자연계열 1번

[문제 1-1] (1) 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle [50,200]$에서의 평균은$\displaystyle \frac1{200-50}\left(\int_{50}^{100}x\,dx+\int_{100}^{200}100\cos^2\left(\frac\pi{200}(x-100)\right)dx\right)$

이다. 괄호 안 첫 적분은 $\displaystyle \Biggl[\frac12x^2\Biggr]_{50}^{100}=3750$이고,

두 번째 적분은 치환 $\displaystyle y=\frac\pi{200}(x-100)$과 배각공식 $\displaystyle \cos(2y)=2\cos^2y-1$에 의하여$\displaystyle \frac{20000}\pi\int_0^{\frac\pi2}\cos^2y\,dy=\frac{20000}\pi\int_0^{\frac\pi2}\frac{1+\cos(2y)}2\,dy=\frac{10000}\pi\Biggl[y+\frac12\sin(2y)\Biggr]_0^{\frac\pi2}=5000$이 된다.

그러므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle [50,200]$에서의 평균은 $\displaystyle \frac1{150}(3750+5000)=\frac{175}3$이다.

(2) 사건들 $\displaystyle \{0\},\{1\},\{2\}$의 확률은 이항분포에 의하여 각각 $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{0}(\frac12)^5$, $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{1}(\frac12)^5$, $\displaystyle {}_{5}\mathrm{C}_{2}(\frac12)^5$이며 이들의 합은 $\displaystyle \frac{1+5+10}{2^5}=\frac12$이다.

그러므로 사건 $\displaystyle \{0,1,2\}$에서의 확률변수 $\displaystyle X$의 평균은 제시문 (나)안의 정의에 의하여$\displaystyle \frac1{\frac12}\left(0^2\cdot\frac1{2^5}+1^2\cdot\frac5{2^5}+2^2\cdot\frac{10}{2^5}\right)=\frac{45}{16}$가 된다.

정적분의 성질에 의해서 $\displaystyle \int_{a_0}^{a_m}g(x)\,dx$는 $\displaystyle m$개의 정적분들 $\displaystyle \int_{a_0}^{a_1}g(x)\,dx,\ldots,\int_{a_{m-1}}^{a_m}g(x)\,dx$의 합이 되기 때문에 우리는$\displaystyle \frac1{a_m-a_0}\int_{a_0}^{a_m}g(x)\,dx=\frac1{a_m-a_0}\sum_{l=1}^m\int_{a_{l-1}}^{a_l}g(x)\,dx$를 관찰할 수 있다.

정의에 의해서 각 구간 $\displaystyle [a_{l-1},a_l]$에서 함수 $\displaystyle g(x)$는 상수 $\displaystyle c_l$이므로 위 식은 다시$\displaystyle \frac1{a_m-a_0}\sum_{l=1}^m c_l(a_l-a_{l-1})$이 된다.

이제 $\displaystyle c_l$의 정의를 대입하면, 우리는$\displaystyle \frac1{a_m-a_0}\sum_{l=1}^m\left[\frac1{a_l-a_{l-1}}\int_{a_{l-1}}^{a_l}f(v)\,dv\cdot(a_l-a_{l-1})\right]=\frac1{a_m-a_0}\sum_{l=1}^m\int_{a_{l-1}}^{a_l}f(v)\,dv$를 얻게 되고,

다시 정적분의 성질에 의하여 위의 마지막 항이 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle f(x)$의 평균이 됨을 볼 수 있다. 그러므로 $\displaystyle [a,b]$에서 두 함수 $\displaystyle f(x),g(x)$의 평균은 같다.

[문제 1-3] (1) 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가함수이다. 즉, 구간 $\displaystyle (a,b)$안에 있는 임의의 $\displaystyle x_1<x_2$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(x_1)\le f^{\prime}(x_2)$이다. 왜냐하면 구간 $\displaystyle [x_1,x_2]$이 $\displaystyle (a,b)$안에 있고, 가정에 의해서 도함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$은 $\displaystyle [x_1,x_2]$의 모든 점에서 미분가능하고 따라서 연속이기 때문에 평균값 정리에 의하여, $\displaystyle (x_1,x_2)$ 안에 어떤 $\displaystyle c$가 존재하며 $\displaystyle f^{\prime}(x_2)-f^{\prime}(x_1)=f^{\prime\prime}(c)(x_2-x_1)\ge0$이 성립하여 $\displaystyle f^{\prime}(x_1)\le f^{\prime}(x_2)$이 된다.

함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 상의 임의의 점 $\displaystyle (x_0,f(x_0))$에서 그은 접선 $\displaystyle \ell$의 식은$\displaystyle y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$ 즉, $\displaystyle y=f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$으로 표현된다.

(i) $\displaystyle x>x_0$일 때평균값 정리에 의해 $\displaystyle x_0<c<x$인 $\displaystyle c$가 존재하여 $\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime}(c)$가 되고 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가함수이므로 $\displaystyle f^{\prime}(c)\ge f^{\prime}(x_0)$이 된다. 따라서 $\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge f^{\prime}(x_0)$이므로 $\displaystyle f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$을 얻는다.

(ii) $\displaystyle x<x_0$일 때평균값 정리에 의해 $\displaystyle x<c<x_0$인 $\displaystyle c$가 존재하여 $\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime}(c)$가 되고 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 증가함수이므로 이번에는 $\displaystyle f^{\prime}(c)\le f^{\prime}(x_0)$. 따라서 $\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le f^{\prime}(x_0)$이므로 $\displaystyle f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$을 얻는다. ($\displaystyle x-x_0$는 음수이므로 양변에 곱할 때 부등호 방향이 바뀐다)

(2) $\displaystyle (a,b)$안의 임의의 점 $\displaystyle x_0$와 $\displaystyle [x_0-d,x_0+d]\subset(a,b)$가 되는 임의의 양수 $\displaystyle d$에 대하여, $\displaystyle x\in[x_0-d,x_0+d]$이면 (1)에 의하여 $\displaystyle f(x)\ge f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0)$이 된다.

이 부등식의 양변을 $\displaystyle x_0-d$에서 $\displaystyle x_0+d$까지 적분하고 $\displaystyle 2d$로 나누면, 좌변은 ‘구간 $\displaystyle [x_0-d,x_0+d]$에서의 함수 $\displaystyle f(x)$의 평균’이고, 우변은$\displaystyle \frac1{2d}\int_{x_0-d}^{x_0+d}(f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0))\,dx=\frac{f(x_0)}{2d}\int_{x_0-d}^{x_0+d}1\,dx+\frac{f^{\prime}(x_0)}{2d}\int_{x_0-d}^{x_0+d}(x-x_0)\,dx$이다.

이때 적분 $\displaystyle \int_{x_0-d}^{x_0+d}1\,dx$의 값은 $\displaystyle 2d$이고, 적분 $\displaystyle \int_{x_0-d}^{x_0+d}(x-x_0)\,dx$는 치환 $\displaystyle y=x-x_0$에 의하여 $\displaystyle \int_{-d}^d y\,dy=\Biggl[\frac12y^2\Biggr]_{-d}^d=0$이 되어 $\displaystyle \frac1{2d}\int_{x_0-d}^{x_0+d}(f(x_0)+f^{\prime}(x_0)(x-x_0))\,dx$의 값은 $\displaystyle f(x_0)$가 된다.

그러므로 구간 $\displaystyle [x_0-d,x_0+d]$에서의 함수 $\displaystyle f(x)$의 평균은 항상 $\displaystyle f(x_0)$보다 크거나 같게 된다.

한편, 구간 $\displaystyle [x_0-d,x_0+d]$에서의 ‘$\displaystyle f(x)=px^2+qx+r$의 평균’ (단, $\displaystyle p>0$)은$\displaystyle \begin{aligned}&\frac1{2d}\int_{x_0-d}^{x_0+d}(px^2+qx+r)\,dx\\&=\frac1{2d}\Biggl[\frac p3x^3+\frac q2x^2+rx\Biggr]_{x_0-d}^{x_0+d}\\&=\frac1{2d}\left(\frac p3((x_0+d)^3-(x_0-d)^3)+\frac q2((x_0+d)^2-(x_0-d)^2)+r(x_0+d-(x_0-d))\right)\\&=\frac1{2d}\left(\frac{2d\times p}3(3x_0^2+d^2)+\frac{2d\times q}2(2x_0)+r(2d)\right)\\&=px_0^2+qx_0+r+\frac{pd^2}3\\&=f(x_0)+\frac{pd^2}3\end{aligned}$

이므로 구간 $\displaystyle [x_0-d,x_0+d]$에서의 함수 $\displaystyle f(x)$의 평균은 항상 $\displaystyle f(x_0)$보다 크게 된다.