자연계열 2번

[문제 2-1](1) (10점)홀수 번째 게임에서는 앞면이 나오므로, 이전 게임의 점수의 2배가 된다. 따라서 $\displaystyle x_{2n-1}=2x_{2n-2}$이다.

짝수 번째 게임에서는 뒷면이 나오므로 이전 게임의 점수의 반이 되며 $\displaystyle x_{2n}=\frac12x_{2n-1}$이 된다.

장투가 처음 가진 점수를 $\displaystyle X$라 하면,$\displaystyle x_1=2X,\ x_2=\frac12x_1=X,\ x_3=2x_2=2X,\ x_4=\frac12x_3=X,\ \cdots,\ x_{50}=X$

$\displaystyle X=100$이므로 $\displaystyle x_{50}=100$이다.

(2) (10점)섀넌은 $\displaystyle 2n$ 번째 게임에서 가진 점수의 반인 $\displaystyle \frac12y_{2n-1}$을 제시하고 제시한 금액의 반을 잃으므로$\displaystyle y_{2n}=\frac12y_{2n-1}+\frac12\left(\frac12y_{2n-1}\right)=\frac34y_{2n-1}$이다.

따라서$\displaystyle \frac{y_{2n}}{y_{2n-1}}=\frac34$이다.

$\displaystyle 2n+1$ 번째 게임에서는 가진 점수의 반인 $\displaystyle \frac12y_{2n}$을 제시하고 제시한 금액만큼 얻으므로$\displaystyle y_{2n+1}=\frac12y_{2n}+2\left(\frac12y_{2n}\right)=\frac32y_{2n}$이다.

따라서$\displaystyle \frac{y_{2n+1}}{y_{2n}}=\frac32$이다.

(3) (10점)섀넌이 처음에 가진 점수를 $\displaystyle Y$라 하면 (2)에 의해$\displaystyle y_1=\frac32Y,\ y_2=\frac34y_1=\frac98Y,\ y_3=\frac32y_2=\frac{27}{16}Y,\ y_4=\frac34y_3=\left(\frac98\right)^2Y,\ \cdots,\ y_{50}=\left(\frac98\right)^{25}Y$이다.

$\displaystyle Y=100$이므로 $\displaystyle y_{50}=\left(\frac98\right)^{25}100$이다.

(4) (10점)아주가 처음에 가진 점수를 $\displaystyle Z$라 하고, $\displaystyle k$번째 게임 후 아주가 가진 점수를 $\displaystyle z_k$라 하자. 각 게임에서 아주가 자신이 가진 점수의 $\displaystyle \alpha$ ($\displaystyle 0\le\alpha\le1$)를 곱한 만큼 제시하면 홀수 번째 게임에서는$\displaystyle z_{2n-1}=(1-\alpha)z_{2n-2}+2(\alpha z_{2n-2})=(1+\alpha)z_{2n-2}$이고,

짝수 번째 게임에서는$\displaystyle z_{2n}=(1-\alpha)z_{2n-1}+\frac12(\alpha z_{2n-1})=\left(1-\frac12\alpha\right)z_{2n-1}$이다.

[문제 2-1]의 (3)과 같은 방법으로 계산하면$\displaystyle z_{50}=(1+\alpha)^{25}\left(1-\frac12\alpha\right)^{25}Z=\left\{(1+\alpha)\left(1-\frac12\alpha\right)\right\}^{25}Z$이다.

$\displaystyle f(\alpha)=(1+\alpha)\left(1-\frac12\alpha\right)$라 하면, 함수 $\displaystyle f$는 $\displaystyle \alpha=\frac12$에서 극댓값 $\displaystyle f\left(\frac12\right)=\frac98$을 가지며 $\displaystyle f(0)=1$, $\displaystyle f(1)=1$이다.

따라서 50회의 게임 후 점수가 최대가 되는 $\displaystyle \alpha$는 $\displaystyle \frac12$이다.

[문제 2-2] (10점)제시문 (나)와 [문제 2-1]의 (3)에 의해$\displaystyle (1+r)^{50}=\frac{y_{50}}Y=\left(\frac98\right)^{25}$이다.

양변에 상용로그를 취하고 계산하면$\displaystyle \log(1+r)=\frac12(2\log3-3\log2)=\frac12(0.9542-0.9030)=0.0256$이다.

상용로그표에 의해 $\displaystyle \log1.06<0.0256<\log1.07$이므로 $\displaystyle 0.06<r<0.07$이다. 따라서 실제 게임당 평균 수익률 $\displaystyle r$은 약 0.06이다.