자연계열 2번

[문제 2-1] 두 점 $\displaystyle P$와 $\displaystyle Q$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=-x-1$이다. 이 식을 곡선 $\displaystyle C$의 방정식에 대입하여 정리하면, 식 $\displaystyle x(x-2)(x+1)=0$을 얻는다. 따라서, 점 $\displaystyle R$의 좌표는 $\displaystyle (-1,0)$이다.

두 점 $\displaystyle R$과 $\displaystyle E$를 지나는 직선의 방정식은 $\displaystyle y=x+1$이다. 다시 이 식을 곡선 $\displaystyle C$의 방정식에 대입하여 정리하면, 식 $\displaystyle x(x-2)(x+1)=0$을 얻는다. 따라서, $\displaystyle P*Q$의 좌표는 $\displaystyle (2,3)$이다.

[문제 2-2] 변곡점을 구하기 위해 양함수 꼴로 바꾸면 $\displaystyle y=\pm\sqrt{x^3+1}$이다. 두 함수는 $\displaystyle x$축에 대해 대칭이므로 $\displaystyle y=\sqrt{x^3+1}$인 경우만 생각해도 무방하다. 두 번 미분하면 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}$ 및 $\displaystyle y^{\prime\prime}=\frac{12x(x^3+1)-9x^4}{4(x^3+1)^{3/2}}=\frac{3x(x^3+4)}{4(x^3+1)^{3/2}}$를 얻는다.

따라서 $\displaystyle y^{\prime\prime}=0$이면 $\displaystyle 3x(x^3+4)=0$이고, 이때 $\displaystyle x^3+4=y^2+3>0$이므로 $\displaystyle x=0$이 유일한 근이다. 따라서 이 때 $\displaystyle y=\pm1$이고, 변곡점의 후보로 가능한 점은 $\displaystyle (0,\pm1)$뿐이다.

한편 $\displaystyle |x|<1$인 경우 $\displaystyle y^{\prime\prime}=\frac{3x(x^3+4)}{4(x^3+1)^{3/2}}$의 부호는 $\displaystyle x$에 의해서만 결정되므로, $\displaystyle (0,1)$에서 $\displaystyle -1<x<0$일 때 $\displaystyle y^{\prime\prime}(x)<0$ 및 $\displaystyle 0<x<1$일 때 $\displaystyle y^{\prime\prime}(x)>0$을 얻는다. 대칭성에 의해 $\displaystyle (0,-1)$에서도 같다. 즉, $\displaystyle (0,\pm1)$은 실제로 변곡점이다.

[문제 2-3] (1) 정답: $\displaystyle A=(0,1),\ (0,-1),\ (2,-3)$방정식 $\displaystyle y^2=x^3+1$과 $\displaystyle y$축이 만나는 점은 $\displaystyle E(0,1)$ 및 $\displaystyle (0,-1)$뿐이고, 이 두 점에서 문제에 주어진 조건이 성립함은 당연하다.

이 두 점이 아닌 $\displaystyle A$의 좌표값을 $\displaystyle (a,b)$라고 하자. 그러면 직선 $\displaystyle \overline{EA}$의 방정식은 $\displaystyle y=mx+1$이고 $\displaystyle m=\frac{b-1}a\ne0$이다. 이 식을 곡선의 방정식에 대입하여 풀면, $\displaystyle (mx+1)^2=x^3+1$, 따라서 $\displaystyle x(x^2-m^2x-2m)=0$이다. 따라서 이 식이 $\displaystyle A$와 $\displaystyle E$이외의 다른 점에서 만나지 않으려면 방정식 $\displaystyle x^2-m^2x-2m=0$이 중근을 가져야 한다. 즉 $\displaystyle m^4+8m=m(m^3+8)=0$이고 $\displaystyle m$은 0이 아닌 실수이므로 $\displaystyle m=-2$이다.

이 때 중근은 $\displaystyle x=2$이므로 $\displaystyle x=2,y=-3$을 얻는다.

(2) 정답: $\displaystyle B=(0,1),\ (2,-3)$$\displaystyle E*E=E$임은 정의에 의해 성립하므로, $\displaystyle B\ne E$이면서 조건을 만족하는 점 $\displaystyle B$를 구해보자. $\displaystyle B*B$가 존재하므로, $\displaystyle B$에서의 접선이 지나는 점 $\displaystyle R$을 생각하자. 문제 1-3(1)에서 $\displaystyle R$이 $\displaystyle E$나 $\displaystyle (0,-1),\ (2,-3)$이 아니면 $\displaystyle \overline{RE}$는 항상 $\displaystyle E$가 아닌 다른 점과 곡선에서 만난다. 한편 $\displaystyle R$이 $\displaystyle (0,-1)$ 또는 $\displaystyle (2,-3)$일 경우 조건 (1)로부터 $\displaystyle B*B$가 존재하지 않는다. 즉 $\displaystyle R=E$이다. Correction. ‘문제 1-3(1)’은 이 문항의 ‘문제 2-3(1)’을 가리킨다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

따라서, $\displaystyle B$에서의 접선이 $\displaystyle E$를 지나는 점 $\displaystyle B(a,b)$를 구하면 된다. $\displaystyle y=\pm\sqrt{x^3+1}$ 두 경우 모두 기울기는 $\displaystyle \frac{3a^2}{2b}$이고, 접선의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{3a^2}{2b}(x-a)+b$이다. 이 점이 $\displaystyle E$를 지나므로 이를 대입하면 $\displaystyle 1=-a\cdot\frac{3a^2}{2b}+b=-\frac{3(b^2-1)}{2b}+b$, 정리하면 $\displaystyle (b-1)(b+3)=0$이고 $\displaystyle b=-3$을 얻는다.따라서 $\displaystyle B=(2,-3)$이다.이 때 $\displaystyle B$에서의 접선은 $\displaystyle E$를 지나므로, $\displaystyle R=E$인 경우에 해당하고 조건 (3)으로부터 $\displaystyle B*B=E$를 만족한다.Comment. 정의 (3)은 $\displaystyle P=Q=E$인 경우만 명시하고 있어, 다른 점 $\displaystyle B$에서 접선이 $\displaystyle E$를 만나는 $\displaystyle R=E$인 경우까지 직접 정의하지는 않았다. 이 답안은 $\displaystyle R=E$이면 다시 $\displaystyle E$에서의 접선을 사용해 $\displaystyle B*B=E$로 정하는 해석을 적용한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.