자연계열 1번

[문제 1-1](1) 점 $\displaystyle \mathrm{X}$가 $\displaystyle (40,19)$ 위치까지 가기 위해서는 $\displaystyle \mathrm{E}$가 40번, $\displaystyle \mathrm{N}$이 19번 진행되어야 한다. 따라서 모두 59번 이동하여야 하므로 $\displaystyle (40,19)$에 적히는 수는 $\displaystyle A=2^{-59}$이다. 비슷한 이유로 $\displaystyle (40,20)$에 적히는 수는 $\displaystyle B=2^{-60}$이다. 따라서 $\displaystyle \log_2AB=\log_22^{-119}=-119$

(2) 좌표에 적히는 수가 $\displaystyle 2^{-2020}$이므로 모두 2020번 진행되어야 한다. 이동하는 방식은 $\displaystyle \mathrm{E},\ \mathrm{E},\ \mathrm{N}$이 반복되고 이를 한 주기라고 하자. $\displaystyle 2020=3\times673+1$이므로 주기가 673번 반복하고 한 칸 더 이동하여야 한다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{E}$이동은 모두 $\displaystyle 2\times673+1=1347$번 시행되고, $\displaystyle \mathrm{N}$이동은 673번 시행된다. 따라서 $\displaystyle 2^{-2020}$가 적혀 있는 점의 좌표는 $\displaystyle (1347,673)$이다.

(3) 점 $\displaystyle \mathrm{X}$의 경로상의 점은 원점을 제외하고 항상 양의 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle (2n-1,n-1),\ (2n,n-1),\ (2n,n)$로 쓰일 수 있다. 이 세 점이 $\displaystyle y\ge x^2-\frac{47}{2}x+\frac{125}{2}$를 만족하도록 하는 $\displaystyle n$을 차례대로 구해보면 아래와 같다.① $\displaystyle n-1\ge(2n-1)^2-\frac{47}{2}(2n-1)+\frac{125}{2}$에서 $\displaystyle 4(n^2-13n+22)=4(n-2)(n-11)\le0$이다. 따라서 $\displaystyle 2\le n\le11$.② $\displaystyle n-1\ge(2n)^2-\frac{47}{2}(2n)+\frac{125}{2}$에서 $\displaystyle 4n^2-48n+\frac{127}{2}\le0$이다.$\displaystyle f(n)=4n^2-48n+\frac{127}{2}$의 중심 축이 $\displaystyle n=6$이고 $\displaystyle f(1)>0,\ f(2)<0$이므로 $\displaystyle f(n)\le0$을 만족하는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 2\le n\le10$이다.③ $\displaystyle n\ge(2n)^2-\frac{47}{2}(2n)+\frac{125}{2}$에서 $\displaystyle 4n^2-48n+\frac{125}{2}\le0$이고, 같은 방식으로 풀면 만족하는 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 2\le n\le10$이다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{X}$의 경로 위에서 $\displaystyle y\ge x^2-\frac{47}{2}x+\frac{125}{2}$에 해당하는 점은 $\displaystyle (3,1)$부터 시작하여 $\displaystyle (21,10)$까지의 28개의 점이다. 1)

따라서 적혀있는 수의 합 $\displaystyle t$는$\displaystyle t=\sum_{k=4}^{31}2^{-k}=2^{-4}\frac{1-\frac{1}{2^{28}}}{1-\frac{1}{2}}=2^{-3}-2^{-31}$이다. 따라서 $\displaystyle 1-8t=2^{-28}$.

[문제 1-2](1) $\displaystyle (3,3)$의 위치는 원점으로부터 6만큼 떨어져 있으므로 최소 6번 이동해야 한다. $\displaystyle \mathrm{E},\ \mathrm{W},\ \mathrm{N},\ \mathrm{S}$의 횟수를 각각 $\displaystyle e,\ w,\ n,\ s$라고 하면 $\displaystyle e-w=3,\ n-s=3$을 만족해야 하므로 $\displaystyle e=3+w,\ n=3+s$이다. 따라서 $\displaystyle e+w+n+s=6+2(w+s)$이므로 전체 횟수의 합 $\displaystyle e+w+n+s$는 반드시 짝수가 된다.

한편, 6이상의 모든 짝수 $\displaystyle 2\ell$ (단, $\displaystyle \ell\ge3$)에 대하여,$\displaystyle \mathrm{N},\ \ldots,\ \mathrm{N}$ ($\displaystyle \mathrm{N}$을 $\displaystyle \ell$번 반복), $\displaystyle \mathrm{E},\ \mathrm{E},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \ldots,\ \mathrm{S}$ ($\displaystyle \mathrm{S}$를 $\displaystyle \ell-3$번 반복)과 같은 방법으로 이동하면 이 경로는 겹치지 않고 $\displaystyle 2\ell$번 이동하여 $\displaystyle (3,3)$의 위치에 도달하게 된다. 따라서 $\displaystyle (3,3)$의 위치에 적힌 수가 $\displaystyle 2^{-k}$라면 $\displaystyle k$는 6이상의 모든 짝수가 모두 가능하다. 이 중 2020보다 작거나 같은 6이상의 짝수는 모두 1008개다.

(2) 원점에서 출발하여 8번 이동하여 $\displaystyle (3,3)$으로 가려면 $\displaystyle \mathrm{E}$가 세 번, $\displaystyle \mathrm{N}$이 세 번과 함께 나머지 2번의 이동이 결정되면 된다. 나머지 움직임은 $\displaystyle \mathrm{N},\ \mathrm{S}$이거나 $\displaystyle \mathrm{W},\ \mathrm{E}$이다. 한편 $\displaystyle \mathrm{X}$의 경로는 한번 지났던 점을 또 지나지 않으므로 $\displaystyle \mathrm{N},\ \mathrm{S}$는 서로 붙어서 나오지 않고, 또한 $\displaystyle \mathrm{W},\ \mathrm{E}$도 서로 붙어서 나오지 않는다.

나머지 움직임이 $\displaystyle \mathrm{N},\ \mathrm{S}$인 경우 :총 이동하는 방법은 $\displaystyle \mathrm{E},\ \mathrm{E},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{N},\ \mathrm{N},\ \mathrm{N},\ \mathrm{N}$을 한 번씩 사용하여 이동하는 것이다. $\displaystyle \mathrm{S}$와 $\displaystyle \mathrm{N}$이 연속해서 나올 수 없으므로 $\displaystyle \mathrm{S}$는 반드시 $\displaystyle \mathrm{E}$와 연속할 수 있다. 다음 세 가지 경우로 나누어 순열을 구해보자.1) $\displaystyle \mathrm{S}$로 시작하는 경우 - $\displaystyle \mathrm{S},\ \mathrm{E},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X}$에서 $\displaystyle \mathrm{X}$의 칸을 두 개의 $\displaystyle \mathrm{E}$, 네 개의 $\displaystyle \mathrm{N}$으로 채우면 되므로 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{4!\times2!}=15$이다.2) $\displaystyle \mathrm{S}$로 끝나는 경우 - 마찬가지로 $\displaystyle \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{X},\ \mathrm{E},\ \mathrm{S}$에서 $\displaystyle \mathrm{X}$의 칸을 두 개의 $\displaystyle \mathrm{E}$, 네 개의 $\displaystyle \mathrm{N}$으로 채우면 되므로 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{4!\times2!}=15$이다.3) $\displaystyle \mathrm{S}$가 도중에 나오는 경우 - $\displaystyle \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{E}$가 붙어서 나와야 하므로 $\displaystyle \mathrm{E},\ \mathrm{S},\ \mathrm{E}$를 $\displaystyle Z$라고 표현하면, $\displaystyle Z,\ \mathrm{E},\ \mathrm{N},\ \mathrm{N},\ \mathrm{N},\ \mathrm{N}$을 나열하는 방법의 수와 같다. 따라서 경우의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{4!}=30$이다.이를 종합하면 모두 $\displaystyle 15+15+30=60$가지 경우가 있다.

나머지 움직임이 $\displaystyle \mathrm{E},\ \mathrm{W}$인 경우에도 위와 같이 계산하여 모두 60가지가 된다.따라서 점 $\displaystyle \mathrm{X}$의 이동 경로의 경우의 수는 120이다.