자연계열 1번

[문제 1-1](1) (10점)$\displaystyle 10=5\times2$, $\displaystyle 15=5\times3$이므로• $\displaystyle x=2m+3n$ ($\displaystyle m,n$은 음이 아닌 정수)가 $\displaystyle S(2,3)$의 원소라면 $\displaystyle 5x=10m+15n$는 $\displaystyle S(10,15)$의 원소이다.

• $\displaystyle y=10m+15n$ ($\displaystyle m,n$은 음이 아닌 정수)가 $\displaystyle S(10,15)$의 원소라면 $\displaystyle y=5(2m+3n)=5x$이므로 $\displaystyle x=2m+3n$는 $\displaystyle S(2,3)$의 원소이다.

위의 관찰에 의해 $\displaystyle S(10,15)=\{5x\mid x\text{는 }S(2,3)\text{의 원소}\}=\{0,10,15,20,25,30,35,\cdots\}$이므로 $\displaystyle S(10,15)\cap A=\{5k\mid k=0,1,\cdots,404\}-\{5\}$이다. 따라서 $\displaystyle \underline{n(A\cap S(10,15))=404}$이다.

(2) (10점)3보다 작은 두 자연수 1과 2는 $\displaystyle S(3,4)$의 원소가 아니고, 3과 4는 당연히 $\displaystyle S(3,4)$의 원소이다. 5는 3의 배수도 아니고 4의 배수도 아니므로, 만약 5가 $\displaystyle S(3,4)$의 원소라면, 어떤 자연수 $\displaystyle m,n$에 대하여 $\displaystyle 5=3m+4n$을 만족한다. 하지만 $\displaystyle 3m+4n$은 7이상의 자연수이므로 모순이 생긴다. 따라서 5는 $\displaystyle S(3,4)$의 원소가 아니고 $\displaystyle a\le5$이면 주어진 명제는 거짓이다.

이제 6이상의 자연수 중 $\displaystyle S(3,4)$에 포함되는 원소를 모두 찾아보자. $\displaystyle 6=3\times2+4\times0$, $\displaystyle 7=3\times1+4\times1$, $\displaystyle 8=3\times0+4\times2$이므로 $\displaystyle 6,7,8$은 세 개의 연속된 $\displaystyle S(3,4)$의 원소이고 $\displaystyle 9=6+3$, $\displaystyle 10=7+3$, $\displaystyle 11=8+3$도 모두 $\displaystyle S(3,4)$의 원소이다.

이 과정을 계속하면 6이상의 모든 자연수가 $\displaystyle S(3,4)$의 원소임을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle S(3,4)=\{0,3,4,6,7,8,\cdots\}=U-\{1,2,5\}$이고 $\displaystyle \underline{a=6}$이 주어진 명제가 참이 되는 자연수 $\displaystyle a$의 최솟값이다.

(3) (10점)주어진 명제의 부정은 ‘모든 양의 7의 배수는 $\displaystyle S(2,b)$의 원소이다’이므로 모든 양의 7의 배수가 집합 $\displaystyle S(2,b)$에 포함되는 2보다 큰 자연수 $\displaystyle b$를 찾으면 된다.

$\displaystyle b$가 짝수이면 $\displaystyle S(2,b)$의 모든 원소는 짝수이므로 $\displaystyle b$는 홀수이다.

• 제시문 (가)에 의하여 모든 양의 7의 배수가 $\displaystyle S(2,3)$에 포함된다.• $\displaystyle 2+5=7$이고 자연수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle 7x=2x+5x$이므로 모든 양의 7의 배수가 $\displaystyle S(2,5)$에 포함된다.• 모든 양의 7의 배수가 $\displaystyle S(2,7)$에 포함된다.• $\displaystyle b\ge9$이면 $\displaystyle 7\notin S(2,b)$따라서 답은 $\displaystyle \underline{b=3,5,7}$이다.

[문제 1-2](1) (10점)$\displaystyle f$의 치역에 속하는 한 원소를 $\displaystyle b$라 하면, 정의역의 어떤 원소 $\displaystyle a$에 대하여 $\displaystyle f(a)=b$이다. $\displaystyle f$는 <조건>을 만족하므로 $\displaystyle (f\circ f)(a)=f(a)$이고 $\displaystyle f(b)=b$가 된다. 따라서 $\displaystyle f$의 치역은 $\displaystyle \{x\in X_n\mid f(x)=x\}$의 부분집합이다.

한편, 집합 $\displaystyle \{x\in X_n\mid f(x)=x\}$가 $\displaystyle f$의 치역의 부분집합이 되는 것은 명백하므로

$\displaystyle f$의 치역은 $\displaystyle \{x\in X_n\mid f(x)=x\}$이다.

(2) (10점)함수 $\displaystyle f:X_3\to X_3$가 <조건>을 만족한다고 하자. (1)에 의하여 $\displaystyle f$의 치역은 $\displaystyle \{x\in X_n\mid f(x)=x\}$임을 알고 있으므로, 치역으로 가능한 $\displaystyle X_3$의 공집합이 아닌 부분집합을 모두 생각한다.Correction. 여기서는 함수 $\displaystyle f:X_3\to X_3$를 다루므로, 고정점 집합에 적힌 $\displaystyle X_n$은 $\displaystyle X_3$로 써야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

• 치역이 $\displaystyle \{1,2,3\}$이면 $\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(2)=2$, $\displaystyle f(3)=3$이어야 하고 이 함수는 <조건>을 만족하므로 1개의 함수가 존재한다.• 치역이 $\displaystyle \{1,2\}$이면 $\displaystyle f(1)=1$, $\displaystyle f(2)=2$이어야 하고 $\displaystyle f(3)$의 값은 1 또는 2일 때 모두 <조건>을 만족하므로 이 경우 2개의 함수가 <조건>을 만족한다. 치역이 $\displaystyle \{2,3\}$, $\displaystyle \{1,3\}$일 때도 같은 이유로 각각 2개의 함수가 <조건>을 만족한다.• 치역의 원소의 개수가 하나이면 $\displaystyle f$는 상수함수이어야 하고 $\displaystyle f$는 <조건>을 만족한다. 따라서 치역의 원소의 개수가 하나이며 <조건>을 만족하는 함수는 3개이다.

따라서 모두 $\displaystyle \underline{1+(3\times2)+(3\times1)=10}$개의 함수가 <조건>을 만족한다.