자연계열 1번

[문제 1-1] $\displaystyle \theta\phi$-좌표가 $\displaystyle (\theta,\phi)$인 점 $\displaystyle P$의 $\displaystyle xy$-좌표를 $\displaystyle (x,y)$라 하자.그러면, $\displaystyle \tan\theta=\frac{y}{1+x}$이고 $\displaystyle \tan\phi=\frac{y}{1-x}$이다. 따라서 $\displaystyle \lambda=\frac{1+x}{y}$이고, $\displaystyle \mu=\frac{1-x}{y}$이다.

[문제 1-2] 방정식 $\displaystyle \theta+\phi=\frac\pi3$의 양변에 $\displaystyle \tan$를 취하면$\displaystyle \begin{aligned}\sqrt3&=\tan\left(\frac\pi3\right)=\tan(\theta+\phi)=\frac{\tan\theta+\tan\phi}{1-\tan\theta\tan\phi}\\&=\frac{\frac{y}{1+x}+\frac{y}{1-x}}{1-\frac{y}{1+x}\frac{y}{1-x}}=\frac{2y}{1-x^2-y^2}\end{aligned}$이다. 이것을 다시 정리하면, $\displaystyle x^2+\left(y+\frac1{\sqrt3}\right)^2=\frac43$이다. 따라서 주어진 방정식의 그래프는 중심이 $\displaystyle \left(0,-\frac1{\sqrt3}\right)$이고, 반지름이 $\displaystyle \frac2{\sqrt3}$인 원이다.

[문제 1-3] 점 $\displaystyle P$의 $\displaystyle xy$-좌표를 $\displaystyle (x_1,y_1)$이라 하면,$\displaystyle 2=\frac{1+x_1}{y_1},\quad1=\frac{1-x_1}{y_1}$이고, 이것을 풀면 $\displaystyle (x_1,y_1)=\left(\frac13,\frac23\right)$이다. 같은 식으로 점 $\displaystyle Q$의 $\displaystyle xy$-좌표를 $\displaystyle (x_2,y_2)$라 하면,$\displaystyle 3=\frac{1+x_2}{y_2},\quad-1=\frac{1-x_2}{y_2}$이고, 이것을 풀면 $\displaystyle (x_2,y_2)=(2,1)$이다. 따라서$\displaystyle PQ=\sqrt{\left(\frac13-2\right)^2+\left(\frac23-1\right)^2}=\frac{\sqrt{26}}3$

[문제 1-4] 주어진 직선의 $\displaystyle xy$-좌표에 의한 방정식은(1) $\displaystyle y=2x+1$이다. 그런데,$\displaystyle \lambda=\frac{1+x}{y},\quad\mu=\frac{1-x}{y}$이므로 이것을 $\displaystyle x,y$에 대해 풀면$\displaystyle x=\frac{\lambda-\mu}{\lambda+\mu},\quad y=\frac2{\lambda+\mu}$이다. 이것을 식 (1)에 대입하여 정리하면,$\displaystyle \frac2{\lambda+\mu}=\frac{2(\lambda-\mu)}{\lambda+\mu}+1$$\displaystyle 2=2\lambda-2\mu+\lambda+\mu$$\displaystyle 3\lambda-\mu=2$이므로 구하는 방정식은 $\displaystyle 3\lambda-\mu-2=0$이다.

[문제 1-5] $\displaystyle \lambda=\frac{1+x}{y}$와 $\displaystyle \mu=\frac{1-x}{y}$를 주어진 방정식 $\displaystyle \lambda\mu=\frac14$에 대입하면 $\displaystyle \frac{1-x^2}{y^2}=\frac14$이고, 이것을 정리하면 $\displaystyle x^2+\frac{y^2}4=1$이다. 따라서 주어진 방정식의 그래프는 타원이다.