자연계열 1번

[문제 1-1](1) 대칭성에 의하여, 사각형 $\displaystyle ABCH$의 무게중심은 $\displaystyle (2,0)$이고, 사각형 $\displaystyle DEFG$의 무게중심은 $\displaystyle (5,0)$이다. 두 사각형의 넓이가 같으므로 도형 $\displaystyle ABCDEFGH$의 무게중심은 $\displaystyle (2,0)$과 $\displaystyle (5,0)$의 중점인 $\displaystyle (3.5,0)$이다.(2) 직선 $\displaystyle DG$는 도형 $\displaystyle ABCDEFGH$의 넓이를 이등분하지만 이 도형의 무게중심은 직선 $\displaystyle DG$위에 있지 않다. 따라서 삼각형의 무게중심이 중선 위에 있는 것은 중선이 삼각형의 넓이를 이등분하기 때문이라는 주장은 타당하지 않다.

[문제 1-2](1) $\displaystyle G_1$의 좌표는 $\displaystyle (a/2,0)$이다.(2) 삼각형 $\displaystyle LBM$과 삼각형 $\displaystyle NMC$는 각각 삼각형 $\displaystyle ABC$와 닮은꼴이고, 닮음비는 $\displaystyle 1:2$이다. 따라서 선분 $\displaystyle LG_3$와 선분 $\displaystyle NG_4$의 길이는 각각 선분 $\displaystyle AG$의 길이 $\displaystyle x$의 반인 $\displaystyle x/2$이다. 그런데, $\displaystyle L$과 $\displaystyle N$의 좌표는 각각 $\displaystyle ((a-b)/2,-c/2)$와 $\displaystyle ((a+b)/2,c/2)$이다. 그러므로 $\displaystyle G_3$의 좌표는 $\displaystyle ((a-b)/2+x/2,-c/2)$이고 $\displaystyle G_4$의 좌표는 $\displaystyle ((a+b)/2+x/2,c/2)$이다.(3) 삼각형 $\displaystyle LBM$과 삼각형 $\displaystyle NMC$의 넓이가 같으므로 $\displaystyle G_2$는 $\displaystyle G_3$와 $\displaystyle G_4$의 중점이다. 따라서 $\displaystyle G_2$의 좌표는 $\displaystyle ((a+x)/2,0)$이다.(4) 사각형 $\displaystyle ALMN$과 도형 $\displaystyle S$의 넓이가 같기 때문에 삼각형 $\displaystyle ABC$의 무게중심은 $\displaystyle G_1$과 $\displaystyle G_2$의 중점이다. 따라서 삼각형 $\displaystyle ABC$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle (a/2+x/4,0)$이다.(5) $\displaystyle x=a/2+x/4$이므로 $\displaystyle 3x/4=a/2$, 즉 $\displaystyle x=2a/3$이다.

[문제 1-3]큰 원으로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle D$, 작은 원으로 둘러싸인 도형을 $\displaystyle E$, 그리고 $\displaystyle D$에서 $\displaystyle E$를 제외한 도형을 $\displaystyle S$라 하자. 그러면 $\displaystyle D$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle (2,0)$, $\displaystyle E$의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle (1,0)$이다. 대칭성에 의하여 $\displaystyle S$의 무게중심은 $\displaystyle x$축 위에 있는데 그 좌표를 $\displaystyle (x,0)$이라 두자. $\displaystyle D$는 $\displaystyle E$와 $\displaystyle S$로 이루어져 있고, $\displaystyle E$와 $\displaystyle S$의 넓이의 비는 $\displaystyle 1:3$이다. 그러므로 $\displaystyle D$의 무게중심은 $\displaystyle E$의 무게중심과 $\displaystyle S$의 무게중심을 잇는 선분을 $\displaystyle 3:1$로 내분하는 점이다. 따라서 $\displaystyle 2=\frac{1\cdot1+3\cdot x}4$를 얻고 이식을 풀면 $\displaystyle x=7/3$이므로 구하는 도형의 무게중심의 좌표는 $\displaystyle (7/3,0)$이다.

[문제 1-4]무게중심을 지나는 수직인 선을 무게중심선이라 하자. 벽돌 $\displaystyle A$의 무게중심선 $\displaystyle \ell_1$은 $\displaystyle A$의 대칭선이다. 벽돌 $\displaystyle B$위에 벽돌 $\displaystyle A$를 무너지지 않게 쌓으려면 $\displaystyle \ell_1$이 벽돌 $\displaystyle B$의 오른쪽 끝보다 더 오른쪽에 있지 않아야 한다. 따라서 $\displaystyle A$가 $\displaystyle B$위에서 무너지지 않고 오른쪽으로 튀어 나올 수 있는 최대거리는 10cm이다. 이때 두 벽돌 $\displaystyle A,B$의 합체의 무게중심선 $\displaystyle \ell_2$는 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$의 질량이 같으므로 $\displaystyle \ell_1$과 $\displaystyle B$의 무게중심선의 가운데에 위치하고 이는 $\displaystyle B$의 오른쪽 끝에서 왼쪽으로 5cm 떨어진 위치이다. 벽돌 $\displaystyle A,B,C$를 무너지지 않게 최대한 오른쪽으로 튀어나오게 쌓으면 아래 그림과 같다.

이때 벽돌 $\displaystyle C$와 두 벽돌 $\displaystyle A,B$의 합체의 질량의 비가 $\displaystyle 1:2$이므로 세 벽돌 $\displaystyle A,B,C$의 합체의 무게중심선 $\displaystyle \ell_3$는 벽돌 $\displaystyle C$의 무게중심선과 $\displaystyle \ell_2$사이의 거리 10cm를 $\displaystyle 2:1$로 나누는 위치에 있어야 한다. 따라서 $\displaystyle \ell_3$는 벽돌 $\displaystyle C$의 오른쪽 끝으로부터 $\displaystyle 10/3$cm 왼쪽에 위치한다. 이제 벽돌 위에 세 벽돌 $\displaystyle A,B,C$의 합체를 벽돌 $\displaystyle D$의 오른쪽 끝에 위치하게 놓으면 되므로 구하는 최대의 길이는 $\displaystyle 10+5+\frac{10}3=\frac{55}3$, 즉 $\displaystyle \frac{55}3$cm이다.