수리논술, 배움에서 논증의 완성까지.

자연계열 2번

아주대 2013학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2013mo/jayeon_2

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문제

제곱해서 −1\displaystyle -1이 되는 수를 문자 i\displaystyle i로 나타낸다. 즉, i2=−1\displaystyle i^2=-1이고 i\displaystyle i를 허수단위라 한다. x\displaystyle x, y\displaystyle y가 실수일 때, z=x+yi\displaystyle z=x+yi 꼴의 수를 복소수라 하고, x\displaystyle x와 y\displaystyle y를 각각 z\displaystyle z의 실수부와 허수부라 한다. 기호로는 각각 Re(z)=x\displaystyle Re(z)=x, Im(z)=y\displaystyle Im(z)=y로 표시한다. 실수의 경우와 유사하게, 복소수에 대한 사칙연산이 가능하고 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙과 같은 연산의 기본법칙이 성립한다.

복소수 z=x+yi\displaystyle z=x+yi의 허수부의 부호를 바꾸어 얻어지는 복소수를 z\displaystyle z의 켤레복소수라 하고 zˉ\displaystyle \bar z로 표시한다. 곧, zˉ=x−yi\displaystyle \bar z=x-yi이다. 임의의 복소수 z1\displaystyle z_1, z2\displaystyle z_2에 대하여z1+z2‾=zˉ1+zˉ2,z1z2‾=zˉ1zˉ2\displaystyle \overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2,\quad\overline{z_1z_2}=\bar z_1\bar z_2가 성립한다.

복소수 z=x+yi\displaystyle z=x+yi를 평면에서 직교좌표가 (x,y)\displaystyle (x,y)인 점에 대응시키면, 복소수들과 평면의 점들은 1대 1로 대응된다. 평면의 점의 좌표를 복소수로 나타낼 때, 이것을 복소수 평면이라 부른다. 복소수 평면의 가로축(x\displaystyle x축)을 실축, 세로축(y\displaystyle y축)을 허축이라 부른다. 복소수 z\displaystyle z와 켤레복소수 zˉ\displaystyle \bar z가 표시하는 점은 실축에 대하여 대칭이다.

그림. 복소수의 표시

복소수 z1=x1+y1i\displaystyle z_1=x_1+y_1i, z2=x2+y2i\displaystyle z_2=x_2+y_2i에 대하여 z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i\displaystyle z_1+z_2=x_1+x_2+(y_1+y_2)i가 성립하므로, 복소수 z1+z2\displaystyle z_1+z_2가 나타내는 점은 복소수 평면에서 z1\displaystyle z_1이 표시하는 점을 실축 방향으로 x2\displaystyle x_2만큼, 허축 방향으로 y2\displaystyle y_2만큼 평행이동한 점이다.

복소수 z=x+yi\displaystyle z=x+yi의 크기를 ∣z∣=x2+y2\displaystyle |z|=\sqrt{x^2+y^2}이라 정의한다. 그러면 ∣z∣2=zzˉ\displaystyle |z|^2=z\bar z이 성립하고, ∣z∣\displaystyle |z|는 복소수 평면에서 원점으로부터 좌표가 z\displaystyle z인 점까지의 거리를 나타낸다. 일반적으로 두 개의 복소수 z\displaystyle z와 w\displaystyle w에 대하여 ∣z−w∣\displaystyle |z-w|는 좌표가 z\displaystyle z와 w\displaystyle w인 두 점 사이의 거리를 의미한다. 임의의 두 복소수 z1\displaystyle z_1과 z2\displaystyle z_2에 대하여 ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\displaystyle |z_1z_2|=|z_1||z_2|이 성립하고, 만일 z2≠0\displaystyle z_2\ne0이면 ∣z1z2∣=∣z1∣∣z2∣\displaystyle \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}이 성립한다.

예제 1. 복소수 방정식 ∣z−i∣=1\displaystyle |z-i|=1을 만족하는 z\displaystyle z의 집합은 복소수 평면에서 중심의 좌표가 i\displaystyle i이고 반지름이 1\displaystyle 1인 원을 나타낸다. 그리고 부등식 ∣z−i∣≤1\displaystyle |z-i|\le1을 만족하는 z\displaystyle z의 집합은 이 원과 그 내부를 나타낸다.

복소수 평면의 양의 실축에서 좌표가 z=x+yi\displaystyle z=x+yi인 점까지 반시계방향의 각도를 θ\displaystyle \theta라 하면(그림 참조), x=∣z∣cos⁡θ\displaystyle x=|z|\cos\theta, y=∣z∣sin⁡θ\displaystyle y=|z|\sin\theta이므로 z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)\displaystyle z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)이다. 이제 θ\displaystyle \theta를 복소수 z\displaystyle z의 편각이라 하고, arg⁡(z)=θ\displaystyle \arg(z)=\theta로 쓴다. 편각은 유일하게 결정되지 않으며, 2π\displaystyle 2\pi의 정수배 차이를 허용하기로 한다. 두 복소수 z1\displaystyle z_1과 z2\displaystyle z_2의 곱에 대하여 생각하자. 만일 arg⁡(z1)=θ1\displaystyle \arg(z_1)=\theta_1, arg⁡(z2)=θ2\displaystyle \arg(z_2)=\theta_2이면arg⁡(z1z2)=arg⁡(z1)+arg⁡(z2)\displaystyle \arg(z_1z_2)=\arg(z_1)+\arg(z_2)이 성립한다는 것은 알려진 사실이다. 그러므로 복소수 z1z2\displaystyle z_1z_2는 복소수 평면에서 z1\displaystyle z_1이 표시하는 점에서 원점까지의 거리를 ∣z2∣\displaystyle |z_2|배로 확장(또는 축소)시키고 각도 θ2\displaystyle \theta_2만큼 반시계방향으로 회전시킨 점을 표시한다.

예제 2. ∣2i∣=2\displaystyle |2i|=2이고 arg⁡(2i)=π2\displaystyle \arg(2i)=\frac\pi2이다. 따라서 복소수 z\displaystyle z가 주어졌을 때, z\displaystyle z가 표시하는 점을 반시계방향으로 π2\displaystyle \frac\pi2 회전시키고 그 크기를 두 배로 하면 2iz\displaystyle 2iz가 표시하는 점을 얻는다. 그리고 이것을 실축 방향으로 +3\displaystyle +3만큼 평행이동하면 복소수 2iz+3\displaystyle 2iz+3이 표시하는 점이 된다. 그러므로 복소수 z\displaystyle z가 예제 1의 방정식 ∣z−i∣=1\displaystyle |z-i|=1을 만족할 때, w=2iz+3\displaystyle w=2iz+3이 나타내는 점들은 중심의 좌표가 1\displaystyle 1이고 반지름이 2인 원에 있다.

예제 3. 복소수 평면에서 좌표 i\displaystyle i인 점과 좌표 1+i\displaystyle 1+i인 점을 연결하는 선분을 L\displaystyle L이라 하자. 즉, L={x+i:0≤x≤1}\displaystyle L=\{x+i:0\le x\le1\}이다. 복소수 z\displaystyle z가 선분 L\displaystyle L 위를 움직일 때, w=1z\displaystyle w=\frac1z로 표현되는 복소수 w\displaystyle w의 자취를 알아보자. 먼저 선분의 끝점들을 생각한다. z=i\displaystyle z=i에 대응하는 점은 1i=−i\displaystyle \frac1i=-i이고 z=1+i\displaystyle z=1+i에 대응되는 점은 11+i=12−12i\displaystyle \frac1{1+i}=\frac12-\frac12i이다. 그런데 L\displaystyle L은 제1사분면에 있고 w=1z=zˉ∣z∣2\displaystyle w=\frac1z=\frac{\bar z}{|z|^2}이므로, w\displaystyle w는 제4사분면에 있다. 따라서 w\displaystyle w의 자취는 좌표가 −i\displaystyle -i인 점에서 좌표가 12−12i\displaystyle \frac12-\frac12i인 점을 연결하는 제4사분면의 곡선이다. 실제로w=1z=1x+i=xx2+1−ix2+1\displaystyle w=\frac1z=\frac1{x+i}=\frac{x}{x^2+1}-\frac{i}{x^2+1}이므로 u=Re(w)\displaystyle u=Re(w), v=Im(w)\displaystyle v=Im(w)라고 놓으면, u2+(v+12)2=14\displaystyle u^2+\left(v+\frac12\right)^2=\frac14임을 알 수 있다. 그러므로 구하는 자취는 중심의 좌표가 −i2\displaystyle -\frac i2이고 반지름이 12\displaystyle \frac12인 원의 일부, 정확히 말하면 오른쪽 아래에 있는 4분원이다.

[문제 2-1] (10 점) 중심의 좌표가 3+i\displaystyle 3+i이고 반지름 2\displaystyle 2인 원 위에서 움직이는 점의 좌표를 z\displaystyle z라 할 때, 복소수 z+zˉ\displaystyle z+\bar z가 표시하는 도형은 무엇인지 밝혀라.

[문제 2-2] (10 점) 부등식 12≤Im(1z)≤1\displaystyle \frac12\le Im\left(\frac1z\right)\le1이 나타내는 영역을 복소수 평면에 표시하라.

[문제 2-3] (10 점) 복소수 평면에서 중심의 좌표가 1\displaystyle 1이고 반지름이 1\displaystyle 1인 원을 R\displaystyle R이라 하자. 원 R\displaystyle R 상의 점들의 좌표를 z\displaystyle z라 할 때, 복소수 w=(1+i)z+i\displaystyle w=(1+i)z+i가 표시하는 점들은 복소수 평면에서 어떤 도형을 표시하는지 밝혀라.

[문제 2-4] (10 점) 복소수 α  (≠0)\displaystyle \alpha\;(\ne0)와 β\displaystyle \beta는 주어졌다. 복소수 평면에 있는 임의의 다각형을 T\displaystyle T라 하자. T\displaystyle T 위의 점들의 좌표를 z\displaystyle z라 할 때, 복소수 αz+β\displaystyle \alpha z+\beta가 표시하는 도형은 T\displaystyle T와 닮은꼴임을 보여라.

[문제 2-5] (10 점) 좌표가 1+i\displaystyle 1+i, −1+i\displaystyle -1+i, −1−i\displaystyle -1-i, 1−i\displaystyle 1-i인 점들을 꼭짓점으로 하는 정사각형 위의 점들의 복소수 좌표를 z\displaystyle z라 할 때, 복소수 w=1z\displaystyle w=\frac1z이 나타내는 도형은 무엇인지 밝혀라.

해설강의 준비중

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[문제 2-1] 해답. z=x+yi\displaystyle z=x+yi라 하자. 그러면 1≤x≤5\displaystyle 1\le x\le5이다. z+zˉ=2x\displaystyle z+\bar z=2x이므로 구하는 도형은 실축에서 좌표가 각각 2\displaystyle 2와 10\displaystyle 10인 점을 연결하는 선분이다.

[문제 2-2] 해답. 1z=x−yix2+y2\displaystyle \frac1z=\frac{x-yi}{x^2+y^2}이므로 오른쪽 부등식은 −yx2+y2≤1\displaystyle \frac{-y}{x^2+y^2}\le1과 같다. 그런데 이것을 변형하면x2+(y+12)2≥14\displaystyle x^2+\left(y+\frac12\right)^2\ge\frac14이 된다. 왼쪽의 부등식도 유사하게 다루면,x2+(y+1)2≤1\displaystyle x^2+(y+1)^2\le1을 얻는다. 따라서 구하는 영역은 중심의 좌표가 −12i\displaystyle -\frac12i이고 반지름이 12\displaystyle \frac12인 원의 바깥이며 중심의 좌표가 −i\displaystyle -i이고 반지름이 1\displaystyle 1인 원의 안쪽이다. 단, 경계인 두 원을 포함한다.Comment. z=0\displaystyle z=0에서는 1/z\displaystyle 1/z가 정의되지 않으므로 두 원의 공통점인 원점은 제외해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-3] 해답. 원 R\displaystyle R의 방정식은 ∣z−1∣=1\displaystyle |z-1|=1이다. z=w−i1+i\displaystyle z=\frac{w-i}{1+i}을 대입하면 다음을 얻는다.∣w−1−2i∣=2\displaystyle |w-1-2i|=\sqrt2구하는 도형은 중심이 1+2i\displaystyle 1+2i이고 반지름은 2\displaystyle \sqrt2인 원이다.

[문제 2-4] 해답. 다각형 T\displaystyle T의 한 변을 ℓ\displaystyle \ell이라 하자. ℓ\displaystyle \ell을 연장한 직선이 원점을 지나지 않는 경우만 생각해도 충분하다. ℓ\displaystyle \ell의 점들의 좌표를 z\displaystyle z라 할 때, ∣α∣z\displaystyle |\alpha|z가 표시하는 도형은 ℓ\displaystyle \ell과 평행하고 길이가 ∣α∣\displaystyle |\alpha|배인 평행한 선분이다. T\displaystyle T의 모든 변에 대하여 똑같은 논의를 적용할 수 있으므로 T\displaystyle T의 점들의 좌표를 z\displaystyle z라 할 때, ∣α∣z\displaystyle |\alpha|z가 표시하는 도형 T′\displaystyle T^{\prime}은 T\displaystyle T와 닮은꼴이다. αz+β\displaystyle \alpha z+\beta가 표시하는 도형은 T′\displaystyle T^{\prime}을 회전시키고 평행 이동시킨 것이므로 여전히 닮은꼴이다.

[문제 2-5] 해답. 주어진 네 점은 각각 1−i2\displaystyle \frac{1-i}2, −1−i2\displaystyle \frac{-1-i}2, −1+i2\displaystyle \frac{-1+i}2, 1+i2\displaystyle \frac{1+i}2로 보내진다. 제시문의 예제 3과 같은 방법을 적용하면, 좌표 −1+i\displaystyle -1+i인 점과 좌표 1+i\displaystyle 1+i인 점을 연결하는 변의 자취는 좌표가 각각 −1−i2\displaystyle \frac{-1-i}2와 1−i2\displaystyle \frac{1-i}2인 두 점을 지름의 양끝으로 하는 아래쪽 반원이다. 정사각형의 다른 변들에 대하여 같은 방법을 적용하여 구하는 자취는 4개의 반원이 이루는 도형임을 알 수 있다.

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