자연계열 2번

[문제 2-1] 1) $\displaystyle x$가 양수일 때, $\displaystyle f(x)=x\ln x$라 하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\ln x+1$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=1/x>0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 아래로 볼록하다.2) 젠센의 부등식을 사용하고 $\displaystyle a+b+c+d=1$을 이용하면,$\displaystyle \begin{aligned}&a\ln a+b\ln b+c\ln c+d\ln d\\&=4\left(\frac14a\ln a+\frac14b\ln b+\frac14c\ln c+\frac14d\ln d\right)\\&=4\frac{f(a)+f(b)+f(c)+f(d)}4\\&\ge4f\left(\frac{a+b+c+d}4\right)\\&=4\left(\frac{a+b+c+d}4\ln\frac{a+b+c+d}4\right)=-\ln4\end{aligned}$을 얻는다.3) 그런데 $\displaystyle a=b=c=d=\frac14$일 때, 등식이 성립하므로 최솟값은 $\displaystyle -\ln4$이다.

[문제 2-2] 1) 산술평균–기하평균 부등식을 이용하면$\displaystyle \sin A\sin B\sin C\le\left(\frac{\sin A+\sin B+\sin C}3\right)^3$이 성립한다.2) $\displaystyle 0<x<\pi$일 때 $\displaystyle f(x)=\sin x$는 위로 볼록하다. 젠센의 부등식에 의하여$\displaystyle \frac{\sin A+\sin B+\sin C}3\le\sin\frac{A+B+C}3=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2$이므로, $\displaystyle \sin A\sin B\sin C\le\left(\frac{\sqrt3}2\right)^3=\frac{3\sqrt3}8$이다.3) 등호는 $\displaystyle A=B=C=\frac\pi3$일 때, 즉 정삼각형일 때 성립한다.

[문제 2-3] 1) 젠센의 부등식에 의하여, 모든 양수 $\displaystyle a_1,a_2,\cdots,a_n$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}\frac{a_1^r+a_2^r+\cdots+a_n^r}n&=\frac{f(a_1^t)+f(a_2^t)+\cdots+f(a_n^t)}n\\&\le f\left(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}n\right)=\left(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}n\right)^{r/t}\end{aligned}$이 성립함을 알 수 있다.2) 양변을 $\displaystyle \frac1r$승 하면,$\displaystyle \left(\frac{a_1^r+a_2^r+\cdots+a_n^r}n\right)^{1/r}\le\left(\frac{a_1^t+a_2^t+\cdots+a_n^t}n\right)^{1/t}$이 되어 부등식 $\displaystyle S_r\le S_t$를 얻는다.

[문제 2-4] 1) 함수 $\displaystyle f(x)=\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^5$를 생각하자. 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=5\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^4\left(2x-\frac2{x^3}\right),$$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=20\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^3\left(2x-\frac2{x^3}\right)^2+5\left(x^2+\frac1{x^2}\right)^4\left(4+\frac6{x^4}\right)>0$Correction. 이계도함수의 마지막 괄호는 $\displaystyle 4+6/x^4$가 아니라 $\displaystyle 2+6/x^4$이다. $\displaystyle x>0$에서 양수라는 결론과 최솟값 $\displaystyle 32n$은 그대로 성립한다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이므로 $\displaystyle f(x)$는 아래로 볼록하다.2) 주어진 식은$\displaystyle f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)=\frac{n(f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n))}n$과 같다. 젠센의 부등식을 이용하면$\displaystyle f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)\ge nf\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}n\right)=nf(1)=32n$을 얻는다.3) 실제로 $\displaystyle x_1=x_2=\cdots=x_n=1$일 때 등호가 성립하므로, 구하는 최솟값은 $\displaystyle 32n$이다.