자연계열 2번

[문제 2-1] (1) 점 $\displaystyle C$에서 직선 $\displaystyle AB$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle F$라 하면 $\displaystyle \angle B=150^{\circ}$이므로 $\displaystyle \angle CBF=30^{\circ}$

$\displaystyle \overline{BC}=1$이므로 $\displaystyle \overline{CF}=1/2=\overline{AE}$. 따라서 $\displaystyle AB\mathbin{//}CE$이고 $\displaystyle \angle AEC=90^{\circ}$. 이제 $\displaystyle \angle ECB=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$이므로 직선 $\displaystyle CE$는 $\displaystyle \angle C$를 이등분한다.

(2) $\displaystyle \overline{EC}=\overline{AF}=\overline{AB}+\overline{BF}=\frac12+\overline{BC}\times\cos30^{\circ}=\frac12+\frac{\sqrt3}2$.

사인법칙에 의해 $\displaystyle \frac{\overline{ED}}{\sin30^{\circ}}=\frac{\overline{CD}}{\sin15^{\circ}}$ 따라서 $\displaystyle \overline{DE}=\frac14\times\frac1{\sin15^{\circ}}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4$.

[문제 2-2] (1) 가능한 경우는 4개의 각 일 때 $\displaystyle 60^{\circ}-60^{\circ}-105^{\circ}-135^{\circ}$, 3개의 각 일 때 $\displaystyle 105^{\circ}-105^{\circ}-150^{\circ}$, $\displaystyle 90^{\circ}-135^{\circ}-135^{\circ}$, $\displaystyle 90^{\circ}-90^{\circ}-180^{\circ}$

(2) 길이가 같은 변을 완전히 일치시켜 이어 붙인 [모양] 중 점대칭 이동 시킨 것은 다음과 같이 두 종류이고, 각각의 중심은 $\displaystyle F$와 $\displaystyle G$이다.

평행인 변은 $\displaystyle AB\parallel A^{\prime}B^{\prime}$, $\displaystyle BC\parallel B^{\prime}C^{\prime}$, $\displaystyle AE\parallel A^{\prime}E^{\prime}$은 공통, [그림 5]에서는 $\displaystyle CD\parallel C^{\prime}D^{\prime}$, [그림 6]에서는 $\displaystyle DE\parallel D^{\prime}E^{\prime}$

(3) (경우1:[그림 7]) $\displaystyle \angle C=60^{\circ}$, $\displaystyle \overline{C^{\prime}H}=\overline{C^{\prime}D^{\prime}}=\frac12$이므로 $\displaystyle \overline{HD^{\prime}}=\frac12=\overline{HB^{\prime}}$ 즉, $\displaystyle \triangle HD^{\prime}B^{\prime}$은 이등변삼각형이고, $\displaystyle \angle D^{\prime}HB^{\prime}=120^{\circ}$ 따라서 $\displaystyle \triangle C^{\prime}D^{\prime}B^{\prime}$는 $\displaystyle 90^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}$삼각형이고, $\displaystyle \angle E^{\prime}D^{\prime}B^{\prime}=\angle D^{\prime}-90^{\circ}=135^{\circ}-90^{\circ}=45^{\circ}$.

한편 $\displaystyle \angle A^{\prime}B^{\prime}D^{\prime}=150^{\circ}-\angle C^{\prime}B^{\prime}D^{\prime}=120^{\circ}$이고 $\displaystyle \angle DCB=60^{\circ}$이므로 점 $\displaystyle D,C,D^{\prime}$은 일직선상에 있다. 이제 $\displaystyle \angle EDC=135^{\circ}$이고 $\displaystyle \angle E^{\prime}D^{\prime}B^{\prime}=45^{\circ}$이므로 $\displaystyle DE\parallel D^{\prime}E^{\prime}$.

(경우1)에서 $\displaystyle \triangle C^{\prime}D^{\prime}B^{\prime}$는 직각삼각형이고 $\displaystyle \angle D^{\prime}=135^{\circ}$이므로, 점 $\displaystyle K$를 $\displaystyle E^{\prime}$에서 $\displaystyle \overline{B^{\prime}D^{\prime}}$에 내린 수선의 발이라 하면 $\displaystyle \triangle KB^{\prime}D^{\prime}$은 $\displaystyle 90^{\circ}-45^{\circ}-45^{\circ}$삼각형이다.

이제 $\displaystyle \angle A^{\prime}E^{\prime}D^{\prime}=105^{\circ}$, $\displaystyle \angle A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}=150^{\circ}$이므로 $\displaystyle \angle D^{\prime}E^{\prime}C^{\prime\prime}=360^{\circ}-(105^{\circ}+150^{\circ})=105^{\circ}$. $\displaystyle \angle D^{\prime\prime}B^{\prime\prime}C^{\prime\prime}=30^{\circ}$이므로 $\displaystyle D^{\prime\prime}$, $\displaystyle B^{\prime\prime}(=E^{\prime})$, $\displaystyle K$가 이루는 각은 $\displaystyle 180^{\circ}$, 즉 $\displaystyle D^{\prime\prime}$, $\displaystyle B^{\prime\prime}(=E^{\prime})$, $\displaystyle K$는 일직선상에 있다. 따라서 $\displaystyle CD\parallel C^{\prime\prime}D^{\prime\prime}$

[문제 2-3] (1) [그림 2]의 점 $\displaystyle D$에서 $\displaystyle \overline{CE}$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H$라하면, $\displaystyle \angle DCE=30^{\circ}$ ([문제 2-1] (1)번 참조) 이므로 $\displaystyle \overline{DH}=\overline{CE}\sin30^{\circ}=\frac12\times\frac12=\frac14$

[그림 10]에서 직선 $\displaystyle RS$와 직선 $\displaystyle TU$의 사이거리는$\displaystyle \frac12+\frac14+\frac12=\frac54$

(2) [그림 9]에서 $\displaystyle \overline{B^{\prime\prime}D^{\prime\prime}}=1\times\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt3}2$이고,$\displaystyle \overline{B^{\prime}K}=\overline{D^{\prime}E^{\prime}}\times\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}4\times\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt3+1}4$.

이제 직선 $\displaystyle TU$와 직선 $\displaystyle VW$의 사이거리는$\displaystyle \frac{\sqrt3}2+\frac{\sqrt3+1}4=\frac{3\sqrt3+1}4$