자연계열 2번

아주대 2024학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2024mo/jayeon_2

[문항 2] (50점) 다음 제시문을 읽고 주어진 질문에 답하시오.

(가) 다음과 같은 게임을 생각해보자.<동전 던지기 게임>① 게임의 모든 참가자는 동전을 던지기 전에 자신이 가진 점수의 일부 또는 전부를 제시한다.② 심판이 한 개의 동전을 던지고 - 동전의 앞면이 나오면 각 참가자는 제시한 점수만큼을 더 얻는다. - 동전의 뒷면이 나오면 각 참가자는 제시한 점수의 반을 잃는다.

예를 들어 아주가 100점을 가지고 <동전 던지기 게임>에 참가하였다고 하자. 아주가 자신이 가진 점수 100점 중 50점을 제시했다면, 동전의 앞면이 나왔을 때는 $\displaystyle 50\text{점}+50\text{점}\times2=150\text{점}$ 이 되고 동전의 뒷면이 나왔을 때에는 $\displaystyle 50\text{점}+50\text{점}\div2=75\text{점}$ 이 된다.

장투와 섀넌은 각각 100점을 가지고 연속한 50번의 <동전 던지기 게임>에 참가하였다. 매 게임마다 ①의 과정에서 장투는 자신이 가진 점수의 전부를 제시했고, 섀넌은 자신이 가진 점수의 반을 제시했다. 50번의 게임에서 다음과 같이 홀수 번째 게임에서는 앞면, 짝수 번째 게임에서는 뒷면이 나왔다.

1	2	3	4	5	⋯	49	50
앞면	뒷면	앞면	뒷면	앞면	⋯	앞면	뒷면

$\displaystyle k$ 번( $\displaystyle 1\le k\le50$ )의 게임 후 장투의 점수를 $\displaystyle x_k$ 그리고 섀넌의 점수를 $\displaystyle y_k$ 라고 하자.

(나) 펀드나 포트폴리오의 광고를 보면 연평균 수익률로 몇 년간 수익률의 산술평균을 제시하는 경우가 있다. 그러나 산술평균으로 나타낸 수익률은 실제 수익률보다 높아서 예상한 만큼 수익을 얻을 수 없다. 예를 들어 S펀드 상품에 투자하여 2021년에는 40%의 수익, 2022년에는 20%의 손실이 발생했다고 가정해보자. 산술평균으로 수익률을 계산하면 연평균 수익률은 10%가 되며 2년간 수익률은 연평균 수익률의 2배인 20%가 된다. 그러나 실제로 S펀드 상품에 2021년 초에 100만원을 투자했다면 2022년 말에는 112만원이 되어 있을 것이다. 따라서 원금 대비 2년간 실제 수익률은 12%로 산술평균으로 계산된 수익률인 20%보다 낮다는 것을 알 수 있다.그렇다면 실제 연평균 수익률은 어떻게 계산할까? 투자 원금을 $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ 년 후의 평가 금액을 $\displaystyle a_n$ 이라할 때, 실제 연평균 수익률은 다음 식을 만족하는 $\displaystyle r$ 의 값이다. $\displaystyle A(1+r)^n=a_n$

[문제 2-1] (40점)제시문 (가)를 읽고 다음에 답하시오.(1) $\displaystyle x_{50}$ 을 구하시오.(2) 수열 $\displaystyle \{y_n\}$ 에 대하여 $\displaystyle \frac{y_{2n}}{y_{2n-1}}$ ( $\displaystyle 1\le n\le25$ )과 $\displaystyle \frac{y_{2n+1}}{y_{2n}}$ ( $\displaystyle 1\le n\le24$ )의 값을 각각 구하시오.(3) $\displaystyle y_{50}$ 을 구하시오.(4) 아주가 100점을 가지고 장투와 섀넌이 참가한 50번의 <동전 던지기 게임>에 참가하였고 매 게임마다 ①의 과정에서 자신이 가진 점수에 $\displaystyle \alpha$ ( $\displaystyle 0\le\alpha\le1$ )를 곱한 값을 제시한다고 할 때. 50회의 게임 후 아주의 점수가 최대가 되는 $\displaystyle \alpha$ 를 구하시오.

[문제 2-2] (10점)제시문 (가)와 (나)를 읽고 아래의 상용로그표를 이용하여 50번의 <동전 던지기 게임>에 대한 섀넌의 실제 게임당 평균 수익률을 구하시오. (단, $\displaystyle \log2=0.3010$ , $\displaystyle \log3=0.4771$ 로 계산하며 게임당 평균 수익률의 소수점 이하 3번째 자리에서 버린다.)

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.0	0.0000	0.0043	0.0086	0.0128	0.0170	0.0212	0.0253	0.0294	0.0334	0.0374

해설강의 준비중

아주대 2024학년도 모의 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/ajou/2024mo/jayeon_2

+3점 · (A)

\displaystyle x_{2n-1}

의 귀납적 정의를 올바르게 구함

[문제 2-1](1) (10점)홀수 번째 게임에서는 앞면이 나오므로, 이전 게임의 점수의 2배가 된다. 따라서 $\displaystyle x_{2n-1}=2x_{2n-2}$ 이다.

+3점 · (B)

\displaystyle x_{2n}

의 귀납적 정의를 올바르게 구함

짝수 번째 게임에서는 뒷면이 나오므로 이전 게임의 점수의 반이 되며 $\displaystyle x_{2n}=\frac12x_{2n-1}$ 이 된다.

+2점 · (C) 귀납적 정의를 이용하여

\displaystyle x_k

(

\displaystyle k=1,2,\cdots,50

)을

\displaystyle X

로 표현

장투가 처음 가진 점수를 $\displaystyle X$ 라 하면, $\displaystyle x_1=2X,\ x_2=\frac12x_1=X,\ x_3=2x_2=2X,\ x_4=\frac12x_3=X,\ \cdots,\ x_{50}=X$

+2점 · (D) (C)의 식과

\displaystyle X

를 이용하여

\displaystyle x_{50}

을 계산

$\displaystyle X=100$ 이므로 $\displaystyle x_{50}=100$ 이다.

+3점 · (A)

\displaystyle y_{2n}

을

\displaystyle y_{2n-1}

의 식으로 표현

(2) (10점)섀넌은 $\displaystyle 2n$ 번째 게임에서 가진 점수의 반인 $\displaystyle \frac12y_{2n-1}$ 을 제시하고 제시한 금액의 반을 잃으므로 $\displaystyle y_{2n}=\frac12y_{2n-1}+\frac12\left(\frac12y_{2n-1}\right)=\frac34y_{2n-1}$ 이다.

+2점 · (B)

\displaystyle y_{2n}

과

\displaystyle y_{2n-1}

의 비를 올바르게 구함

따라서 $\displaystyle \frac{y_{2n}}{y_{2n-1}}=\frac34$ 이다.

+3점 · (C)

\displaystyle y_{2n+1}

을

\displaystyle y_{2n}

의 식으로 표현

$\displaystyle 2n+1$ 번째 게임에서는 가진 점수의 반인 $\displaystyle \frac12y_{2n}$ 을 제시하고 제시한 금액만큼 얻으므로 $\displaystyle y_{2n+1}=\frac12y_{2n}+2\left(\frac12y_{2n}\right)=\frac32y_{2n}$ 이다.

+2점 · (D)

\displaystyle y_{2n+1}

과

\displaystyle y_{2n}

의 비를 올바르게 구함

따라서 $\displaystyle \frac{y_{2n+1}}{y_{2n}}=\frac32$ 이다.

+5점 · (A) (2)의 귀납적 정의를 이용하여

\displaystyle y_k

(

\displaystyle k=1,2,\cdots,50

)을

\displaystyle Y

로 표현

(3) (10점)섀넌이 처음에 가진 점수를 $\displaystyle Y$ 라 하면 (2)에 의해 $\displaystyle y_1=\frac32Y,\ y_2=\frac34y_1=\frac98Y,\ y_3=\frac32y_2=\frac{27}{16}Y,\ y_4=\frac34y_3=\left(\frac98\right)^2Y,\ \cdots,\ y_{50}=\left(\frac98\right)^{25}Y$ 이다.

+5점 · (B) (A)의 식과

\displaystyle Y

를 이용하여

\displaystyle y_{50}

을 계산

$\displaystyle Y=100$ 이므로 $\displaystyle y_{50}=\left(\frac98\right)^{25}100$ 이다.

+2점 · (A)

\displaystyle z_{2n-1}

의 귀납적 정의를 올바르게 구함

(4) (10점)아주가 처음에 가진 점수를 $\displaystyle Z$ 라 하고, $\displaystyle k$ 번째 게임 후 아주가 가진 점수를 $\displaystyle z_k$ 라 하자. 각 게임에서 아주가 자신이 가진 점수의 $\displaystyle \alpha$ ( $\displaystyle 0\le\alpha\le1$ )를 곱한 만큼 제시하면 홀수 번째 게임에서는 $\displaystyle z_{2n-1}=(1-\alpha)z_{2n-2}+2(\alpha z_{2n-2})=(1+\alpha)z_{2n-2}$ 이고,

+2점 · (B)

\displaystyle z_{2n}

의 귀납적 정의를 올바르게 구함

짝수 번째 게임에서는 $\displaystyle z_{2n}=(1-\alpha)z_{2n-1}+\frac12(\alpha z_{2n-1})=\left(1-\frac12\alpha\right)z_{2n-1}$ 이다.

+2점 · (C)

\displaystyle z_{50}

을

\displaystyle Z

에 관한 식으로 표현

[문제 2-1]의 (3)과 같은 방법으로 계산하면 $\displaystyle z_{50}=(1+\alpha)^{25}\left(1-\frac12\alpha\right)^{25}Z=\left\{(1+\alpha)\left(1-\frac12\alpha\right)\right\}^{25}Z$ 이다.

+2점 · (D)

\displaystyle f(\alpha)

을 극댓값 계산

$\displaystyle f(\alpha)=(1+\alpha)\left(1-\frac12\alpha\right)$ 라 하면, 함수 $\displaystyle f$ 는 $\displaystyle \alpha=\frac12$ 에서 극댓값 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac98$ 을 가지며 $\displaystyle f(0)=1$ , $\displaystyle f(1)=1$ 이다.

+2점 · (E) 극댓값과 경계 조건을 이용하여 최대가 되는

\displaystyle \alpha

를 구함

따라서 50회의 게임 후 점수가 최대가 되는 $\displaystyle \alpha$ 는 $\displaystyle \frac12$ 이다.

+3점 · (A) 제시문 (나)와 [문제 2-1]의 (3)을 이용하여 지수식 표현

[문제 2-2] (10점)제시문 (나)와 [문제 2-1]의 (3)에 의해 $\displaystyle (1+r)^{50}=\frac{y_{50}}Y=\left(\frac98\right)^{25}$ 이다.

+3점 · (B) 양 변에 상용로그를 취하고

\displaystyle \log(1+r)

을 계산

양변에 상용로그를 취하고 계산하면 $\displaystyle \log(1+r)=\frac12(2\log3-3\log2)=\frac12(0.9542-0.9030)=0.0256$ 이다.

+4점 · (C) 상용로그표를 이용하여 평균 수익률 계산

상용로그표에 의해 $\displaystyle \log1.06<0.0256<\log1.07$ 이므로 $\displaystyle 0.06<r<0.07$ 이다. 따라서 실제 게임당 평균 수익률 $\displaystyle r$ 은 약 0.06이다.

첨삭 사례

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