자연계열 2번

[문제 2-1](1) $\displaystyle f_1(x)$를 $\displaystyle x$에 대해 미분하면 $\displaystyle f_1^{\prime}(x)=8(x-3)^3-10(x-3)=2(x-3)(4(x-3)^2-5)$이다. $\displaystyle x-3=t$로 치환하면, $\displaystyle 2t(4t^2-5)=0$가 되고 해는 $\displaystyle t=0,\ \pm\frac{\sqrt5}{2}$이다.따라서 $\displaystyle f_1^{\prime}(x)=0$의 해는 $\displaystyle x=3,\ 3\pm\frac{\sqrt5}{2}$이다.즉, $\displaystyle x=3$일 때 극댓값, $\displaystyle x=\pm\frac{\sqrt5}{2}$일 때 극솟값을 가진다는 것을 알 수 있고, 극댓점은 $\displaystyle (3,3)$, 극소점은 $\displaystyle \left(3\pm\sqrt{\frac54},-\frac18\right)$이다.Correction. 극솟값을 갖는 곳은 $\displaystyle x=3\pm\frac{\sqrt5}{2}$이다. 답안과 채점기준의 이 문장에는 평행이동한 값 3이 빠져 있지만, 바로 뒤 극소점의 좌표에는 들어 있다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이 세 점을 지나는 이차방정식은 제시문 (나)에 의하여, $\displaystyle x=3$에 대하여 대칭이라는 것을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle f_2=a(x-3)^2+r$라 둘 수 있다. $\displaystyle y=f_2(x)$의 그래프는 $\displaystyle (3,3)$과 $\displaystyle \left(3\pm\sqrt{\frac54},-\frac18\right)$을 지나므로, $\displaystyle f_2(3)=3,\ f_2\left(3\pm\frac{\sqrt5}{2}\right)=-\frac18$이다.즉, $\displaystyle f_2(3)=r=3,\ f_2\left(3\pm\sqrt{\frac54}\right)=\frac{5a}{4}+r=-\frac18$이다. 따라서 $\displaystyle 10a=-25$이다.

(2) 네 함수의 그래프는 모두 직선 $\displaystyle x=p$에 대하여 대칭인 그래프들이다. 주어진 두 이차함수 $\displaystyle y=2(x-3)^2$와 $\displaystyle y=2(x-3)^2+4$의 그래프는 평행 이동하여 겹쳐질 수 있으므로 서로 만나지 않는다. 또한 (1)에서 얻은 결과를 바탕으로, $\displaystyle f_2(x)=-\frac52(x-3)^2+3$임을 알 수 있고, $\displaystyle y=f_2(x)$의 그래프는 주어진 이차함수 $\displaystyle y=f_3(x)$의 그래프와는 두 점에서 만나며, $\displaystyle y=f_4(x)$의 그래프와는 만나지 않는다는 것을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle y=f_1(x)$의 그래프를 제외한 세 함수의 그래프들 사이의 교점의 개수는 2개이다.

이제 사차함수 $\displaystyle y=f_1(x)$과 다른 주어진 두 이차 함수사이의 교점의 개수를 살펴보자. $\displaystyle y=f_4(x)$의 그래프와 $\displaystyle y=f_1(x)$의 그래프의 교점의 개수는 $\displaystyle 2(x-3)^4-7(x-3)^2-1=0$의 실수해의 개수와 같다. $\displaystyle t=(x-3)^2$으로 치환하면 $\displaystyle 2t^2-3t-1=0$이 나오므로, 양수인 해가 하나이므로, $\displaystyle 2(x-3)^4-3(x-3)^2-1=0$의 실수해는 두 개가 되어, 두 그래프의 교점의 개수 또한 2개가 된다.Correction. $\displaystyle t=(x-3)^2$으로 치환하면 $\displaystyle 2t^2-7t-1=0$이다. 원문의 중간 두 식은 계수 $\displaystyle -7$을 $\displaystyle -3$으로 잘못 썼으며, 양의 실근이 하나라는 결론에는 영향이 없다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.마찬가지로 $\displaystyle y=f_3(x)$의 그래프와 $\displaystyle y=f_1(x)$의 그래프의 교점의 개수는 $\displaystyle 2(x-3)^4-7(x-3)^2+3=0$의 실수해의 개수와 같다. $\displaystyle t=(x-3)^2$으로 치환하면 $\displaystyle 2t^2-7t+3=(2t-1)(t-3)=0$가 되어 양수인 해가 두 개로, 즉, 두 그래프의 교점의 개수 또한 4개가 된다.$\displaystyle y=f_2(x)$는 4차 함수 $\displaystyle y=f_1(x)$는 세 극점을 지나므로 세 점에서 만난다는 것을 알 수 있고, 그 중 하나는 대칭축에 해당하는 $\displaystyle x=3$이다.

함수의 그래프 중 어떠한 세 개도 한 점에서 만나지 않으므로, 이 11개의 교점은 모두 다르다. 따라서 교점의 개수는 11개이다.

이 11개의 교점 중 하나는 대칭축에 해당하는 $\displaystyle x=3$이다. $\displaystyle x$좌표가 $\displaystyle x=3$이 아닌 교점은 $\displaystyle x=3$에 대하여 대칭적인 점을 교점으로 가지며, $\displaystyle x=3$에 대칭인 두 교점의 $\displaystyle x$좌표의 합은 항상 6이므로, $\displaystyle x_1+\cdots+x_{11}=6\times5+3=30+3=33$이 성립한다.$\displaystyle (\ast\ast)$ 네 함수 $\displaystyle y=f_i(x)$ ($\displaystyle i\in\{1,2,3,4\}$)의 그래프의 개형을 그려보면 다음과 같다.

[문제 2-2](1) $\displaystyle h(x)=g(x)-f(x)$라 두자. 주어진 조건을 만족하기 위해서는 4차 함수 $\displaystyle y=h(x)$의 그래프는 $\displaystyle x$축 위에 그려지며 $\displaystyle x$축과 두 개의 점에서 접한다. 즉, $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=24(x-3)^2-16$ 되어 변곡점이 $\displaystyle x=3$에 대칭이므로 $\displaystyle y=h(x)$역시 $\displaystyle x=3$에 대칭이고 함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프 역시 반드시 직선 $\displaystyle x=3$에 대하여 대칭이어야 한다. 따라서 $\displaystyle f(x)=3(x-3)^2+q$라 둘 수 있다.Comment. 이계도함수의 변곡점이 대칭이라는 사실만으로 원래 함수가 대칭인 것은 아니다. 여기서는 $\displaystyle h(x)\ge0$이고 서로 다른 두 점에서 영이므로 $\displaystyle h(x)=2(x-u)^2(x-v)^2$이다. 삼차항 계수를 비교하면 $\displaystyle u+v=6$이어서 대칭축이 $\displaystyle x=3$임을 알 수 있다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle h(x)=2(x-3)^4-8(x-3)^2+3-q$가 직선 $\displaystyle x=3$에 대칭이며 $\displaystyle x$축에 두 점에서 접하는 4차 함수이므로, $\displaystyle h(3)=3-q>0$가 되고 $\displaystyle t=(x-3)^2$으로 치환한 이차방정식 $\displaystyle 2t^2-8t+3-q=0$의 실근은 모두 양수이다. 따라서 이차방정식 $\displaystyle 2t^2-8t+3-q=0$을 만족하는 실수 $\displaystyle t$는 반드시 하나가 나와야 하므로, 판별식 $\displaystyle D/4=16-6+2q=0$이다. 즉, $\displaystyle q=-5$이다. 따라서 $\displaystyle f(3)=q=-5$이다.

(2) 두 곡선 $\displaystyle f(x)=3(x-3)^2-5,\ g(x)=2(x-3)^4-5(x-3)^2+3$ 교점의 $\displaystyle x$좌표를 구해보면, $\displaystyle x=3\pm\sqrt2$이다. 이를 그래프로 표현하면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle y=g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이는$\displaystyle S=\int_{3-\sqrt2}^{3+\sqrt2}[g(x)-f(x)]\,dx$이다. 이제 $\displaystyle x-3=t$로 치환하면$\displaystyle S$의 넓이 $\displaystyle =\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(2t^4-8t^2+8)\,dt=\Biggl[\frac25t^5-\frac83t^3+8t\Biggr]_{-\sqrt2}^{\sqrt2}=\frac{128}{15}\sqrt2$