자연계열 2번

아주대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2023mo/jayeon_2

[문항 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 논제에 답하라.

(가) 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle n$ 이하의 양의 정수의 집합을 $\displaystyle P_n$ 이라 하자. 어떤 양의 정수 $\displaystyle k$ 에 대하여 $\displaystyle P_k$ 의 원소로 이루어진 순서쌍 $\displaystyle (a,b)$ (단, $\displaystyle 1\le a<b\le k$ ) 중 일부를 원소로 갖는 집합을 $\displaystyle S$ 라 할 때, 다음 <조건>을 만족하는 함수 $\displaystyle f:P_k\to P_n$ 의 개수를 $\displaystyle g(n)$ 이라 하자.<조건> $\displaystyle (a,b)\in S$ 이면 $\displaystyle f(a)\ne f(b)$ 이다.

예를 들어 $\displaystyle k=3$ 이고 $\displaystyle S=\{(1,2),(2,3)\}$ 이라면 $\displaystyle f(1)$ 이 될 수 있는 값은 $\displaystyle n$ 개, $\displaystyle f(2)$ 가 될 수 있는 값은 $\displaystyle f(1)\ne f(2)$ 이므로 $\displaystyle n-1$ 개, $\displaystyle f(3)$ 이 될 수 있는 값은 $\displaystyle f(2)\ne f(3)$ 이므로 $\displaystyle n-1$ 개이고, 따라서 $\displaystyle g(n)=n(n-1)^2$ 이다.

일반적으로 $\displaystyle g(n)$ 은 $\displaystyle S$ 와 상관없이 $\displaystyle n$ 에 대한 $\displaystyle k$ 차 다항식이 되고 최고차항의 계수가 1이라는 사실이 알려져 있다. 이 정보는 $\displaystyle g(n)$ 을 구할 때 유용하게 쓸 수 있는데, 위의 예에서 $\displaystyle g(0)=g(1)=0$ 이고, $\displaystyle g(2)=2$ 이므로 이를 이용하여 $\displaystyle g(n)$ 을 구할 수 있다.

(나) 필즈메달은 국제수학연맹이 4년마다 개최하는 세계 수학자 대회에서 수여하는 상으로 수학계의 가장 권위 있는 상으로 여겨진다. 2022년 열린 세계 수학자 대회에서는 허준이 교수가 한국계 최초로 이 상을 수상하였다. 허 교수는 여러 분야를 아우르는 이론을 제시하였고, 특히 이산수학의 여러 미해결 난제를 해결하였다.

허 교수의 주요 업적 중 하나는 위 제시문 (가)에서 얻어지는 $\displaystyle k$ 차 다항식 $\displaystyle g(n)$ 의 $\displaystyle m$ 차 항의 계수의 절댓값을 $\displaystyle c_m$ (단, $\displaystyle m\le k$ )라고 할 때, 다음 부등식이 항상 성립하는 것을 증명한 것이다.모든 $\displaystyle 0<m<k$ 에 대하여 $\displaystyle c_{m-1}c_{m+1}\le c_m^2$ 　 $\displaystyle \cdots$ 　 $\displaystyle (*)$

[문제 2-1] (30점)제시문 (가)를 읽고 물음에 답하여라.(1) $\displaystyle k=3$ 이고 $\displaystyle S$ 가 공집합일 때, $\displaystyle g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+\cdots+g(24)$ 를 구하여라.(2) $\displaystyle k=4$ 이고 $\displaystyle g(n)=n(n-1)(n-2)^2$ 이 되도록 하는 $\displaystyle S$ 를 하나 제시하고 그 이유를 설명하여라.(3) 집합 $\displaystyle S$ 가 $\displaystyle \{(1,2),(2,3),(3,4)\}$ 일 때 <조건>을 만족하는 함수 $\displaystyle f_1:P_4\to P_4$ 와 집합 $\displaystyle S$ 가 $\displaystyle \{(1,2),(2,3),(3,4),(1,4)\}$ 일 때 <조건>을 만족하는 함수 $\displaystyle f_2:P_4\to P_4$ 가 있다. 합성함수 $\displaystyle F=f_1\circ f_2:P_4\to P_4$ 가 $\displaystyle F(1)=F(2)=F(3)=F(4)=1$ 을 만족하는 순서쌍 $\displaystyle (f_1,f_2)$ 의 개수를 구하여라.

[문제 2-2] (20점)제시문 (가)와 (나)를 읽고 물음에 답하여라.(1) 초항이 $\displaystyle a$ 이고 공차가 $\displaystyle d$ 인 등차수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 은 부등식 $\displaystyle (*)$ 를 만족함을 증명하여라.(2) 한 고등학생이 주어진 $\displaystyle S$ 와 $\displaystyle k=4$ 에 대하여 함수 $\displaystyle g(n)$ 을 구한 다음 $\displaystyle g(0)=g(1)=0$ , $\displaystyle g(2)=24$ , $\displaystyle g(3)=120$ 이라고 주장하였다. 이 이야기를 들은 고등학생 아주는 이 학생의 계산이 잘못되었다고 예상하였다. 아주는 어떻게 이런 결론을 내릴 수 있었을까?

해설강의 준비중

아주대 2023학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2023mo/jayeon_2

+10점

[2-1] (30점)(1) (10점) $\displaystyle g(n)=n^3$ 이므로 $\displaystyle g(1)+\cdots+g(24)=\left(\frac{24\cdot25}2\right)^2=300^2=90000$

+10점

(2) (10점) $\displaystyle g(n)$ 이 $\displaystyle n$ , $\displaystyle n-1$ , $\displaystyle n-2$ 를 인수로 가지므로 집합 $\displaystyle S$ 가 $\displaystyle (1,2)$ , $\displaystyle (2,3)$ , $\displaystyle (1,3)$ 을 원소로 갖고 있는 경우를 생각할 수 있다. $\displaystyle f(4)$ 가 될 수 있는 값이 $\displaystyle n-2$ 개가 되어야 하므로 4를 포함하는 $\displaystyle S$ 의 순서쌍이 두 개 있어야 한다. 따라서 $\displaystyle S=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4),(2,4)\}$ 가 하나의 예가 된다.

*참고. $\displaystyle S$ 의 원소의 개수가 다섯 개면 정답.

+10점

(3) (10점) 합성함수 $\displaystyle F=f_1\circ f_2$ 의 모든 값이 1이 되어야 하므로, 집합 $\displaystyle A=\{x\mid f_1(x)=1\}$ 을 생각한다. $\displaystyle S_1=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}$ 라 두고 $\displaystyle S_2=\{(1,2),(2,3),(3,4),(1,4)\}$ 라 두자. 집합 $\displaystyle S_1$ 의 조건으로부터 이웃한 두 자연수의 $\displaystyle f_1$ 값이 동시에 1일 수 없으므로 $\displaystyle n(A)\le2$ 임을 알 수 있다. 한편, 함수 $\displaystyle f_2$ 의 값은 항상 $\displaystyle A$ 에 포함되어야 하므로 집합 $\displaystyle S_2$ 의 조건을 사용하면 $\displaystyle n(A)>1$ 을 얻는다. 따라서 $\displaystyle n(A)=2$ 이며 가능한 경우는 $\displaystyle A=\{1,3\},\{1,4\},\{2,4\}$ 의 세 경우뿐이다. 또한 집합 $\displaystyle S_2$ 의 조건을 사용하면 함수 $\displaystyle f_2$ 는 1에서의 값으로 완전히 결정됨을 알 수 있어, 가능한 $\displaystyle f_2$ 의 개수는 집합 $\displaystyle A$ 와는 관계없이 항상 2개가 된다.① $\displaystyle A=\{1,3\}$ 인 경우, $\displaystyle f_1(2)$ 와 $\displaystyle f_1(4)$ 의 값이 2, 3, 4 중 하나이므로 총 $\displaystyle 3^2\cdot2=18$ 개의 순서쌍 $\displaystyle (f_1,f_2)$ 를 얻는다.② $\displaystyle A=\{1,4\}$ 인 경우, $\displaystyle f_1(2)$ 와 $\displaystyle f_1(3)$ 의 값이 2, 3, 4 중 하나이면서 서로 같지 않아야 하므로 총 $\displaystyle 3\cdot2\cdot2=12$ 개의 순서쌍을 얻는다.③ $\displaystyle A=\{2,4\}$ 인 경우, ①번 경우와 같은 이유로 18개의 순서쌍을 얻는다.모든 경우의 수를 더하면 $\displaystyle 18+12+18=48$ 이다.

+10점

[2-2] (20점)(1) (10점) $\displaystyle c_m=a+(m-1)d$ 이므로, $\displaystyle c_m^2-c_{m-1}c_{m+1}=d^2\ge0$ 이다.

+10점

(2) (10점) 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle g(n)$ 은 4차 함수이며, 제시된 조건 $\displaystyle g(0)=g(1)=0$ 으로 부터 $\displaystyle g(n)=n(n-1)(n^2+an+b)$ 라 둘 수 있다. $\displaystyle g(2)=24$ , $\displaystyle g(3)=120$ 이므로 이를 풀어보면 $\displaystyle a=3$ , $\displaystyle b=2$ 를 얻는다. 따라서 $\displaystyle g(n)=n^4+2n^3-n^2-2n$ 이 된다. 한편 $\displaystyle c_2^2=1<c_1c_3=4$ 이므로 부등식 $\displaystyle (*)$ 를 만족하지 않는다. 따라서 이러한 $\displaystyle S$ 는 존재할 수 없다.

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