자연계열 1번

[1-1] (20점)(1) (10점) $\displaystyle y=2x^2-4x+a=2(x-1)^2+a-2$이므로, 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표는 1이고 이것이 구간 $\displaystyle [a-2,a+2]$에 포함되는지에 따라 최솟값을 아래와 같이 구할 수 있다.① $\displaystyle -1\le a\le3$인 경우: 구간 $\displaystyle [a-2,a+2]$에 꼭짓점의 $\displaystyle x$좌표 1이 포함되므로 $\displaystyle x=1$일 때 최솟값 $\displaystyle a-2=20$을 갖는다. 이때, $\displaystyle a=22$이므로 $\displaystyle -1\le a\le3$에 모순이다.② $\displaystyle a<-1$인 경우: $\displaystyle a+2<1$이므로 구간 $\displaystyle [a-2,a+2]$에서 주어진 함수는 감소하고, $\displaystyle x=a+2$일 때 최솟값 $\displaystyle 2(a+1)^2+a-2=20$을 갖는다. $\displaystyle 2a^2+5a=20$이므로 근의 공식에 의해 $\displaystyle a=\frac{-5\pm\sqrt{185}}4$이고, $\displaystyle a<-1$이므로 $\displaystyle a=\frac{-5-\sqrt{185}}4$이다.③ $\displaystyle a>3$인 경우: $\displaystyle a-2>1$이므로 구간 $\displaystyle [a-2,a+2]$에서 주어진 함수는 증가하고, $\displaystyle x=a-2$일 때 최솟값 $\displaystyle 2(a-3)^2+a-2=20$을 갖는다. $\displaystyle 2a^2-11a+16=20$이고 근의 공식에 의해 $\displaystyle a=\frac{11\pm3\sqrt{17}}4$이고, $\displaystyle a>3$이므로 $\displaystyle a=\frac{11+3\sqrt{17}}4$이다.따라서, $\displaystyle a=\frac{-5-\sqrt{185}}4$ 또는 $\displaystyle a=\frac{11+3\sqrt{17}}4$이다.

(2) (10점) $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+4\cos4x$이므로, $\displaystyle 0<x<\frac\pi2$에서 $\displaystyle \cos4x=-\frac14$를 만족하는 $\displaystyle x$를 $\displaystyle \theta_1,\theta_2$ ($\displaystyle \theta_1<\theta_2$)라 두자. 이때, 닫힌구간 $\displaystyle \left[0,\frac\pi2\right]$에서 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 아래와 같다.

[1-2] (30점)(1) (10점) 제시문 (나)에 의해, 주어진 곡선 위의 점 $\displaystyle (t,2t^2-3t-5)$가 접점인 접선의 방정식이 점 $\displaystyle (-1,-2)$를 지나면 $\displaystyle -2-(2t^2-3t-5)=(4t-3)(-1-t)$를 만족한다. 이것을 풀면 $\displaystyle t=0,-2$이므로, $\displaystyle t=0$일 때 접점 $\displaystyle (0,-5)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-3x-5$이고, $\displaystyle t=-2$일 때 접점 $\displaystyle (-2,9)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y=-11x-13$이다. 따라서, 구하고자 하는 영역은 아래 색칠된 영역과 같다.

(2) (10점)주어진 삼차함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여, 제시문 (다)에서와 같이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 서로 다른 두 점 $\displaystyle (p,f(p))$와 $\displaystyle (q,f(q))$에서의 두 접선이 일치한다고 가정하자. 따라서 $\displaystyle f^{\prime}(p)=f^{\prime}(q)=\frac{f(q)-f(p)}{q-p}$를 만족한다. 이때, $\displaystyle p$와 $\displaystyle q$는 서로 다르므로 $\displaystyle p<q$라 하자. 삼차함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [p,q]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (p,q)$에서 미분가능하므로, 평균값 정리에 의해 $\displaystyle \frac{f(q)-f(p)}{q-p}=f^{\prime}(c)$이고 $\displaystyle p<c<q$인 $\displaystyle c$가 적어도 하나 존재한다. 따라서, 제시문 (다)와 평균값 정리에 의해 $\displaystyle p<c<q$인 어떤 $\displaystyle c$에 대하여 $\displaystyle f^{\prime}(p)=f^{\prime}(c)=f^{\prime}(q)$가 성립한다.한편, $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 이차함수이고 $\displaystyle f^{\prime}(p)=f^{\prime}(c)=f^{\prime}(q)$을 만족하는 서로 다른 세 실수 $\displaystyle p,c,q$가 존재할 수 없으므로, 삼차함수 $\displaystyle f(x)$에 대하여 곡선 $\displaystyle y=f(x)$위의 서로 다른 두 점에서의 접선이 일치한다는 가정에 모순이다.

(3) (10점)곡선 $\displaystyle y=x^3-3x^2-2$에 대한 접선이 점 $\displaystyle (t,t^3-3t^2-2)$에서 접하며 점 $\displaystyle (x_0,y_0)$를 지난다고 하자.제시문 (나)에 의해, $\displaystyle y_0-t^3+3t^2+2=(3t^2-6t)(x_0-t)$이므로 이를 $\displaystyle t$에 대해 정리하면 $\displaystyle 2t^3-(3+3x_0)t^2+6x_0t+(y_0+2)=0$이다. $\displaystyle g(t)=2t^3-(3+3x_0)t^2+6x_0t+(y_0+2)$라 두자. 앞의 문항 (2)의 결과로부터 삼차함수의 그래프에 대한 각 접선은 정확히 하나의 접점만을 가져야 하므로, $\displaystyle t$에 대한 방정식 $\displaystyle g(t)=0$이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 자연수 $\displaystyle x_0,y_0$를 구하면 된다.$\displaystyle g^{\prime}(t)=6t^2-(6+6x_0)t+6x_0=(6t-6)(t-x_0)$이므로 함수 $\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=1,x_0$일 때 극값을 갖는다. 또한 $\displaystyle x_0,y_0$는 자연수이므로, $\displaystyle g(1)=3x_0+y_0+1>0$이다.함수 $\displaystyle g(t)$는 서로 다른 부호의 극값을 가져야 하므로, $\displaystyle g(x_0)=2x_0^3-(3+3x_0)x_0^2+6x_0^2+(y_0+2)=-x_0^3+3x_0^2+2+y_0<0$이다. 이때, $\displaystyle x_0=3$이면 $\displaystyle g(x_0)=-x_0^3+3x_0^2+2+y_0=2+y_0>0$이므로, $\displaystyle x_0\ge4$이다. 따라서, $\displaystyle x_0+y_0\ge5$이므로 구하고자 하는 답은 5이다.