자연계열 2번

(가) 함수의 곱의 미분법으로부터 유도되는 부분적분법은 적분의 계산에 유용하다. 함수의 곱의 미분법에서$\displaystyle \{f(x)g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)$이므로$\displaystyle f(x)g(x)=\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx+\int f(x)g^{\prime}(x)\,dx$이다. 따라서 다음 공식이 성립한다.$\displaystyle \int f(x)g^{\prime}(x)\,dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime}(x)g(x)\,dx$이 공식을 이용한 적분법을 부분적분법이라 한다. 부분적분법을 이용할 때, 미분하여 그 결과가 간단히 되는 것을 $\displaystyle f(x)$로, 적분하기 쉬운 것을 $\displaystyle g^{\prime}(x)$로 택하면 편리하다.

예제 1. 부정적분 $\displaystyle \int xe^x\,dx$를 구하기 위하여 $\displaystyle f(x)=x$, $\displaystyle g^{\prime}(x)=e^x$로 놓고 부분적분법을 적용하면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=1$, $\displaystyle g(x)=e^x$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int xe^x\,dx&=xe^x-\int1\cdot e^x\,dx\\&=xe^x-e^x+C\end{aligned}$

예제 2. 부정적분 $\displaystyle \int\ln x\,dx$를 구하기 위하여 $\displaystyle f(x)=\ln x$, $\displaystyle g^{\prime}(x)=1$로 놓고 부분적분법을 적용하면, $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac1x$, $\displaystyle g(x)=x$이므로$\displaystyle \begin{aligned}\int\ln x\,dx&=x\ln x-\int\frac1x\cdot x\,dx\\&=x\ln x-x+C\end{aligned}$

(나) 구간에서 정의된 함수 $\displaystyle f(x)$가 증가함수라는 것은 $\displaystyle x_1<x_2$를 만족하는 구간 내의 임의의 $\displaystyle x_1,x_2$에 대하여 $\displaystyle f(x_1)<f(x_2)$가 성립하는 것이다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 연속인 증가함수인 경우 역함수 $\displaystyle f^{-1}(y)$가 존재하며 이 함수는 연속인 증가함수이다. 양의 실수 $\displaystyle c$에 대하여 폐구간 $\displaystyle [0,c]$에서 정의된 $\displaystyle f(0)=0$이고 연속인 증가함수 $\displaystyle f(x)$가 주어졌다고 하자.

이제 $\displaystyle 0<a<c$, $\displaystyle 0<b<f(c)$인 $\displaystyle a,b$에 대하여 정적분 $\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx$는 $\displaystyle x=0$부터 $\displaystyle x=a$까지 곡선 $\displaystyle y=f(x)$아래의 넓이를 의미하고 $\displaystyle \int_0^b f^{-1}(y)\,dy$는 $\displaystyle y=0$부터 $\displaystyle y=b$까지 곡선의 왼쪽 부분의 넓이를 의미하므로 그림으로부터 아래와 같은 부등식을 얻을 수 있다.(ㄱ) $\displaystyle ab\le\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^b f^{-1}(y)\,dy$이 부등식의 등호는 정확히 $\displaystyle b=f(a)$일 때 성립한다. 이 부등식을 영(Young)의 부등식이라고 한다.

예제 3. 음이 아닌 실수들의 집합에서 음이 아닌 실수들의 집합으로의 함수 $\displaystyle f_1(x)=e^x-1$를 생각해보자. 이 함수의 역함수는 $\displaystyle f_1^{-1}(y)=\ln(1+y)$로 주어진다. 양수 $\displaystyle a,b$에 대하여 $\displaystyle \int_0^a(e^x-1)\,dx=e^a-a-1$, 그리고 부분적분법에 의하여 $\displaystyle \int_0^b\ln(1+y)\,dy=(1+b)\ln(1+b)-b$이 성립하므로, 영의 부등식을 적용하여 아래 부등식을 얻는다.$\displaystyle ab\le e^a+(1+b)\ln(1+b)-a-b-1$단, 등호는 $\displaystyle b=e^a-1$일 때 성립한다.

예제 4. 적당한 양의 실수 $\displaystyle m$에 대하여 함수 $\displaystyle f_2(x)=x^m$에 영의 부등식을 적용하고 식을 변형하면 임의의 양의 실수 $\displaystyle a,b$에 대하여 아래의 부등식을 얻는다.$\displaystyle ab\le\frac23a^{3/2}+\frac13b^3$

예제 5. 양의 실수 전체에서 정의된 함수 $\displaystyle f_3(x)=\frac12(e^x-e^{-x})$는 0에서의 함수값이 0이고 연속인 증가함수이다. 이 함수의 역함수를 구하여 영의 부등식을 적용하면 적당한 실수 $\displaystyle p,q,r,s,t$에 대하여 아래의 부등식을 얻는다.(ㄴ) $\displaystyle ab\le pe^a+qe^{-a}+rb\ln(b+\sqrt{b^2+1})+s\sqrt{1+b^2}+t$