자연계열 2번

[2-1] (30점)(1) (10점) $\displaystyle g(n)=n^3$이므로 $\displaystyle g(1)+\cdots+g(24)=\left(\frac{24\cdot25}2\right)^2=300^2=90000$

(2) (10점) $\displaystyle g(n)$이 $\displaystyle n$, $\displaystyle n-1$, $\displaystyle n-2$를 인수로 가지므로 집합 $\displaystyle S$가 $\displaystyle (1,2)$, $\displaystyle (2,3)$, $\displaystyle (1,3)$을 원소로 갖고 있는 경우를 생각할 수 있다. $\displaystyle f(4)$가 될 수 있는 값이 $\displaystyle n-2$개가 되어야 하므로 4를 포함하는 $\displaystyle S$의 순서쌍이 두 개 있어야 한다. 따라서 $\displaystyle S=\{(1,2),(2,3),(1,3),(1,4),(2,4)\}$가 하나의 예가 된다.

(3) (10점) 합성함수 $\displaystyle F=f_1\circ f_2$의 모든 값이 1이 되어야 하므로, 집합 $\displaystyle A=\{x\mid f_1(x)=1\}$을 생각한다. $\displaystyle S_1=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}$라 두고 $\displaystyle S_2=\{(1,2),(2,3),(3,4),(1,4)\}$라 두자. 집합 $\displaystyle S_1$의 조건으로부터 이웃한 두 자연수의 $\displaystyle f_1$값이 동시에 1일 수 없으므로 $\displaystyle n(A)\le2$임을 알 수 있다. 한편, 함수 $\displaystyle f_2$의 값은 항상 $\displaystyle A$에 포함되어야 하므로 집합 $\displaystyle S_2$의 조건을 사용하면 $\displaystyle n(A)>1$을 얻는다. 따라서 $\displaystyle n(A)=2$이며 가능한 경우는 $\displaystyle A=\{1,3\},\{1,4\},\{2,4\}$의 세 경우뿐이다. 또한 집합 $\displaystyle S_2$의 조건을 사용하면 함수 $\displaystyle f_2$는 1에서의 값으로 완전히 결정됨을 알 수 있어, 가능한 $\displaystyle f_2$의 개수는 집합 $\displaystyle A$와는 관계없이 항상 2개가 된다.① $\displaystyle A=\{1,3\}$인 경우, $\displaystyle f_1(2)$와 $\displaystyle f_1(4)$의 값이 2, 3, 4 중 하나이므로 총 $\displaystyle 3^2\cdot2=18$개의 순서쌍 $\displaystyle (f_1,f_2)$를 얻는다.② $\displaystyle A=\{1,4\}$인 경우, $\displaystyle f_1(2)$와 $\displaystyle f_1(3)$의 값이 2, 3, 4 중 하나이면서 서로 같지 않아야 하므로 총 $\displaystyle 3\cdot2\cdot2=12$개의 순서쌍을 얻는다.③ $\displaystyle A=\{2,4\}$인 경우, ①번 경우와 같은 이유로 18개의 순서쌍을 얻는다.모든 경우의 수를 더하면 $\displaystyle 18+12+18=48$이다.

[2-2] (20점)(1) (10점) $\displaystyle c_m=a+(m-1)d$이므로, $\displaystyle c_m^2-c_{m-1}c_{m+1}=d^2\ge0$이다.

(2) (10점) 제시문 (나)에 의하여 $\displaystyle g(n)$은 4차 함수이며, 제시된 조건 $\displaystyle g(0)=g(1)=0$으로 부터 $\displaystyle g(n)=n(n-1)(n^2+an+b)$라 둘 수 있다. $\displaystyle g(2)=24$, $\displaystyle g(3)=120$이므로 이를 풀어보면 $\displaystyle a=3$, $\displaystyle b=2$를 얻는다. 따라서 $\displaystyle g(n)=n^4+2n^3-n^2-2n$이 된다. 한편 $\displaystyle c_2^2=1<c_1c_3=4$이므로 부등식 $\displaystyle (*)$를 만족하지 않는다. 따라서 이러한 $\displaystyle S$는 존재할 수 없다.