자연계열 1번

아주대 2014학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2014mo/jayeon_1

무게중심

(가) 모든 물체에는 무게중심이라고 하는 특별한 점이 있다. 물체의 형태에 따라 이 무게중심의 위치는 물체의 내부에 있을 수도 있고 외부에 있을 수도 있다. 어떤 물리 현상에서는 물체의 전체 질량이 한 점에 몰려있다고 생각하는 것이 편할 때가 있다. 그럴 때 무게중심이 질량이 몰려있는 점의 역할을 한다. 뉴턴의 만유인력의 법칙을 예로 들어 보자. 두 개의 물체 사이에는 서로 끌어당기는 힘이 작용하는데, 이 힘의 크기는 두 물체의 질량의 곱에 비례하고 두 물체 사이의 거리의 제곱에 반비례한다. 이 때 두 물체 사이의 거리는 각 물체의 무게중심들 사이의 거리가 되는데, 이런 이유로 각 물체의 질량은 각각의 무게중심에 몰려있다고 생각할 수 있다.

평평한 바닥에 놓여 있는 물체에 힘을 가할 때, 힘의 방향이 무게중심을 향하지 않으면 물체가 회전하기도 한다. 납작한 물체는 무게중심 부분을 밑에서 받쳐 들거나, 무게중심을 지나는 선을 밑에서 받쳐 들면 수평으로 균형을 취한다.

두 개의 부분으로 이루어진 물체의 무게중심에 대해서는 다음과 같은 아르키메데스(Archimedes)의 지레의 법칙이 적용된다.

질량이 각각 $\displaystyle m_1,m_2$ 이고 무게중심이 각각 $\displaystyle G_1,G_2$ 인 두 물체로 된 전체 물체의 무게중심 $\displaystyle G$ 는 다음 법칙을 따른다.1) $\displaystyle G$ 는 $\displaystyle G_1$ 과 $\displaystyle G_2$ 를 잇는 선분 위에 있다.2) $\displaystyle G$ 와 $\displaystyle G_1$ 사이의 거리를 $\displaystyle d_1$ , $\displaystyle G$ 와 $\displaystyle G_2$ 사이의 거리를 $\displaystyle d_2$ 라 하면, $\displaystyle m_1d_1=m_2d_2$ 이다.즉, $\displaystyle G$ 는 $\displaystyle \overline{G_1G_2}$ 를 $\displaystyle m_2:m_1$ 으로 내분하는 점이다.

(나) 도형을 밀도가 균일한 납작한 물체처럼 생각하면 도형에 대해서도 무게중심을 말할 수 있다. 여기서 도형은 내부를 포함해서 생각하고 넓이를 질량처럼 취급한다. 이렇게 할 때 도형의 무게중심은 다음과 같은 성질을 만족한다.(1) 선대칭인 도형의 무게중심은 대칭축 위에 있게 된다.(2) 점대칭인 도형의 무게중심은 대칭의 중심에 있게 된다.(3) 닮은 도형의 무게중심들은 닮음변환에 의해 대응되는 위치에 있게 된다.대칭축이 두 개 이상인 도형은 결국 이 대칭축들의 교점이 무게중심이 된다. 예를 들면, 원의 무게중심은 원의 중심이고, 정사각형의 무게중심은 두 대각선의 교점이다. 평행사변형은 두 대각선의 교점에 대해서 점대칭이므로 이 점이 무게중심이다.

(예) 반지름이 1이고 중심이 각각 $\displaystyle (-1,0)$ , $\displaystyle (1,3)$ , $\displaystyle (2,-1)$ 인 세 원 $\displaystyle A,B,C$ 로 이루어진 도형 $\displaystyle S$ 의 무게중심을 구해 보자. 먼저 각 원의 무게중심은 각각의 중심에 있다. 원 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 로 이루어진 도형 $\displaystyle S^{\prime}$ 의 무게중심은, 두 원의 넓이가 같으므로 두 중심을 잇는 선분을 $\displaystyle 1:1$ 로 내분하는 점 즉, 두 중심의 중점 $\displaystyle (0,3/2)$ 이 된다. 도형 $\displaystyle S$ 는 도형 $\displaystyle S^{\prime}$ 과 원 $\displaystyle C$ 로 이루어져 있고 도형 $\displaystyle S^{\prime}$ 과 원 $\displaystyle C$ 의 넓이의 비는 $\displaystyle 2:1$ 이므로 구하는 무게중심은 두 점 $\displaystyle (0,3/2)$ 과 $\displaystyle (2,-1)$ 을 잇는 선분을 $\displaystyle 1:2$ 로 내분하는 점 $\displaystyle (2/3,2/3)$ 이다.

(다) 삼각형에서 한 꼭짓점과 그 마주보는 변의 중점을 연결한 선을 중선이라고 한다. 삼각형에는 세 개의 중선이 있고, 이 세 중선은 한 점에서 만난다. 세 중선의 교점이 삼각형의 무게중심인 것은 잘 알려진 사실이며, 이것을 다음과 같이 설명할 수 있다.

삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 변 $\displaystyle BC$ 의 중점을 $\displaystyle M$ 이라 하자. 삼각형 $\displaystyle ABC$ 를 변 $\displaystyle BC$ 에 평행인 선분 $\displaystyle DE$ 들이 모인 것으로 볼 수 있다. 중선 $\displaystyle AM$ 은 선분 $\displaystyle DE$ 의 중점을 지나고 이 중점은 선분 $\displaystyle DE$ 의 무게중심이다. 따라서 중선 $\displaystyle AM$ 을 따라 삼각형 $\displaystyle ABC$ 를 밑에서 받쳐 들면 변 $\displaystyle BC$ 에 평행인 모든 선분 $\displaystyle DE$ 들이 균형을 취하게 되므로 삼각형 $\displaystyle ABC$ 가 중선 $\displaystyle AM$ 에 대해 수평으로 균형을 취한다. 이것은 삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 무게중심이 중선 $\displaystyle AM$ 위에 있다는 것을 뜻한다. 다른 중선에 대해서도 같은 사실이 성립하므로, 중선들의 교점이 삼각형의 무게중심이 된다.

[문제 1-1] (10점) 다음 그림과 같은 도형에 대해 물음에 답하라.

(1) 도형 $\displaystyle ABCDEFGH$ 의 무게중심의 좌표를 구하라.(2) 삼각형의 무게중심이 중선 위에 있는 것은 중선이 넓이를 이등분하기 때문이라는 주장이 있다. (1)의 결과를 이용해서 이 주장이 타당한지 설명하라.

[문제 1-2] (15점) 제시문 (다)에 의해 삼각형의 무게중심은 중선 위에 있음을 알았다. 이 사실을 근거로 하고 제시문의 내용을 참조하여 다음과 같이 삼각형의 무게중심이 중선을 $\displaystyle 2:1$ 로 내분하는 위치에 있음을 확인해 보자.아래 그림과 같이 삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 중선 $\displaystyle AM$ 이 $\displaystyle x$ -축 위에 오게 위치를 잡고, 변 $\displaystyle AB$ 와 변 $\displaystyle AC$ 의 중점을 각각 $\displaystyle L$ 과 $\displaystyle N$ 이라 하자. 그러면, 무게중심 $\displaystyle G$ 도 $\displaystyle x$ -축 위에 있게 되므로 $\displaystyle G$ 의 좌표를 $\displaystyle (x,0)$ 이라 두자.

(1) 사각형 $\displaystyle ALMN$ 의 무게중심 $\displaystyle G_1$ 의 좌표를 구하라.(2) 삼각형 $\displaystyle LBM$ 의 무게중심 $\displaystyle G_3$ 와 삼각형 $\displaystyle NMC$ 의 무게중심 $\displaystyle G_4$ 의 좌표를 $\displaystyle a,b,c,x$ 를 써서 나타내어라.(3) 두 삼각형 $\displaystyle LBM$ 과 $\displaystyle NMC$ 로 이루어진 도형 $\displaystyle S$ 의 무게중심 $\displaystyle G_2$ 의 좌표를 구하라.(4) 사각형 $\displaystyle ALMN$ 과 도형 $\displaystyle S$ 로 이루어진 삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 무게중심의 위치를 지레의 법칙을 써서 구하라.(5) (4)의 결과와 $\displaystyle G$ 의 좌표가 $\displaystyle (x,0)$ 인 것을 써서 $\displaystyle x=\frac{2a}3$ 임을 확인하라.

[문제 1-3] (10점) 반지름이 2인 원에서 반지름이 1인 원을 제외한 다음 그림과 같은 도형이 있다.

무게중심의 좌표를 구하라.

[문제 1-4] (15점) 길이가 20cm인 같은 크기의 벽돌 $\displaystyle A,B,C,D$ 를 다음과 같이 쌓는다.

이렇게 4장을 무너지지 않게 쌓을 때 제일 위 벽돌은 제일 아래 벽돌의 오른쪽 끝에서 최대한 얼마나 튀어나올 수 있는가?

해설강의 준비중

아주대 2014학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/ajou/2014mo/jayeon_1

[문제 1-1](1) 대칭성에 의하여, 사각형 $\displaystyle ABCH$ 의 무게중심은 $\displaystyle (2,0)$ 이고, 사각형 $\displaystyle DEFG$ 의 무게중심은 $\displaystyle (5,0)$ 이다. 두 사각형의 넓이가 같으므로 도형 $\displaystyle ABCDEFGH$ 의 무게중심은 $\displaystyle (2,0)$ 과 $\displaystyle (5,0)$ 의 중점인 $\displaystyle (3.5,0)$ 이다.(2) 직선 $\displaystyle DG$ 는 도형 $\displaystyle ABCDEFGH$ 의 넓이를 이등분하지만 이 도형의 무게중심은 직선 $\displaystyle DG$ 위에 있지 않다. 따라서 삼각형의 무게중심이 중선 위에 있는 것은 중선이 삼각형의 넓이를 이등분하기 때문이라는 주장은 타당하지 않다.

[문제 1-2](1) $\displaystyle G_1$ 의 좌표는 $\displaystyle (a/2,0)$ 이다.(2) 삼각형 $\displaystyle LBM$ 과 삼각형 $\displaystyle NMC$ 는 각각 삼각형 $\displaystyle ABC$ 와 닮은꼴이고, 닮음비는 $\displaystyle 1:2$ 이다. 따라서 선분 $\displaystyle LG_3$ 와 선분 $\displaystyle NG_4$ 의 길이는 각각 선분 $\displaystyle AG$ 의 길이 $\displaystyle x$ 의 반인 $\displaystyle x/2$ 이다. 그런데, $\displaystyle L$ 과 $\displaystyle N$ 의 좌표는 각각 $\displaystyle ((a-b)/2,-c/2)$ 와 $\displaystyle ((a+b)/2,c/2)$ 이다. 그러므로 $\displaystyle G_3$ 의 좌표는 $\displaystyle ((a-b)/2+x/2,-c/2)$ 이고 $\displaystyle G_4$ 의 좌표는 $\displaystyle ((a+b)/2+x/2,c/2)$ 이다.(3) 삼각형 $\displaystyle LBM$ 과 삼각형 $\displaystyle NMC$ 의 넓이가 같으므로 $\displaystyle G_2$ 는 $\displaystyle G_3$ 와 $\displaystyle G_4$ 의 중점이다. 따라서 $\displaystyle G_2$ 의 좌표는 $\displaystyle ((a+x)/2,0)$ 이다.(4) 사각형 $\displaystyle ALMN$ 과 도형 $\displaystyle S$ 의 넓이가 같기 때문에 삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 무게중심은 $\displaystyle G_1$ 과 $\displaystyle G_2$ 의 중점이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle ABC$ 의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle (a/2+x/4,0)$ 이다.(5) $\displaystyle x=a/2+x/4$ 이므로 $\displaystyle 3x/4=a/2$ , 즉 $\displaystyle x=2a/3$ 이다.

[문제 1-3]큰 원으로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle D$ , 작은 원으로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle E$ , 그리고 $\displaystyle D$ 에서 $\displaystyle E$ 를 제외한 도형을 $\displaystyle S$ 라 하자. 그러면 $\displaystyle D$ 의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle (2,0)$ , $\displaystyle E$ 의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle (1,0)$ 이다. 대칭성에 의하여 $\displaystyle S$ 의 무게중심은 $\displaystyle x$ 축 위에 있는데 그 좌표를 $\displaystyle (x,0)$ 이라 두자. $\displaystyle D$ 는 $\displaystyle E$ 와 $\displaystyle S$ 로 이루어져 있고, $\displaystyle E$ 와 $\displaystyle S$ 의 넓이의 비는 $\displaystyle 1:3$ 이다. 그러므로 $\displaystyle D$ 의 무게중심은 $\displaystyle E$ 의 무게중심과 $\displaystyle S$ 의 무게중심을 잇는 선분을 $\displaystyle 3:1$ 로 내분하는 점이다. 따라서 $\displaystyle 2=\frac{1\cdot1+3\cdot x}4$ 를 얻고 이식을 풀면 $\displaystyle x=7/3$ 이므로 구하는 도형의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle (7/3,0)$ 이다.

[문제 1-4]무게중심을 지나는 수직인 선을 무게중심선이라 하자. 벽돌 $\displaystyle A$ 의 무게중심선 $\displaystyle \ell_1$ 은 $\displaystyle A$ 의 대칭선이다. 벽돌 $\displaystyle B$ 위에 벽돌 $\displaystyle A$ 를 무너지지 않게 쌓으려면 $\displaystyle \ell_1$ 이 벽돌 $\displaystyle B$ 의 오른쪽 끝보다 더 오른쪽에 있지 않아야 한다. 따라서 $\displaystyle A$ 가 $\displaystyle B$ 위에서 무너지지 않고 오른쪽으로 튀어 나올 수 있는 최대거리는 10cm이다. 이때 두 벽돌 $\displaystyle A,B$ 의 합체의 무게중심선 $\displaystyle \ell_2$ 는 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 의 질량이 같으므로 $\displaystyle \ell_1$ 과 $\displaystyle B$ 의 무게중심선의 가운데에 위치하고 이는 $\displaystyle B$ 의 오른쪽 끝에서 왼쪽으로 5cm 떨어진 위치이다. 벽돌 $\displaystyle A,B,C$ 를 무너지지 않게 최대한 오른쪽으로 튀어나오게 쌓으면 아래 그림과 같다.

이때 벽돌 $\displaystyle C$ 와 두 벽돌 $\displaystyle A,B$ 의 합체의 질량의 비가 $\displaystyle 1:2$ 이므로 세 벽돌 $\displaystyle A,B,C$ 의 합체의 무게중심선 $\displaystyle \ell_3$ 는 벽돌 $\displaystyle C$ 의 무게중심선과 $\displaystyle \ell_2$ 사이의 거리 10cm를 $\displaystyle 2:1$ 로 나누는 위치에 있어야 한다. 따라서 $\displaystyle \ell_3$ 는 벽돌 $\displaystyle C$ 의 오른쪽 끝으로부터 $\displaystyle 10/3$ cm 왼쪽에 위치한다. 이제 벽돌 위에 세 벽돌 $\displaystyle A,B,C$ 의 합체를 벽돌 $\displaystyle D$ 의 오른쪽 끝에 위치하게 놓으면 되므로 구하는 최대의 길이는 $\displaystyle 10+5+\frac{10}3=\frac{55}3$ , 즉 $\displaystyle \frac{55}3$ cm이다.

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