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자연계열 2번

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아주대 2012학년도 수시 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2012su/jayeon_2

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문제

함수 f(x)\displaystyle f(x)는 구간 I\displaystyle I에서 정의되고, x1,x2∈I\displaystyle x_1,x_2\in I라 하자. x1\displaystyle x_1과 x2\displaystyle x_2 사이에 있는 실수는, 0보다 크고 1보다 작은 적당한 t\displaystyle t에 대하여 (1−t)x1+tx2\displaystyle (1-t)x_1+tx_2로 표시된다. x1≤x≤x2\displaystyle x_1\le x\le x_2일 때, y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프가 두 점 (x1,f(x1))\displaystyle (x_1,f(x_1))과 (x2,f(x2))\displaystyle (x_2,f(x_2))를 잇는 직선의 아래에 있으면 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 아래로 볼록하다고 말한다. 다시 말해서, 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의 1. 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 구간 I\displaystyle I에서 정의된다. 모든 x1,x2∈I\displaystyle x_1,x_2\in I와 0<t<1\displaystyle 0<t<1인 모든 실수 t\displaystyle t에 대하여 부등식(1) f((1−t)x1+tx2)≤(1−t)f(x1)+tf(x2)\displaystyle f((1-t)x_1+tx_2)\le(1-t)f(x_1)+tf(x_2)가 성립하면 f(x)\displaystyle f(x)는 구간 I\displaystyle I에서 아래로 볼록하다고 한다.

[그림 1] 아래로 볼록한 함수의 그래프

수학적 귀납법을 사용하여 부등식 (1)을 확장시킬 수 있다.

정리 2. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 I\displaystyle I에서 아래로 볼록하다고 하자. 그러면 I\displaystyle I에 있는 모든 실수 x1,x2,⋯ ,xn\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n과 t1+t2+⋯+tn=1\displaystyle t_1+t_2+\cdots+t_n=1인 모든 양의 실수 t1,t2,⋯ ,tn\displaystyle t_1,t_2,\cdots,t_n에 대하여 다음 부등식이 성립한다.(2) f(t1x1+t2x2+⋯+tnxn)≤t1f(x1)+t2f(x2)+⋯+tnf(xn)\displaystyle f(t_1x_1+t_2x_2+\cdots+t_nx_n)\le t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\cdots+t_nf(x_n)정의 1에서 부등식 (1)과 반대방향의 부등식이 성립할 때, 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 구간 I\displaystyle I에서 위로 볼록하다고 말한다. 위로 볼록한 함수에 대하여 (2)와 반대방향의 확장된 부등식이 성립할 것은 분명하다.

정리 3. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 I\displaystyle I에서 위로 볼록하다고 하자. 그러면 I\displaystyle I에 있는 모든 실수 x1,x2,⋯ ,xn\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n과 t1+t2+⋯+tn=1\displaystyle t_1+t_2+\cdots+t_n=1인 모든 양의 실수 t1,t2,⋯ ,tn\displaystyle t_1,t_2,\cdots,t_n에 대하여 다음 부등식이 성립한다.(3) f(t1x1+t2x2+⋯+tnxn)≥t1f(x1)+t2f(x2)+⋯+tnf(xn)\displaystyle f(t_1x_1+t_2x_2+\cdots+t_nx_n)\ge t_1f(x_1)+t_2f(x_2)+\cdots+t_nf(x_n)

덴마크의 수학자 젠센(Jensen)의 이름을 따라 부등식 (2)와 (3)을 젠센의 부등식이라 부른다. 함수의 볼록함은 2계 도함수를 이용하면 쉽게 확인할 수 있다.

정리 4. 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 구간 I\displaystyle I에서 두 번 미분가능하다면, 다음이 성립한다.(a) 구간 I\displaystyle I에서 f′′(x)>0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)>0이면, f(x)\displaystyle f(x)는 I\displaystyle I에서 아래로 볼록하다.(b) 구간 I\displaystyle I에서 f′′(x)<0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)<0이면, f(x)\displaystyle f(x)는 I\displaystyle I에서 위로 볼록하다.

젠센의 부등식을 이용하여 다른 부등식들을 증명할 수 있다. 이차 함수 f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2을 생각하자. 2계 도함수는 f′′(x)=2>0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2>0이므로 f(x)=x2\displaystyle f(x)=x^2은 항상 아래로 볼록하다. 부등식 (1)에서 t=12\displaystyle t=\frac12이라 두면, 모든 x1\displaystyle x_1, x2\displaystyle x_2에 대하여 부등식(x1+x22)2≤x122+x222\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}2\right)^2\le\frac{x_1^2}2+\frac{x_2^2}2이 성립한다. 이 식을 정리하면x1x2≤x12+x222\displaystyle x_1x_2\le\frac{x_1^2+x_2^2}2이 되고, 이제 x12=a\displaystyle x_1^2=a, x22=b\displaystyle x_2^2=b라 놓으면 유명한 산술평균–기하평균 부등식을 얻는다.

예제 5. 양의 실수 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c가 a+b+c=1\displaystyle a+b+c=1을 만족할 때,(a+1a)3+(b+1b)3+(c+1c)3\displaystyle \left(a+\frac1a\right)^3+\left(b+\frac1b\right)^3+\left(c+\frac1c\right)^3의 최솟값을 구해 보자. 먼저 함수 f(x)=(x+1x)3\displaystyle f(x)=\left(x+\frac1x\right)^3을 생각한다. x>0\displaystyle x>0이면 f′′(x)=6(x+1x)(1−1x2)2+6(x+1x)21x3>0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=6\left(x+\frac1x\right)\left(1-\frac1{x^2}\right)^2+6\left(x+\frac1x\right)^2\frac1{x^3}>0이므로 f(x)\displaystyle f(x)는 아래로 볼록하다. 주어진 식은f(a)+f(b)+f(c)=3(f(a)+f(b)+f(c))3\displaystyle f(a)+f(b)+f(c)=\frac{3(f(a)+f(b)+f(c))}3와 같다. 젠센의 부등식 (2)를 이용하면3(f(a)+f(b)+f(c))3≥3f(a+b+c3)=3f(13)=3(13+3)3=3(103)3\displaystyle \frac{3(f(a)+f(b)+f(c))}3\ge3f\left(\frac{a+b+c}3\right)=3f\left(\frac13\right)=3\left(\frac13+3\right)^3=3\left(\frac{10}3\right)^3을 얻는다. a=b=c=1/3\displaystyle a=b=c=1/3일 때 등호가 성립하므로, 구하는 최소값은 10009\displaystyle \frac{1000}9이다.

[문제 2-1] (12점) 양의 실수 a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d가 a+b+c+d=1\displaystyle a+b+c+d=1을 만족할 때,aln⁡a+bln⁡b+cln⁡c+dln⁡d\displaystyle a\ln a+b\ln b+c\ln c+d\ln d의 최솟값을 구하라.

[문제 2-2] (13점) 임의의 삼각형 ABC\displaystyle ABC에 대하여sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤338\displaystyle \sin A\sin B\sin C\le\frac{3\sqrt3}8이 성립함을 보여라. 그리고 등호가 성립할 수 있는지 말하라.

[문제 2-3] (12점) 자연수 r\displaystyle r이 주어졌을 때, 양의 실수 a1,a2,⋯ ,an\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n의 r\displaystyle r승 평균을Sr=(a1r+a2r+⋯+anrn)1/r\displaystyle S_r=\left(\frac{a_1^r+a_2^r+\cdots+a_n^r}n\right)^{1/r}이라 정의한다. 자연수 r\displaystyle r과 t\displaystyle t가 r<t\displaystyle r<t이면, Sr≤St\displaystyle S_r\le S_t임을 증명하라.(힌트: 함수 f(x)=xr/t\displaystyle f(x)=x^{r/t}는 x>0\displaystyle x>0일 때 위로 볼록하다는 사실을 이용하라.)

[문제 2-4] (13점) 양의 실수 x1,x2,⋯ ,xn\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n이 x1+x2+⋯+xn=n\displaystyle x_1+x_2+\cdots+x_n=n을 만족할 때,(x12+1x12)5+(x22+1x22)5+⋯+(xn2+1xn2)5\displaystyle \left(x_1^2+\frac1{x_1^2}\right)^5+\left(x_2^2+\frac1{x_2^2}\right)^5+\cdots+\left(x_n^2+\frac1{x_n^2}\right)^5의 최솟값을 구하라.

해설강의 준비중

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[문제 2-1] 1) x\displaystyle x가 양수일 때, f(x)=xln⁡x\displaystyle f(x)=x\ln x라 하면 f′(x)=ln⁡x+1\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln x+1, f′′(x)=1/x>0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=1/x>0이므로 f(x)\displaystyle f(x)는 아래로 볼록하다.2) 젠센의 부등식을 사용하고 a+b+c+d=1\displaystyle a+b+c+d=1을 이용하면,aln⁡a+bln⁡b+cln⁡c+dln⁡d=4(14aln⁡a+14bln⁡b+14cln⁡c+14dln⁡d)=4f(a)+f(b)+f(c)+f(d)4≥4f(a+b+c+d4)=4(a+b+c+d4ln⁡a+b+c+d4)=−ln⁡4\displaystyle \begin{aligned}&a\ln a+b\ln b+c\ln c+d\ln d\\&=4\left(\frac14a\ln a+\frac14b\ln b+\frac14c\ln c+\frac14d\ln d\right)\\&=4\frac{f(a)+f(b)+f(c)+f(d)}4\\&\ge4f\left(\frac{a+b+c+d}4\right)\\&=4\left(\frac{a+b+c+d}4\ln\frac{a+b+c+d}4\right)=-\ln4\end{aligned}을 얻는다.3) 그런데 a=b=c=d=14\displaystyle a=b=c=d=\frac14일 때, 등식이 성립하므로 최솟값은 −ln⁡4\displaystyle -\ln4이다.

[문제 2-2] 1) 산술평균–기하평균 부등식을 이용하면sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤(sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C3)3\displaystyle \sin A\sin B\sin C\le\left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}3\right)^3이 성립한다.2) 0<x<π\displaystyle 0<x<\pi일 때 f(x)=sin⁡x\displaystyle f(x)=\sin x는 위로 볼록하다. 젠센의 부등식에 의하여sin⁡A+sin⁡B+sin⁡C3≤sin⁡A+B+C3=sin⁡π3=32\displaystyle \frac{\sin A+\sin B+\sin C}3\le\sin\frac{A+B+C}3=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2이므로, sin⁡Asin⁡Bsin⁡C≤(32)3=338\displaystyle \sin A\sin B\sin C\le\left(\frac{\sqrt3}2\right)^3=\frac{3\sqrt3}8이다.3) 등호는 A=B=C=π3\displaystyle A=B=C=\frac\pi3일 때, 즉 정삼각형일 때 성립한다.

[문제 2-3] 1) 젠센의 부등식에 의하여, 모든 양수 a1,a2,⋯ ,an\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n에 대하여a1r+a2r+⋯+anrn=f(a1t)+f(a2t)+⋯+f(ant)n≤f(a1t+a2t+⋯+antn)=(a1t+a2t+⋯+antn)r/t\displaystyle \begin{aligned}\frac{a_1^r+a_2^r+\cdots+a_n^r}n&=\frac{f(a_1^t)+f(a_2^t)+\cdots+f(a_n^t)}n\\&\le f\left(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}n\right)=\left(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}n\right)^{r/t}\end{aligned}이 성립함을 알 수 있다.2) 양변을 1r\displaystyle \frac1r승 하면,(a1r+a2r+⋯+anrn)1/r≤(a1t+a2t+⋯+antn)1/t\displaystyle \left(\frac{a_1^r+a_2^r+\cdots+a_n^r}n\right)^{1/r}\le\left(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}n\right)^{1/t}이 되어 부등식 Sr≤St\displaystyle S_r\le S_t를 얻는다.

[문제 2-4] 1) 함수 f(x)=(x2+1x2)5\displaystyle f(x)=\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^5를 생각하자. 미분하면f′(x)=5(x2+1x2)4(2x−2x3),\displaystyle f^{\prime}(x)=5\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^4\left(2x-\frac2{x^3}\right),f′′(x)=20(x2+1x2)3(2x−2x3)2+5(x2+1x2)4(2+6x4)>0\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=20\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^3\left(2x-\frac2{x^3}\right)^2+5\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^4\left(2+\frac6{x^4}\right)>0이므로 f(x)\displaystyle f(x)는 아래로 볼록하다.2) 주어진 식은f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)=n(f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn))n\displaystyle f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)=\frac{n(f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n))}n과 같다. 젠센의 부등식을 이용하면f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)≥nf(x1+x2+⋯+xnn)=nf(1)=32n\displaystyle f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\ge nf\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right)=nf(1)=32n을 얻는다.3) 실제로 x1=x2=⋯=xn=1\displaystyle x_1=x_2=\cdots=x_n=1일 때 등호가 성립하므로, 구하는 최솟값은 32n\displaystyle 32n이다.

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