자연계열 2번

[문제 2-1]우선(*) $\displaystyle \int_0^b f^{-1}(y)\,dy=\int_0^{f(a)}f^{-1}(y)\,dy+\int_{f(a)}^b f^{-1}(y)\,dy$(*)의 우변 첫 번째 적분에서 $\displaystyle z=f^{-1}(y)$로 치환하면,$\displaystyle \int_0^{f(a)}f^{-1}(y)\,dy=\int_0^a zf^{\prime}(z)\,dz$를 얻는다.한편, 부분적분법에 의하여$\displaystyle \int_0^a zf^{\prime}(z)\,dz=af(a)-\int_0^a f(z)\,dz$이 성립한다.(*)에 이를 대입하면$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^b f^{-1}(y)\,dy&=\int_0^a f(x)\,dx+\int_0^{f(a)}f^{-1}(y)\,dy+\int_{f(a)}^b f^{-1}(y)\,dy\\&=af(a)+\int_{f(a)}^b f^{-1}(y)\,dy\end{aligned}$함수 $\displaystyle f^{-1}$는 증가함수이므로$\displaystyle af(a)+\int_{f(a)}^b f^{-1}(y)\,dy\ge af(a)+(b-f(a))a=ab$그러므로 부등식 $\displaystyle \int_0^a f(x)\,dx+\int_0^b f^{-1}(y)\,dy\ge ab$가 성립한다.

[문제 2-2]함수와 역함수의 그래프를 통해 아래 등식이 성립함을 알 수 있다.$\displaystyle \int_2^5 f(x)\,dx-(5-2)\cdot3+\int_3^{17}f^{-1}(y)\,dy-(17-3)\cdot2=(5-2)\cdot(17-3)$따라서 $\displaystyle \int_3^{17}f^{-1}(y)\,dy=50$이다.

[문제 2-3]예제 4의 함수 $\displaystyle f_2(x)=x^m$에서 $\displaystyle m$을 $\displaystyle 1/2$로 택하면 함수 $\displaystyle f_2$의 역함수는 $\displaystyle f_2^{-1}(y)=y^2$이다. 간단한 적분 계산 $\displaystyle \int_0^a f_2(x)\,dx=\int_0^a x^{1/2}\,dx=\frac23a^{\frac32}$, $\displaystyle \int_0^b f_2^{-1}(y)\,dy=\int_0^b y^2\,dy=\frac13b^3$과 영의 부등식으로부터 양의 실수 $\displaystyle a,b$에 대한 아래 부등식을 얻는다.$\displaystyle ab\le\frac23a^{3/2}+\frac13b^3$제시문 (나)에 따르면, 이 부등식의 등호가 성립하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle b=f_2(a)$, 즉 $\displaystyle a=b^2$이다.

[문제 2-4]주어진 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x=\frac12(e^y-e^{-y})$을 만족하는 $\displaystyle y$를 구하면 된다. 이 식의 양변에 $\displaystyle e^y$를 곱하고 $\displaystyle e^y$에 대한 이차 방정식을 풀면 $\displaystyle e^y>0$으로부터 $\displaystyle e^y=x+\sqrt{x^2+1}$, 따라서 $\displaystyle y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$, 즉 역함수에 대한 식 $\displaystyle f_3^{-1}(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$을 얻는다.

[문제 2-5]제시문의 $\displaystyle f_3(x)$와 [문제 2-4]에서 구한 역함수 $\displaystyle f_3^{-1}(y)$에 영의 부등식을 적용한다.우선 $\displaystyle \int_0^a f_3(x)\,dx=\frac{e^a+e^{-a}-2}2$. 부분적분법에 의하여$\displaystyle \int_0^b f_3^{-1}(y)\,dy=\int_0^b\ln(y+\sqrt{y^2+1})\,dy=\Biggl[y\ln(y+\sqrt{y^2+1})\Biggr]_0^b-\int_0^b\frac y{\sqrt{y^2+1}}\,dy$을 얻고 마지막 적분을 치환 적분으로 구하면$\displaystyle \int_0^b f_3^{-1}(y)\,dy=b\ln(b+\sqrt{b^2+1})-\Biggl[\sqrt{y^2+1}\Biggr]_0^b=b\ln(b+\sqrt{b^2+1})-\sqrt{b^2+1}+1$ 영의 부등식을 적용하면$\displaystyle ab\le\frac{e^a+e^{-a}-2}2+b\ln(b+\sqrt{b^2+1})-\sqrt{b^2+1}+1$$\displaystyle p=\frac12,q=\frac12,r=1,s=-1,t=0$으로 선택하면 부등식 (ㄴ)이 모든 양수$\displaystyle a,b$에 대하여 성립하며 $\displaystyle b=\frac{e^a-e^{-a}}2$일 때 등호가 성립한다.