 먼저 두 점 $\displaystyle A(a_1,a_2,\cdots,a_n)$과 $\displaystyle B(b_1,b_2,\cdots,b_n)$을 양 끝점으로 하는 선분 $\displaystyle AB$는 집합$\displaystyle \{(1-t)\vec a+t\vec b\mid\vec a=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\;\vec b=(b_1,b_2,\cdots,b_n),\;0\le t\le1\}$로 정의한다. 그러므로 점 $\displaystyle C(c_1,c_2,\cdots,c_n)$이 선분 $\displaystyle AB$ 위에 있을 필요충분조건은 $\displaystyle 0\le t\le1$인 적당한 실수 $\displaystyle t$에 대해$\displaystyle (1-t)(a_1,a_2,\cdots,a_n)+t(b_1,b_2,\cdots,b_n)=(c_1,c_2,\cdots,c_n)$즉,$\displaystyle c_1=(1-t)a_1+tb_1,\;c_2=(1-t)a_2+tb_2,\;\cdots,\;c_n=(1-t)a_n+tb_n$이 성립하는 것이다. 예를 들면, 선분 $\displaystyle AB$의 중점의 좌표는 $\displaystyle t=1/2$에 대응하는 $\displaystyle \left(\frac{a_1+b_1}2,\frac{a_2+b_2}2,\cdots,\frac{a_n+b_n}2\right)$이다.선분을 이용하여 $\displaystyle \mathbb R^n$ 내에서 삼각형과 다각형을 정의할 수 있고 다시 이것들을 이용하여 다면체 등을 정의할 수 있다. 다음의 Schwarz부등식은 $\displaystyle n$차원 벡터를 다룰 때 유용하다:(4) $\displaystyle (a_1b_1+\cdots+a_nb_n)^2\le(a_1^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+\cdots+b_n^2)$

(다) $\displaystyle \mathbb R^n$의 부분집합 $\displaystyle S$가 볼록집합(convex set)이라는 것을 다음과 같이 정의한다:정의. $\displaystyle S$에 속하는 임의의 두 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$에 대해 $\displaystyle S$가 선분 $\displaystyle AB$ 전체를 포함할 때, 즉 $\displaystyle \vec a\in S$, $\displaystyle \vec b\in S$, $\displaystyle 0\le t\le1$이면 $\displaystyle (1-t)\vec a+t\vec b\in S$일 때 $\displaystyle S$를 볼록집합이라 한다.

예를 들어보자. $\displaystyle \mathbb R^2$에 속하는 세 점 $\displaystyle A(0,0)$, $\displaystyle B(1,2)$, $\displaystyle C(3,1)$을 꼭지점으로 하는 삼각형과 그 내부를 집합 $\displaystyle S$라 하자. 다음 그림에서 직선 $\displaystyle \ell_1$, $\displaystyle \ell_2$, $\displaystyle \ell_3$의 방정식은 각각 $\displaystyle y=\frac13x$, $\displaystyle y=2x$, $\displaystyle y=-\frac12x+\frac52$이기 때문에 집합 $\displaystyle S$를 다음과 같이 나타낼 수 있다:

$\displaystyle S=\left\{(x,y)\mid0\le x\le3,\;\frac13x\le y\le2x,\;y\le-\frac12x+\frac52\right\}$이제, $\displaystyle S$가 볼록집합임을 보이기 위해 $\displaystyle (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in S$라고 하자. 그러면,$\displaystyle 0\le x_1\le3,\;\frac13x_1\le y_1\le2x_1,\;y_1\le-\frac12x_1+\frac52;$$\displaystyle 0\le x_2\le3,\;\frac13x_2\le y_2\le2x_2,\;y_2\le-\frac12x_2+\frac52$이다. 또한 $\displaystyle 0\le t\le1$이라 하고 $\displaystyle (x,y)=(1-t)(x_1,y_1)+t(x_2,y_2)$라 두면,$\displaystyle x=(1-t)x_1+tx_2\ge(1-t)\cdot0+t\cdot0=0,$$\displaystyle x=(1-t)x_1+tx_2\le(1-t)\cdot3+t\cdot3=3$이다. 그리고,$\displaystyle y=(1-t)y_1+ty_2\ge(1-t)\cdot\frac13x_1+t\cdot\frac13x_2=\frac13((1-t)x_1+tx_2)=\frac13x,$$\displaystyle y=(1-t)y_1+ty_2\le(1-t)\cdot2x_1+t\cdot2x_2=2((1-t)x_1+tx_2)=2x,$$\displaystyle y=(1-t)y_1+ty_2\le(1-t)\left(-\frac12x_1+\frac52\right)+t\left(-\frac12x_2+\frac52\right)=-\frac12x+\frac52$이다. 따라서 $\displaystyle (x,y)\in S$이다. 그러므로 $\displaystyle S$는 볼록집합이다.