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자연계열 1번

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아주대 2013학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2013mo/jayeon_1

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문제

(가) 평면 위에 있는 점들의 위치를 나타내기 위해 일반적으로 사용하는 좌표에는 직교좌표(rectangular coordinates)와 극좌표(polar coordinates)가 있다.

직교좌표는 아래 그림과 같이 좌표축으로부터의 거리를 이용하여 나타낸다.

직교좌표로 나타낸 점 P

두 점 P,Q\displaystyle P,Q의 좌표가 각각 (x1,y1),(x2,y2)\displaystyle (x_1,y_1),(x_2,y_2)일 때 피타고라스(Pythagoras)의 정리에 의해 P\displaystyle P와 Q\displaystyle Q의 거리는 (x1−x2)2+(y1−y2)2\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}이 된다. 직교좌표를 이용하여 평면 위의 곡선들을 x\displaystyle x와 y\displaystyle y에 관한 방정식으로 나타낼 수 있다. 예를 들면,

ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0은 직선의 방정식이고, 원점을 중심으로 하고 반지름이 a\displaystyle a인 원의 방정식은 x2+y2=a2\displaystyle x^2+y^2=a^2이다.

극좌표는 아래 그림과 같이 원점으로부터의 거리와 x\displaystyle x축의 양의 방향으로부터의 편각을 이용하여 나타낸다.

극좌표로 나타낸 점 P

그러므로 점 P\displaystyle P의 직교좌표가 (x,y)\displaystyle (x,y)이고 극좌표가 (r,θ)\displaystyle (r,\theta)이면, 정의에 의해 다음 관계식이 성립하게 된다.x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ;r=x2+y2,tan⁡θ=yx\displaystyle x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta;\quad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad\tan\theta=\frac{y}{x}극좌표에 의한 방정식 r=a\displaystyle r=a와 θ=b\displaystyle \theta=b는 각각 원점을 중심으로 하는 원과 원점을 지나는 직선을 나타내게 된다.

(나) 평면 위의 점의 위치를 나타내기 위한 또 다른 좌표로 양각좌표(biangular coordinates)가 있다. 양각좌표는 양극좌표(bipolar coordinates)라고도 하는데, 다음 그림과 같이 두 점 A(−1,0)\displaystyle A(-1,0)과 B(1,0)\displaystyle B(1,0)을 고정하고 임의의 점 P\displaystyle P의 좌표를 AP\displaystyle AP가 AB\displaystyle AB와 이루는 각을 AB\displaystyle AB로부터 반시계방향으로 측정한 값 θ\displaystyle \theta와 BP\displaystyle BP가 AB\displaystyle AB와 이루는 각을 AB\displaystyle AB로부터 시계방향으로 측정한 값 ϕ\displaystyle \phi에 의해 (θ,ϕ)\displaystyle (\theta,\phi)로 나타낸다.

두 기준점 A, B와 양각좌표

예를 들면, 방정식 θ=ϕ\displaystyle \theta=\phi는 y\displaystyle y축을 나타내게 된다. 종종 θ\displaystyle \theta와 ϕ\displaystyle \phi 대신에 λ=cot⁡θ\displaystyle \lambda=\cot\theta와 μ=cot⁡ϕ\displaystyle \mu=\cot\phi를 써서 (λ,μ)\displaystyle (\lambda,\mu)를 양각좌표라 하기도 한다. 양각좌표에 의한 방정식을 다룰 때에는 삼각함수에 대한 다음의 공식이 유용하다.sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\betacos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\betatan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}다양한 좌표들을 함께 다룰 때에는 xy\displaystyle xy-좌표, rθ\displaystyle r\theta-좌표, θϕ\displaystyle \theta\phi-좌표, λμ\displaystyle \lambda\mu-좌표 등으로 부르기로 한다. λμ\displaystyle \lambda\mu-좌표와 xy\displaystyle xy-좌표 사이에는 다음과 같은 관계식이 성립한다.(1) λ=1+xy,μ=1−xy\displaystyle \lambda=\frac{1+x}{y},\quad\mu=\frac{1-x}{y}

[문제 1-1] (10 점) (나)의 식 (1)이 성립함을 보여라.

[문제 1-2] (10 점) 양각좌표에 의한 방정식 θ+ϕ=π3\displaystyle \theta+\phi=\frac{\pi}{3}가 나타내는 곡선이 원이 됨을 보여라.

[문제 1-3] (10 점) λμ\displaystyle \lambda\mu-좌표가 각각 (2,1)\displaystyle (2,1)와 (3,−1)\displaystyle (3,-1)인 두 점 P,Q\displaystyle P,Q 사이의 거리를 구하라.

[문제 1-4] (10 점) xy\displaystyle xy-좌표가 각각 (−1,−1)\displaystyle (-1,-1)과 (1,3)\displaystyle (1,3)인 두 점을 지나는 직선의 λμ\displaystyle \lambda\mu-좌표에 의한 방정식을 구하라.

[문제 1-5] (10 점) λμ\displaystyle \lambda\mu-좌표에 의한 방정식 λμ=14\displaystyle \lambda\mu=\frac14의 그래프를 그려라.

해설강의 준비중

아주대 2013학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2013mo/jayeon_1

[문제 1-1] θϕ\displaystyle \theta\phi-좌표가 (θ,ϕ)\displaystyle (\theta,\phi)인 점 P\displaystyle P의 xy\displaystyle xy-좌표를 (x,y)\displaystyle (x,y)라 하자.그러면, tan⁡θ=y1+x\displaystyle \tan\theta=\frac{y}{1+x}이고 tan⁡ϕ=y1−x\displaystyle \tan\phi=\frac{y}{1-x}이다. 따라서 λ=1+xy\displaystyle \lambda=\frac{1+x}{y}이고, μ=1−xy\displaystyle \mu=\frac{1-x}{y}이다.

[문제 1-2] 방정식 θ+ϕ=π3\displaystyle \theta+\phi=\frac\pi3의 양변에 tan⁡\displaystyle \tan를 취하면3=tan⁡(π3)=tan⁡(θ+ϕ)=tan⁡θ+tan⁡ϕ1−tan⁡θtan⁡ϕ=y1+x+y1−x1−y1+xy1−x=2y1−x2−y2\displaystyle \begin{aligned}\sqrt3&=\tan\left(\frac\pi3\right)=\tan(\theta+\phi)=\frac{\tan\theta+\tan\phi}{1-\tan\theta\tan\phi}\\&=\frac{\frac{y}{1+x}+\frac{y}{1-x}}{1-\frac{y}{1+x}\frac{y}{1-x}}=\frac{2y}{1-x^2-y^2}\end{aligned}이다. 이것을 다시 정리하면, x2+(y+13)2=43\displaystyle x^2+\left(y+\frac1{\sqrt3}\right)^2=\frac43이다. 따라서 주어진 방정식의 그래프는 중심이 (0,−13)\displaystyle \left(0,-\frac1{\sqrt3}\right)이고, 반지름이 23\displaystyle \frac2{\sqrt3}인 원이다.

양각좌표 방정식을 직교좌표로 나타낸 원

[문제 1-3] 점 P\displaystyle P의 xy\displaystyle xy-좌표를 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)이라 하면,2=1+x1y1,1=1−x1y1\displaystyle 2=\frac{1+x_1}{y_1},\quad1=\frac{1-x_1}{y_1}이고, 이것을 풀면 (x1,y1)=(13,23)\displaystyle (x_1,y_1)=\left(\frac13,\frac23\right)이다. 같은 식으로 점 Q\displaystyle Q의 xy\displaystyle xy-좌표를 (x2,y2)\displaystyle (x_2,y_2)라 하면,3=1+x2y2,−1=1−x2y2\displaystyle 3=\frac{1+x_2}{y_2},\quad-1=\frac{1-x_2}{y_2}이고, 이것을 풀면 (x2,y2)=(2,1)\displaystyle (x_2,y_2)=(2,1)이다. 따라서PQ=(13−2)2+(23−1)2=263\displaystyle PQ=\sqrt{\left(\frac13-2\right)^2+\left(\frac23-1\right)^2}=\frac{\sqrt{26}}3

[문제 1-4] 주어진 직선의 xy\displaystyle xy-좌표에 의한 방정식은(1) y=2x+1\displaystyle y=2x+1이다. 그런데,λ=1+xy,μ=1−xy\displaystyle \lambda=\frac{1+x}{y},\quad\mu=\frac{1-x}{y}이므로 이것을 x,y\displaystyle x,y에 대해 풀면x=λ−μλ+μ,y=2λ+μ\displaystyle x=\frac{\lambda-\mu}{\lambda+\mu},\quad y=\frac2{\lambda+\mu}이다. 이것을 식 (1)에 대입하여 정리하면,2λ+μ=2(λ−μ)λ+μ+1\displaystyle \frac2{\lambda+\mu}=\frac{2(\lambda-\mu)}{\lambda+\mu}+12=2λ−2μ+λ+μ\displaystyle 2=2\lambda-2\mu+\lambda+\mu3λ−μ=2\displaystyle 3\lambda-\mu=2이므로 구하는 방정식은 3λ−μ−2=0\displaystyle 3\lambda-\mu-2=0이다.

[문제 1-5] λ=1+xy\displaystyle \lambda=\frac{1+x}{y}와 μ=1−xy\displaystyle \mu=\frac{1-x}{y}를 주어진 방정식 λμ=14\displaystyle \lambda\mu=\frac14에 대입하면 1−x2y2=14\displaystyle \frac{1-x^2}{y^2}=\frac14이고, 이것을 정리하면 x2+y24=1\displaystyle x^2+\frac{y^2}4=1이다. 따라서 주어진 방정식의 그래프는 타원이다.

양각좌표 방정식의 타원 그래프

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