자연계열 1번

[문제 1-1] $\displaystyle n=2$일 때 가능한 경우는왼쪽부터 제 1단이 ○○ ( X 가 0개), ○X ( X 가 1개), X○ ( X 가 1개) 경우로 나누어 가능한 경우를 모두 그린 것이다.

따라서 $\displaystyle a_2=7$이다.$\displaystyle n=3$일 때 제 2단의 모양에 따라 분류한다.(1) 제 2단이 ○○일 때 제 3단은 ○○, ○X, X○가 가능하므로 곱의 법칙에 의해 $\displaystyle n=2$일 때의 3가지와 곱하여 9(2) 제 2단이 ○X일 때 제 3단은 ○○, X○가 가능하므로 곱의 법칙에 의해 $\displaystyle n=2$일 때의 2가지와 곱하여 4(3) 제 2단이 X○일 때 제 3단은 ○○, ○X가 가능하므로 곱의 법칙에 의해 $\displaystyle n=2$일 때의 2가지와 곱하여 4따라서 합의 법칙에 의해 $\displaystyle a_3=17$이다.

[문제 1-2] 제 $\displaystyle n$단이 ○○일 때를 $\displaystyle b_n$, 제 $\displaystyle n$단이 ○X 또는 X○일 때를 $\displaystyle c_n$이라하면$\displaystyle a_n=b_n+c_n\ (n\ge1)$ --- (1)(1) 제 $\displaystyle n+1$단이 ○○인 경우는 제 $\displaystyle n$단에 무엇이 오더라도 상관이 없으므로$\displaystyle b_{n+1}=a_n$ ---(2)(2) 제 $\displaystyle n+1$단이 ○X 또는 X○일 때는 다음과 같은 경우가 가능하다.제 $\displaystyle n$단이 ○○일 때 논제 1을 참조하면 제 $\displaystyle n+1$단은 ○X, X○의 2가지이므로 $\displaystyle 2b_n$가지제 $\displaystyle n$단이 ○X 또는 X○일 때 논제 1을 참조하면 제 $\displaystyle n+1$단도 X○ 또는 ○X이므로 $\displaystyle c_n$가지따라서 $\displaystyle c_{n+1}=2b_n+c_n$ ---(3)(1), (2), (3)에서 $\displaystyle a_{n+1}=b_{n+1}+c_{n+1}=a_n+(2b_n+c_n)=a_n+(b_n+c_n)+b_n$$\displaystyle =a_n+a_n+b_n=2a_n+a_{n-1}\ (n\ge2)$이제 $\displaystyle a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n\ (n\ge1)$이므로 $\displaystyle c=2,\ d=1$

[문제 1-3] $\displaystyle a_1=3$이며 $\displaystyle a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$에서 $\displaystyle n=0$일 때 성립해야 하므로 $\displaystyle 7=a_2=2a_1+a_0=2\times3+a_0$에서 $\displaystyle a_0=1$. 따라서 $\displaystyle a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n\ (n\ge0)$.$\displaystyle \begin{aligned}f(x)&=1+3x+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}x^{n+2}=1+3x+\sum_{n=0}^{\infty}(2a_{n+1}+a_n)x^{n+2}\\&=1+3x+2x\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}+x^2\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=1+3x+2x(f(x)-1)+x^2f(x)\end{aligned}$따라서 $\displaystyle (x^2+2x-1)f(x)=-(x+1)$에서 $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{1-2x-x^2}$답 $\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{1-2x-x^2}$Comment. 이 유리함수와 급수가 실제 값으로 일치하는 범위는 $\displaystyle |x|<\sqrt2-1$이다. 그 밖에서는 유리함수 값이 정의되더라도 원래의 급수가 수렴하는 것은 아니다. 원문은 수렴 범위를 따로 적지 않았다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.